статика / GLAVA7
.docГлава 7. Равновесие НМС, находящейся
под действием систем сил, при наличии трения
7.1. Трение скольжения
Трение друг о друга двух соприкасающихся НМС представляет собой сложное физическое явление. Трение скольжения возникает в касательной плоскости поверхностей соприкосновения НМС при движении или стремлении двигать поступательно одну НМС по поверхности другой.
Рис. 59
Пусть на НМС действует система заданных сил и НМС находится в равновесии, соприкасаясь с поверхностью другой НМС, являющейся связью для рассматриваемой НМС (рис. 59). Если поверхности соприкасающихся НМС абсолютно гладкие, то реакция поверхности связи направлена по нормали к общей касательной плоскости в точке соприкосновения, и направление реакции в этом случае не зависит от действующих на НМС заданных сил. От заданных сил зависит только величина силы реакции. В действительности абсолютно гладких поверхностей не существует. Все поверхности НМС в той или иной степени шероховаты. В связи с этим и сила реакции шероховатой поверхности при равновесии НМС зависит от заданных сил не только по модулю, но и по направлению. Разложив силу реакции на составляющие по нормали и касательной плоскости в точке соприкосновения, получим – нормальную реакцию поверхности и – силу трения скольжения (рис. 59).
Рассматривая сухое трение без смазки, различают трение скольжения при покое или равновесии НМС и трение скольжения при движении одной НМС по поверхности другой.
7.2. Законы Кулона
Законы трения были сформулированы французским физиком Кулоном:
7.2.1. Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей НМС и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения НМС под действием приложенных сил. Сила трения при покое зависит от заданных сил и ее модуль заключен между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода НМС из положения равновесия, т. е.
.
7.2.2. Максимальная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей (в случае их сопоставимости).
7.2.3. Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению ( нормальной реакции ), т. е.
, (7.1)
где безразмерный коэффициент fc называют коэффициентом трения скольжения.
7.2.4. Коэффициент трения скольжения не зависит от нормального давления, а зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, т. е. от величины и характера шероховатости, влажности, температуры и других условий. Численное значение величины этого коэффициента устанавливается экспериментально.
7.3. Угол, тангенс, конус трения
Многие задачи на равновесие НМС на шероховатой поверхности (при наличии силы трения скольжения) удобно решать геометрически с использованием понятий угла, тангенса и конуса трения.
Пусть НМС под действием заданных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции.
Рис. 60
В этом случае полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол , который называется углом трения (рис. 60).
.
Поскольку по третьему закону Кулона ; то
, (7.2)
т.е. тангенс угла трения равен коэффициенту трения cкольжения.
Если рассмотреть НМС, имеющую возможность перемещаться в любом направлении вдоль касательной плоскости из точки соприкосновения с негладкой связью, то геометрическое место полных реакций связи образует поверхность, называемую конусом трения с углом раствора (рис. 60). Конус трения обладает тем свойством, что как бы ни была велика по интенсивности приложенная к НМС сила, линия действия которой расположена внутри конуса трения, эта сила не приведет в движение НМС.
Пример 1
-
Однородный тяжелый стержень DВ длиной см опирается концом D на гладкую вертикальную стену, а другим – В на шероховатую вертикальную стену (точка D расположена выше точки В, рис. 61). Расстояние между стенами h=8 см (h<). Определить коэффициент трения скольжения шероховатой стены fс, при котором возможно равновесие стержня, используя алгоритм С05 РПЛ.
Рис. 61
-
Один объект равновесия.
-
На стержень действуют сила тяжести , приложенная в середине стержня, нормальная реакция гладкой стены и реакция шероховатой поверхности , которую разложим на нормальную реакцию и силу трения cкольжения . По теореме о трех силах (глава 2) линии действия сил , и пересекаются в одной точке (рис. 62).
Рис. 62
С учетом трения скольжения .
-
РПЛ.
Из геометрических условий задачи находим:
Для силы трения скольжения имеем следующие соотношения:
Исключая силу трения скольжения , получаем
.
