статика / GLAVA8

Глава 8. Центр параллельных сил

и центр тяжести НМС

8.1. Центр параллельных сил

Определение: Центром системы параллельных сил называется точка пересечения линий действия равнодействующих систем параллельных сил, при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол.

Для нахождения положения центра системы параллельных сил определим его радиус-вектор при условии что известны параллельные силы и радиусы-векторы точек их приложения (рис. 69).

Рис.69

Пусть имеется система параллельных сил , направление которых характеризуется единичным вектором . Каждую из параллельных сил можно представить в виде: , где – проекция силы на направление .

Равнодействующая системы параллельных сил равна:

(8.1)

Применим теорему Вариньона (4.29) относительно точки О:

. (8.2)

Используя формулу (1.2) для моментов сил относительно точки О, входящих в соотношение (8.2), с учетом (8.1) получим:

Подставим записанные выражения в (8.2) и перенесем все в левую часть:

(8.3)

Так как центр параллельных сил, а, следовательно, и его радиус-вектор не зависят от направления параллельных сил, характеризуемого единичным вектором , то условие (8.3) должно выполняться при любом направлении этого вектора. Это возможно только при обращении в нуль векторной величины, стоящей в скобках:

, следовательно

. (8.4)

Векторную величину называют статическим моментом системы параллельных сил относительно точки О.

Координаты центра системы параллельных сил определяются после проектирования выражения (8.4) на оси декартовой системы координат:

. (8.5)

Алгебраические величины

называются статическими моментами относительно координатных плоскостей.

Для плоской системы параллельных сил, расположенных, например, в плоскости хОy, вводят понятие статических моментов относительно осей координат Ox и Oy по формулам:

8.2. Центр тяжести НМС

Определение: Центром тяжести НМС называется центр С системы параллельных сил тяжести материальных частиц этого НМС, определяемый на основании (8.4) формулой:

, (8.6)

где - радиус – вектор  –й частицы,

- вес НМС .

Спроектировав выражение (8.6) на оси декартовой системы координат, получим координаты центра тяжести в виде:

(8.7)

Формулы (8.7) для однородного материального объема v с учетом, что ( - вес единицы объема, v_ – объем -й части НМС) примут вид:

(8.8)

Аналогично, для однородной материальной поверхности площади  получим:

(8.9)

здесь – площадь -й части НМС.

Для однородной материальной линии длины  получим:

(8.10)

здесь – площадь -й части НМС.

Формулы (8.8)–(8.10), если в них перейти к пределу при n, примут интегральную форму:

для однородного материального объема:

; (8.11)

для однородной материальной поверхности:

; (8.12)

для однородной материальной линии:

. (8.13)

8.3. Способы определения центра тяжести НМС

Существуют три теоремы, определяющие положение центра тяжести однородного НМС, которые приводятся без доказательства:

 Центр тяжести однородного НМС, имеющего центр симметрии, совпадает с центром симметрии.

 Центр тяжести однородного НМС, имеющего ось симметрии, лежит на этой оси.

 Центр тяжести однородного НМС, имеющего плоскость симметрии, лежит в этой плоскости.

Наиболее распространенным общим методом определения центра тяжести НМС является метод разбиения однородного НМС (объема, поверхности, линии) на такие части, положение центра тяжести каждой из которых известно или легко может быть найдено. В некоторых случаях (наличие вырезов) целесообразно заменить однородное НМС (объем, поверхность, линию) не суммой, а разностью отдельных его частей (метод отрицательных объемов, площадей, линий).

8.4. Центры тяжести некоторых однородных

АТТ и НМС

Координаты центров тяжестей некоторых простейших плоских фигур приведены в таблице 2:

Таблица 2

Треугольник	Сектор	Дуга
.	.	=.
, .	, yC=0.	, yC=0.

8.5. Алгоритм решения задач по определению

центра тяжести – схема алгоритма С08 ОЦТ

с комментариями и примерами

Комментарии

К.4. Наиболее распространенным методом определения центра тяжести является метод разбиения однородного НМС на такие части, положение центра тяжести каждой из которых известно или легко может быть найдено.

В тех случаях, когда имеются вырезы, целесообразно заменить однородное НМС не суммой, а разностью отдельных его частей (метод отрицательных объемов, площадей, линий). В этом случае в формулах 6-го уровня, определяющих координаты центра тяжести, длины, площади и объемы вырезанных частей берутся со знаком "минус".

К.5. Для нахождения координат центров тяжестей простейших объемов, поверхностей, линий могут быть использованы теоремы, определяющие положение центра тяжести однородной НМС и формулы, приведенные в таблице 2.

К.6. Формулы 6-го уровня при принимают интегральную форму – формулы (8.11)–(8.13).

Примечание

Схема алгоритма С08 ОЦТ может быть использована для нахождения центра масс СМТ. При этом заменяется на (масса материальной частицы).

Пример 1

2 Электрический мотор массы установлен на горизонтальном фундаменте. На валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной 2 и массы . На другой конец стержня насажен точечный груз массы (рис. 70). Определить координаты центра тяжести МС в положении, когда стержень находится под углом и координаты центра тяжести мотора: , м (м).

3г Известны веса трех частей механизма.

4г n=3

МС состоит из: двух АТТ (мотор и стержень) и МТ (груз).

Рис. 70

5г

=1
=2
=3

6г м

7 м,

Пример 2

2 Однородная плоская фигура, изображенная на рис. 71, имеет следующие параметры: см, см, см, см, см, 60 см, cм, .

Найти координаты центра тяжести

3б Однородная поверхность (плоскость). 4б n=4.

1 – большой прямоугольник, 2 – вырезанный прямоугольник,

3 – вырезанный треугольник, 4 – вырезанный полукруг.

Рис. 71

5б

=1		Прямоугольник имеет центр симметрии на пересечении диагоналей.
=2		Центр тяжести прямоугольника .
=3		Центр тяжести треугольника (точка пересечения медиан) .
=4		Центр тяжести сектора .

6б 7 Ответ: (рис. 71).

249