Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Комплексные числа в алгебраической форме

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
24.01.2016
Размер:
1.62 Mб
Скачать

1. Комплексные числа в алгебраической форме.

 

2. Комплексные числа в тригонометрической форме

 

Комплексным числом называется выражение вида

, где

Каждому комплексному числу

геометрически соответствует

 

 

 

 

 

 

 

— действительные числа

 

; — число,

 

точка

на плоскости

. Но положение точки на плоскости,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадрат которого равен минус единице

; число

 

кроме декартовых координат

, можно зафиксировать другой

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначается

.

 

 

 

 

парой — ее полярных координат

в полярной системе

 

 

 

 

 

 

 

 

Величина является неотрицательной и для данной точки определяется

 

Числа и

при этом называются соответственно

 

единственным образом, а угол

может принимать бесчисленное

 

действительной и мнимой частью комплексного числа и

 

множество значений (при этом

): если точке соответствует

 

обозначаются

 

;

— мнимая единица.

 

 

 

 

некоторое значение

, то ей также соответствуют значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение

 

называется алгебраической формой

 

 

 

. Например, если для точки

 

 

 

 

 

 

 

 

записи комплексного числа; знаки между составляющими числа

 

 

 

 

 

 

— обычные знаки операций сложения и умножения, которые

 

выбрать

 

, то ей соответствует любое

 

обладают теми же свойствами, что и в действительной области.

 

 

 

 

 

 

Множество комплексных чисел обозначается , а —

 

 

 

, в частности

при

.

 

 

 

 

 

 

элемент данного множества.

 

 

 

 

Если же выбрать

, то

 

, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из определения следует, что действительные числа можно

 

 

 

 

 

 

 

рассматривать как частный случай комплексных, т.е. , а

при получаем

.

 

 

 

именно при

 

получаем — действительное число.

Используя связь декартовых и полярных координат точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число

называется чисто мнимым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, из алгебраической формы записи комплексного числа

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем тригонометрическую форму:

 

 

 

 

 

3. Показательная форма записи комплексного числа и

4. Предел последовательности комплексного числа. Свойства

 

действия над ними. Формулы Эйлера.

 

 

 

пределов.

 

 

 

 

Если обозначить комплексное число , у которого

 

, а

Многие из понятий, введенных для последовательностей

 

, через

, то есть

 

, то из

действительных чисел, обобщаются на последовательности комплексных

 

 

чисел, причем с сохранением ряда свойств.

 

 

(1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:

 

 

Комплексное число называется пределом последовательности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексных чисел {zn}, если для любого

 

 

Равенство

 

 

называется формулой Эйлера.

 

 

 

 

 

 

Заметим, что геометрически задание комплексного числа

 

> 0 существует такой номер

, что для всех n >

выполняется

 

 

неравенство |zn - z0| < .

 

 

 

 

равносильно заданию вектора

, длина которого равна , то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, а направление — под углом

к оси

(рис. 1.3,б).

 

В этом случае пишут

zn = z0 и говорят, что последовательность {zn}

 

 

сходится к числу z0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательность {zn} комплексных чисел называется ограниченной,

 

 

 

 

 

 

 

 

если ограничена последовательность действительных чисел {|zn|} (т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

если ограничена последовательность абсолютных величин членов данной

 

 

 

 

 

 

 

последовательности).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1° Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их

 

 

 

 

 

 

 

 

пределов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2° Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Действия над к.ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3° Предел частного двух функций равен частному их пределов, при

 

 

 

 

 

 

 

 

условии, что предел знаменателя не равен нулю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4° Константу можно выносить за знак предела:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5° Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Функции комплексного переменного.

Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области.

Пусть заданы два множества и комплексных чисел.

Если каждому значению ставится в соответствие число , то говорят, что на множестве задана функция

комплексного переменного, т.е.

Если записать числа и в алгебраической форме: , то замечаем, что действительная и мнимая части функции являются

функциями переменных и и

.

Задание функции эквивалентно заданию на множестве двух функций

двух действительных переменных.