7.4. Трение качения
Пусть НМС, например цилиндрический каток, катится или стремится катиться по какой-либо поверхности под действием заданной системы сил (рис. 63).
Рис. 63
В этом случае кроме силы трения скольжения, из-за деформации поверхностей дополнительно возникает момент, препятствующий качению катка.
Соприкосновение катка с неподвижной плоскостью из-за деформации поверхностей происходит по некоторой линии ВО1D. По этой линии на каток действуют сходящиеся распределенные силы реакции. Если привести эти силы к точке О, то в этой точке получим главный вектор этой системы сходящихся сил, который создает момент трения качения с плечом fk относительно точки О1.
Существуют следующие приближенные законы для трения качения:
7.3.1. Момент трения качения при покое зависит от заданных сил и он заключен между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода НМС из положения равновесия, т. е.
.
7.3.2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению (нормальной реакции ):
, (7.3)
где коэффициент fk называется коэффициентом трения качения, имеющий размерность длины.
7.3.3. Коэффициент трения качения зависит от материала поверхностей качения и их физического состояния.
Примечание:
Аналогично трению скольжения можно рассмотреть и явление возникновения, так называемого, трения верчения.
Пример 2
-
Какую силу необходимо приложить для равномерного качения цилиндрического катка весом P=300 Н на наклонном участке пути (), если известно, что коэффициент трения качения fk=0,5 см, а каток имеет радиус = 0,5 м (рис. 64)?
-
Один объект равновесия – цилиндрический каток.
5 Момент трения качения определяется соотношением
.
Рис. 64
-
РПЛ.
-
,
.
8 Из уравнения ,
из неравенства .
9 Ответ: Н.
Пример 3
2 МС состоит из соединенных невесомой, нерастяжимой нитью, груза 1, весом Р1 и катка 3 весом Р3, радиуса , находящихся на наклонных плоскостях, и неподвижного блока 2 веса Р2 (рис. 65). Определить натяжение нити H, предельные значения реакции связи блока 2 и условия равновесия МС если:
-
угол наклона шероховатой плоскости, на которой находится груз 1, равен , коэффициент трения скольжения груза по плоскости равен f1;
-
угол наклона плоскости, на которой находится каток 3, равен , коэффициент трения качения катка по плоскости равен fk коэффициент трения скольжения катка по плоскости равен f3.
Рассматриваются два варианта:
первый – каток стремится опуститься вниз,
второй – груз стремится опуститься вниз.
Рис. 65
Первый вариант – каток стремится опуститься вниз.
3 Составная конструкция.
-
n=3.
-
=1 (груз 1)
Рис. 66
Сила трения скольжения определяется соотношением
.
-
РПЛ.
-
,
.
-
Из 2-го уравнения ,
из 1-го уравнения .
С учетом неравенств для и, того, что H1 = H, получим:
,
откуда получим неравенство для H:
.
=2 (блок 2)
5
Рис. 67
-
РПЛ.
-
,
. ()
-
Из 1-го уравнения ,
из 2-го уравнения .
С учетом неравенств для H получим
,
.
=3 (каток)
5
Рис. 68
Сила трения скольжения и момент трения качения определяются соответственно следующими соотношениями:
, .
-
РПЛ.
-
,
-
Из 2-го уравнения ,
из 1-го уравнения ,
из 3-го уравнения .
С учетом неравенств для и и того, что H3=H, получим:
,
.
Для первого варианта должны выполняться следующие неравенства для величины натяжения нити:
,
,
.
Второй вариант – груз стремится опуститься вниз.
Проделав аналогичные операции для второго варианта, получим:
,
,
.
Таким образом, должны выполняться следующие неравенства для величины натяжения нити:
,
, .
Максимальное и минимальное значения H определятся из следующих соотношений:
,
.
Из этих соотношений можно получить решение для любого частного случая значений углов, сил тяжести и наличия или отсутствия трения скольжения и качения.
Например, для частного случая , получим следующие условия равновесия:
при ,
при ,
при .