кинематика / Glava_6
.docГлава 6. Общий случай движения НМС
6.1. Уравнения движения НМС
В общем случае движения НМС, когда она является свободной, НМС движется как угодно по отношению к неподвижной системе отсчета О1х1у1z1 (рис. 62). Выбрав в качестве полюса произвольную точку О НМС, свяжем с ней оси декартовой системы координат О, которые при движении НМС будут перемещаться вместе с полюсом поступательно.
Кроме того, построим неизменно связанную с НМС декартову систему координат Охуz с началом также в полюсе О.
Положение НМС в системе отсчета О1х1у1z1 будет известно, если известно положение полюса О, т.е. его координаты х1О, y1О, z1О и положение НМС по отношению к осям О, определяемое, как и в случае сферического движения НМС (глава 5), углами Эйлера , , (рис. 62).
Рис. 62
Следовательно, уравнения движения свободного НМС, позволяющие найти ее положение по отношению к системе отсчета О1х1у1z1 в любой момент времени, имеют вид:
(6.1)
Эти функции должны быть однозначными, непрерывными и дважды дифференцируемыми. Уравнений движений свободной НМС шесть, столько же, сколько обобщенных координат у НМС.
Движение НМС относительно точки О, как следует из главы 5, представляет собой последовательность мгновенных вращательных движений относительно мгновенных осей вращения, проходящих через точку О, с угловой скоростью и угловым ускорением .
6.2. Скорость точки НМС
Радиус-вектор , определяющий положение точки, принадлежащей НМС, по отношению к неподвижной системе координат О1х1у1z1, можно представить в виде:
, (6.2)
где определяет положение полюса О по отношению к неподвижной системе координат О1х1у1z1, а определяет положение точки по отношению к подвижной системе координат Охуz ( меняется только по направлению и не меняется по модулю).
Взяв производную по времени от соотношения (6.2), получаем:
.
Так как здесь а, на основании формулы (5.7) , то в результате получим формулу:
(6.3)
где .
Теорема: Скорость точки свободной НМС в общем случае движения равна векторной сумме скорости точки НМС, выбранной в качестве полюса, и скорости этой точки от мгновенного вращательного движения НМС вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через этот полюс.
6.3. Независимость угловой скорости и углового
ускорения НМС от выбора полюса
Используя формулу (6.3), докажем, что угловая скорость движения НМС относительно мгновенной оси вращения, проходящей через полюс, не зависит от выбора полюса.
Выберем два полюса О и О2, а соответствующие им угловые скорости обозначим через и соответственно (рис. 63).
Рис. 63
На основании формулы (6.3) можно записать:
Подставив третье равенство в первое и сравнивая первые два, получим:
или
Так как , то
, следовательно, .
Взяв производную по времени от равенства , получим , т. е. .
Угловые скорость и ускорение свободного НМС в общем случае движения не зависят от выбора полюса.
6.4. Ускорение точки НМС
Для определения ускорений точек НМС в общем случае его движения возьмем производную по времени от выражения (6.3):
.
Так как здесь
,
то в результате получим формулу:
. (6.4)
Сравнивая полученное выражение с равенством (5.13), можно сделать вывод, что
,
где – ускорение от движения точки В относительно полюса О. Тогда соотношение (6.4) примет вид:
. (6.5)
Теорема: Ускорение точки свободной НМС в общем случае движения равно векторной сумме ускорения точки, выбранной в качестве полюса, и ускорения этой точки от мгновенного вращательного движения НМС вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через этот полюс.