6.Производная функции комплексного переменного. Условие

Коши-Римана.

Производная функции комплексного переменного в точке вводится так же, как и в действительной области, а именно

(2.1)

Здесь стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Условия Коши-Римана, которые также в некоторых источниках называются условиями Даламбера-Эйлера - соотношения, связывающие

вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного

, где

Для того чтобы функция , которая определена в некоторой

области комплексной плоскости , была дифференцируема в точке

, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и

мнимая части и были дифференцируемы

в точке как функции вещественных переменных и и в этой

точке выполнялись условия Коши-Римана:

7. Гармонические функции.

8. Интегралы от функции комплексного переменного.

9. Свойства интегралов от функции комплексного

 

10. Криволинейный интеграл второго рода.

 

 

переменного.

 

 

 

Если существует

 

 

~

~

 

, не зависящий ни от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim F (xk

, yk ) rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

способа разбиения дуги

AB на части,

ни от выбора точки

 

 

 

 

 

 

~

~

), то этот

предел

называется криволинейным

 

 

 

 

 

 

 

(x

k

, y

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегралом II рода и обозначается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P( x, y)dx Q( x, y)dy

или

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x, y) dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

Итак, по определению, криволинейный интеграл II рода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y)dx Q(x, y)dy lim

n

~

~

 

~ ~

 

 

 

 

 

 

 

(P(xk , yk ) xk

Q(xk , yk ) yk )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0 k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

Свойства аналитических функций. Логарифмическая

 

12. Числовые ряды с комплексной переменной. Степенные

 

 

функция.

 

 

 

ряды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В теории и практике применения функций комплексного переменного

Опр: числовым рядом от комплексного переменного называется числовой

интерес представляют дифференцируемые функции, причем имеющие

ряд z1+z2+…+zn=∑zn

 

 

 

 

 

 

 

производные не в отдельных точках, а на множествах — в областях.

Опр. Частичной суммой числового ряда называется Sn= z1+z2+…+zn

 

Такие функции называют аналитическими.

 

 

Числовой ряд называется сходящимся если существует предел Sn при n-

Имеют место следующие определения.

 

 

>бесконечность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется

Примечание. Все признаки обыкновенных числовых рядов остаются

 

аналитической в области.

 

 

справедливыми для рядов с комплексными членами.

 

 

2. Функция, аналитическая в окрестности некоторой точки,

Степенные ряды.

 

 

 

 

 

 

 

 

называется аналитической в этой точке.

 

 

Определение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Функция называется аналитической на замкнутом множестве если

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x,

 

она является аналитической в некоторой области, содержащей это

 

называется степенным рядом:

 

 

 

 

 

 

множество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

её особыми точками.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если функция непрерывна в области и в каждой точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

области выполняются условия Коши -Римана , то функция

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (xx0), то

является аналитически в области .

 

 

есть ряд вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арифметические свойства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

и

аналитичны в области

 

 

где x0 − действительное число.

 

 

 

 

 

 

 

 

Интервал и радиус сходимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Функции

,

и

аналитичны

Рассмотрим функцию

 

 

 

 

. Ее областью

 

 

в .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определения является множество тех значений x, при которых ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Если

 

в области не обращается в ноль, то

будет

сходится. Область определения такой функции называется интервалом

 

сходимости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аналитична в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если интервал сходимости представляется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Если

 

в области не обращается в ноль, то

 

 

 

 

 

 

то величина R называется радиусом

 

 

будет аналитична в .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отдельно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным

области аналитичности.

 

 

признаком Коши, по формуле

 

 

 

 

 

 

Если множество нулей аналитической в односвязной области

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции имеет в этой области предельную точку, то функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тождественно равна нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для функции от нескольких действительных переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аналитичности по каждой из переменных недостаточно для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аналитичности функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмическая функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеет вид : z=ew где z, w – комплексные числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Def: если на некоторой области D существует функция w=f(z) которая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является однозначной на этом множестве, тогда существует обратная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция z=φ(w)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прологорифмируя функцию z=ew получим w=ln|r|+iargz,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r=sqrt(x^2+y^2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

argzглавное значение агрумента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Интегрирование функций комплексного переменного.

