Контр раб 8вар 1 курс
.docxКонтрольная работа №1
Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры
Вариант 8
1.1.58. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: (7;0;3); (-4;1;-2). Сделать чертеж.
Решение
Площадь параллелограмма, построенного на векторах (7;0;3); (-4;1;-2)
(ед. кв.)
Ответ: (ед. кв.)
2.1.18 Даны уравнения двух высот треугольника х+у=4 и у=2х и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
Решение.
Точка A(0, 2) не принадлежит данным в условии высотам треугольника, так как ее координаты не удовлетворяют их уравнениям: х+у=4 и у=2х. Отсюда следует, что высоты, данные в задаче, проведены из двух других вершин треугольника B и C.
Назовем их CD и BE, CDAB, BEAC. Пусть высота CD имеет уравнение x+y-4=0, а уравнение высоты BE: 2х-у=0.
Прямая, проходящая через точку M(x1,y1) и перпендикулярная к прямой Ax+By+C=0, представляется уравнением A(y-y1) – B(x-x1) = 0.
Получим уравнение прямой АС: 2(у-2)+1(х-0)=0 или х+2у-4=0 искомое уравнение АС.
Уравнение прямой AB найдем, как уравнение прямой, проходящей через точку A(2, 0) перпендикулярно CD: х+у-4=0. Оно имеет вид
(у-2)-1(х-0)=0 или –х+у–2=0 искомое уравнение АВ.
Найдем координату точки C, как точку пересечения прямых СD и АC решая систему уравнений:
C(4;0)
Найдем координату точки B, как точку пересечения прямых ВЕ и АВ решая систему уравнений:
В(2;4)
Уравнение стороны BC: или
-4x-2y+16=0
Таким образом, уравнения всех трех сторон треугольника найдены.
А
В
С
D
E
Ответ: АВ: –х+у–2=0; ВС: -4x-2y+16=0; АС: х+2у-4=0
2.2.48. Составить уравнение плоскости, проходящей через т.А(3;2;-1) и прямую . Сделать схематический чертеж.
Решение.
Преобразуем уравнение плоскости к параметрическому виду:
Найдем две любые точки прямой. При t=1 т.В(0;-2;-3), при t=2 т.С(0;-4;-2)
Пусть имеется три точки А(x1,y1,z1), В(x2,y2,z2), Сx3,y3,z3), тогда уравнение плоскости, проходящее через три точки определяется формулой:
Найдем уравнение плоскости АВС:
Ответ: -8x+3y+6z+24=0
3.1.38. Приведите к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Установите тип этих линий и их расположение. Сделайте схематический чертеж.
Решение.
А=8, В=2, С=5, D=8, Е=2
>0 эллиптический тип
Сделаем замену
А=8, В=2, С=5
D=9-4·2·(-2)=25
· или
Будем рассматривать, тогда
Получили уравнение эллипса центр которого смещен в точку (1;0), и повернутого на угол
3.2.8. Дана (4×4) система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить методом Гаусса (методом исключения неизвестных). Сделать проверку.
Решение.
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду.
=[ Поменяем местами первую и третью строчки]=
=[умножим первую строку на -2 и сложим со второй, умножим первую строку на -3 и сложим с третьей и четвертой]=
=[умножим вторую строку на -7 и сложим с третьей, умножим вторую строку на -1 и сложим с четвертой]=
Решаем систему уравнений
Получаем х1=3 х2=1 х3=0 х4=1
Сделаем проверку, подставляем решения в исходную систему
Ответ: х1=3 х2=1 х3=0 х4=1.