14.

Формула Коши для односвязной области.

Опр. Область D называется односвязной, если любой замкнутый

 

 

 

 

контур расположенный в области D можно стянуть в одну точку.

 

 

 

 

Теорема Коши: если функция f(z) аналитическая на односвязной

 

 

 

 

области D, то интегралом от f по любому кусочно-гладкому контуру,

 

 

 

 

принадлежащему D = 0.

 

 

 

 

 

Теорема 2: пусть область D компелксной плоскости ограничена

 

 

 

 

положительно ориентированным кусочно-гладким контуром Г, тогда

 

 

 

 

для f(z) аналитической на границе области D справедливо тождество

 

 

 

 

Г ( ) = 0

 

 

 

 

 

Область D в этом случае может быть не односвязной.

 

 

 

 

Теорема 3: пусть область D ограничена внешним контуром Г

 

 

 

 

ориентрованным против часовой стрелки(внутренний контур так же

 

 

 

 

ориентирован) и пусть на границе D задана аналитическая функция

 

 

 

 

f(z) тогда имеет место тождество

 

 

 

 

 

( ) = ∑∫ ( )

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

15.

Ряд Лорана.

 

16.

Классификация изолированных особых точек.

Ряд Лорана — двусторонний бесконечный степенной ряд по целым

Точка а Сz называется изолированной особой точкой

 

 

 

степеням

над полем комплексных чисел:

однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и

однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|za|< }, а в самой точке а

 

 

 

 

 

 

не определена.

 

 

 

 

где

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой

 

 

 

точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в

Этот ряд является суммой двух рядов:

некоторой окрестности {R<|z|<

} точки z=

и функция

1.неотрицательная часть ряда Лорана,

которая иногда называется правильной и

2.

отрицательная часть ряда Лорана,

имеет в точке =0 изолированную особую точку однозначного

 

которая иногда называется главной.

характера.

 

 

В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают

 

 

следующие три типа особых точек.

 

 

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

 

 

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если

не существует.

 

 

 

 

 

17. Понятие вычета.

 

18. Вычет бесконечно удаленной точки.

 

 

Вычет относительно бесконечно удаленной точки

Лемма. Если функция F(z) регулярна в кольце {z:r<|za|<R}, то

 

 

 

интеграл

 

 

 

 

, r< <R, не зависит от .

 

 

 

 

 

 

(f(z) - аналитическая в области

обход контура - по

Пусть z=a – изолированная особая точка однозначного

часовой стрелке).

 

 

 

 

 

характера функции f (z). Вычетом функции f (z) в точке z=a (а

 

 

 

) называется величина

 

 

 

 

 

 

c-1 - коэффициент при z-1 в разложении f(z) в ряд Лорана в

 

 

окрестности точки

.

 

( >0 – любое достаточно малое число). При а=

 

 

 

 

(R>0 – любое достаточно большое число). Направление

 

 

 

интегрирования выбрано так, чтобы внутренность круга

 

 

 

осталась слева.

 

 

 

 

Независимость интегралов в последних формулах от и R

 

 

 

соответственно следует из леммы.

 

 

 

 

 

 

 

19. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

20. Преобразования Лапласа.

 

Основная теорема о вычетах. Пусть функция f (z)

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее

регулярна всюду в замкнутой области D за исключением

функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x)

конечного числа изолированных особых точек а ( =1, 2, 3,…,

действительного переменного (оригинал).

 

n), лежащих внутри области D.

 

 

 

 

 

 

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется

Тогда

 

функция:

 

 

,

 

 

 

 

где Г – граница области D, проходимая в положительном

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением

преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг

направлении.

 

 

относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать

 

 

 

 

F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).

 

 

 

 

 

21. Изображение основных элементарных функций.

22. Теорема подобия.

 

 

 

 

Простейшей функцией-оригиналом является единичная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема подобия. Если изображение функции

равно

,

функция Хевисайда

 

. Тогда ясно, что

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изображение функции

 

.

 

 

Если

удовлетворяет условиям 1 и 3,то

 

 

 

 

 

 

является оригиналом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.

.

 

 

 

В дальнейшем мы будем писать

вместо

 

,

 

 

 

 

считая, что

 

для всех отрицательных .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

;

 

;

1.2. Функция

 

 

, где комплексная

таким образом,

;

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переменная

 

, называется лапласовым изображением

 

 

 

 

функции

.Функция

определена в полуплоскости

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тот факт, что

 

является изображением функции

 

 

 

 

 

записывают так:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Изображение функций Хевисайда,

и

:

 

 

 

 

 

 

 

 

. Итак,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. Свойства линейности. Теорема о смещении

 

 

24.

Теорема о дифференцировании изображения.

 

 

изображения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство линейности изображения. Изображение суммы

Дифференцирование изображения. Если

, то

 

 

 

 

 

нескольких функций, умноженных на постоянные, равно сумме

 

 

 

 

 

изображений этих функций, умноженных на соответствующие

 

 

. Используя данную формулу, найдем изображение

 

 

 

 

 

 

 

 

постоянные, то есть если

 

и

, а

 

степенной функции

. Известно, что

. Применяя формулу

 

 

 

 

 

 

дифференцирования изображения при

, получим

 

 

, то

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

. Аналогично

 

или

Пример 2. Изображение функции

 

 

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Далее,

.

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда

или

. При любом

получаем

.

1.5. Теорема смещения. Если

есть изображение

Применяя теорему смещения к этому изображению, получим

 

 

 

 

 

 

функции

, то

есть изображение функции

 

 

 

 

 

 

 

, то есть если

, то

 

 

.

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта теорема позволяет расширить класс функций, для которых

На основании теоремы дифференцирования изображения можно получить

 

 

 

 

 

легко находятся оригиналы по данному изображению.

 

 

изображения функций

и

,

 

Используя данную теорему, получим изображение функций

 

,

,

и некоторых других.

 

,

 

 

 

 

 

 

 

, но

, поэтому

,

.

 

 

 

 

 

.

Гиперболическая функция

имеет

 

изображение

.

Аналогично можно найти изображение гиперболического

косинуса: т.к.

, то

.

Зная изображения ,, по теореме смещения можно получить изображения функций и

. Так, ;

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25. Теорема о дифференцировании оригинала.

 

 

26. Теорема об интегрировании изображения и оригинала.

Если f(n)(t) - оригинал с показателем роста , и f(t) F(p), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(n)(t) pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f `(0)-...-pf(n-2)(0)-f(n-1)(0) при

Rep . В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частности, если f(0) =f `(0) =...=f(n-1)(0)=0, то f(n)(t) pnF(p)

 

 

 

Интегрирование оригинала. Если

 

, то

 

(при дифференцировании оригинала изображение умножается на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование изображений. Если

, а

 

 

 

 

 

 

 

сходится, то

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

27. Теорема о запаздывании оригинала. Теорема о

 

 

28. Применение операционного исчисления к решению

преобразовании Лапласа от свертки.

 

 

 

дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

Теорема запаздывания. Если

, то для любого

x

(n)

(t) a1 x

(n 1)

(t) ... an 1 x`(t) an x(t) f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Это означает, что запаздыванию

 

 

где ak –действительные числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

включения оригинала на

соответствует умножение изображения на

 

 

Требуется найти

 

решение

данного

дифференциального

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Теорему целесообразно использовать при

 

 

 

x(0)=x0, x`(0)=x`0, …, x(n-1)(0)=x0(n-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отыскании изображений функций, которые на разных участках

 

 

где x0, x`0, …, x0(n-1) – заданные числа.

 

 

задаются разными аналитическими выражениями. При этом удобно

 

 

Будем

предполагать,

что

искомая функция

x(t), все ее

 

 

 

 

 

 

записывать функцию

следующим образом:

 

производные, а также функция f (t) являются оригиналами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

x(t) X ( p), f (t) F ( p) .

По

формулам

 

где

– точки изменения

дифференцирования оригиналов

 

 

 

 

 

 

 

аналитического выражения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x`(t) pX x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x``(t) p 2 X px

0

x`

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(n 1) (t) p n 1 X p n 2 x

0

... x(n 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

x(n) (t) p n X p n 1 x

0

... x(n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Перейдем от данного дифференциального уравнения к

уравнению в изображениях

 

 

 

 

 

 

 

 

p n X p n 1 x

0

... x(n 1)

a ( p n 1 X p n 2 x

0

... x(n 2) ) ...

 

 

0

1

 

 

 

 

0

 

an 1 ( pX x0 ) an X F

 

 

 

 

 

 

 

 

Перепишем его так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qn ( p) X ( p) F ( p) Rn 1 ( p) ,

 

 

 

 

где

Q ( p) pn a pn 1

... a

n 1

p a

n

,

 

 

а

n

 

 

1

 

 

 

 

 

 

R

( p) pn

... x(n 1) a ( pn 1 ... x(n 2) ) ... a

n 1

x

n 1

 

 

0

1

 

0

 

 

 

0

Находим так называемое операторное решение уравнения

 

X ( p)

F ( p) Rn 1 ( p)

 

 

Qn ( p)

 

 

 

Найдя оригинал x(t) по его изображению X(p) , мы получим тем

 

самым решение задачи Коши для исходного дифференциального

 

уравнения.

 

 

 

 

29. Применение операционного исчисления к решению

30. Разложение функции в ряд Фурье.

систем дифференциальных уравнений.

Ряд Фурье функции x(t) представляется в виде :

где коэффициенты Фурье a0, an и bn определяются формулами

При расчете коэффициентов ряда Фурье необходимо выбрать начальный момент времени t0 периода интегрирования. Как правило,

значение t0 выбирают так, чтобы упростить вычисления. Обычно, исходя из этого условия, принимают

t0=-Т/2 . Формулы приобретают следующий вид:

31. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье.

32. Разложение в ряд Фурье на произвольном интервале.

Если функция x(t), описывающая сигнал, является четной, то

 

 

есть

 

 

x(t)=x(-t), то коэффициенты an=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются

Для произвольного периода разложения

, где «эль» – любое

положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье

 

только постоянная и косинусоидальные составляющие:

отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если функция x(t), описывающая сигнал, является нечетной,

 

 

то есть

 

 

x(t)=-x(t), то коэффициенты an=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются

 

 

 

только синусоидальные составляющие:

 

 

 

Получила распространение и другая форма записи

 

 

 

тригонометрического ряда Фурье:

 

 

 

где амплитуда An и фаза n-ой гармонической составляющей

 

 

 

связаны с коэффициентами an и bn соотношениям:

Если

, то получаются формулы промежутка

, с которых

 

мы начинали.

 

 

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но

или

возрастает техническая сложность вычислений:

 

 

 

 

 

 

 

33. Уравнение теплопроводности.

 

34. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности.

Температуру физического тела в произвольной точке с координатами

В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье

(x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:

получим:

 

Составим дифференциальное уравнение:

 

 

 

Выражение

называется оператором Лапласа.

Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:

иназывается уравнением теплопроводности в пространстве.

Вкачестве частных случаев рассматривают:

- уравнение теплопроводности в стержне,

-уравнение теплопроводности на плоскости.

Вслучае рассмотрения уравнения теплопроводности в

стержне искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию

и

граничным

условиям

 

 

35. Уравнение колебаний струны.

36. Метод Фурье решения волнового уравнения.

Метод Фурье для уравнения колебаний ограниченной струны

Начальные условия:

.

Решение:

Граничные условия: .

Решение:

где

где

37. Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера.

38.