Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами.? .Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 12 участниками соревнований?

     Под вектором в элементарной математике понимают направленный отрезок. Этот отрезок изображается стрелкой и обозначается или одной буквой со стрелкой ( ) (рис.1.1), 

Рис.1. Векторы

либо, как мы условимся в настоящем издании, жирным шрифтом .

      Модулем (абсолютной величиной) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Модуль обозначается . Модуль вектора является скаляром. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым и обозначается как . Если модуль вектора равен нулю, а направление не определено, то можно считать, что он направлен в любую сторону.

      Коллинеарными называются два ненулевых вектора, лежащих на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы  и будем обозначать как . Если неколлинеарные векторы направлены одинаково, их называют параллельными (сонаправленными) - ; противоположно направленные коллинеарные векторы называют антипараллельными

      Два или более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Очевидно, что два коллинеарных вектора всегда компланарны.

      Будем считать, что вектор не зависит от того, где находится начало (такие вектора называются свободными). Два свободных вектора называютсяравными, если они параллельны и имеют равные модули: .

      Пусть имеется два ненулевых вектора  и  (рис.2). Из конца вектора  отложим вектор, равный . Тогда суммой векторов  и  называется вектор, соединяющий начало вектора  и конец вектора  (правило треугольника).

Рис.1.2 Сложение векторов

Можно также использовать следующее из правила треугольника правило параллелограмма: суммой двух неколлинеарных векторов  и называется вектор, идущий из общего начала векторов по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах (рис.3). Оба правила применимы как для коллинеарных векторов, так и в случае, когда один или два вектора являются нулевыми.

Рис.3. Сложение векторов

      Вектор, антипараллельный данному вектору  и имеющий такой же модуль, называется противоположным вектору  и обозначается . Очевидно, что сумма противоположных векторов является нулевым вектором: . Разностью  векторов  и  называется сумма вектора  и вектора, противоположного вектору : . Соединим начала векторов  и , тогда вектор  направлен из конца вектора  в конец вектора  (рис.4).

Рис.4. Разность векторов

Произведением вектора  на число  называется вектор  с модулем , причем  при  и  при . Геометрически умножение  на число  означает "растяжение" вектора  в  раз с сохранением направления при  и изменением на противоположное при .

      Из приведенных выше правил сложения векторов и умножения их на число следуют очевидные утверждения:

1.  (сложение коммутативно); 

2.  (сложение ассоциативно); 

3.  (существование нулевого вектора); 

4.  (существование противоположного вектора); 

5.  (сложение ассоциативно); 

6.  (умножение на число дистрибутивно); 

7.  (сложение векторов дистрибутивно); 

8. .

      В линейной алгебре множество элементов произвольной природы, на котором определены операции сложения и умножения на число, а также справедливы утверждения (1-8), называют линейным пространством, а сами элементы - векторами (в широком смысле) этого пространства. Таким образом, введенные векторы, как направленные отрезки, образуют линейное пространство.

      В физике часто приходится иметь дело с такими свойствами, для определения которых, кроме их численного значения, необходимо указывать и направление в пространстве. Например, скорость, ускорение, сила, момент силы, напряженность электрического или магнитного поля и т. п. Из физического определения этих величин следует, что они являются векторами в своем линейном пространстве - для них выполняются (1-8). Эти физические величины имеют такую же "внутреннюю структуру", что и направленные отрезки. Поэтому логически непротиворечивые правила работы с такими физическими характеристиками можно изучать на примере "работы" с математическими векторами из линейного пространства. Подчеркнем, что свойства (1-8) являются определяющими для вектора. Например, поворот твердого тела на конечный угол вокруг некоторой оси можно задавать с помощью направленного отрезка , параллельного оси вращения и по модулю равного углу поворота. Но такой "поворот" не будет вектором, так как повороты  и  вокруг разных осей, вообще говоря, не коммутруют:  и, таким образом, свойство 1 из (1-8) не выполняется. В противоположность конечным поворотам, повороты на бесконечно малые углы являются векторами.

.Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 12 участниками соревнований? Ответ 1320

Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма

Статистической совокупностью называется совокупность объектов, одинаковых в каком-либо отношении, но  в то же время обладающих варьирующими (изменчивыми) признаками. Вся исследуемая совокупность  однородных объектов называется генеральной совокупностью.Множество из  объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называетсявыборочной  совокупностью или выборкой.Число  объектов, попавших  в выборку, называется объемом выборки.Метод основанный на том, что по данным обследования выборки, взятой из генеральной совокупности, делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.Выборка называется  репрезентативной, если каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть  в выборку.Если из генеральной совокупности отобрана выборка объема n, то количественное  значение признака в этой выборке - это случайная величина, возможные значения которой обозначают символами X₁, X₂,…,X_k и называют вариантами.Числа n_i объектов с одинаковыми значениями вариант называются частотами (весами) и обозначаются n_i,n₂,…,n_k.

2. Вариационный ряд.

Последовательность значений вариант,  расположенных в возрастающем порядке, называетсявариационным рядом.Статистическим распределением называют вариационный ряд значений выборки и соответствующих им частот n_i  или относительных частот W_i.

Xi	X1	X2	…	Xk
ni	n1	n2	…	nk

      .  

3. Полигон и гистограмма.

Полигоном частот (относительных частот) называется  ломаная линия с вершинами в точках (x_k , n_k), где  x_k – варианта, n_k  – ее частота, или (x_k , W_k), где W_k -  относительная частота.Для непрерывных распределений более наглядное представление о характере распределения случайной величины дает гистограмма.Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной h и высотой n_i/h, где h - длина каждого частичного интервала.Если соединить середины верхних прямоугольников гистограммы, то получим полигон частот.

4. Числовые характеристики выборки.

Для изучения основных свойств статистического распределения используют выборочные числовые характеристики. Для нахождения центра распределения вычисляют различные типы средних величин, моду и медиану, степени вариации - размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое  отклонение, коэффициент вариации и другие величины.

1. Выборочная средняя арифметическая:

(1)

2. Выборочная  средняя  квадратическая: 

(2)

3. Выборочная средняя геометрическая:

(3)

При вычислении различных типов средних величин для одного и того же вариационного ряда всегда имеем 

 

Эти неравенства характеризуют свойство мажорантности средних.

Для упрощения вычисления выборочной средней арифметической  удобно переходить  от данных вариант X_i к условным вариантам , где h - разность между соседними вариантами, C - ложный нуль (варианта с наибольшей частотой):           

                                                                           (4)

4. Модой М₀  называется варианта, имеющая  наибольшую частоту.

5. Медианой М_е называется такая варианта, которая делит вариационный ряд  распределения на две равные части, т.е. варианта, находящаяся в середине ряда распределения.Если в дискретном вариационном ряду (2k+1)  значений, то M_e = x_k+1.

Если число вариант четное n = 2k, то медиана определяется как среднее арифметическое из двух серединных значений, т.е. .

6. Размах вариации R определяется  как  разность между максимальным и минимальным вариантами, т.е.

.                                                                        (5)

7. Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней арифметической

                                                                  (6)

           

8. Дисперсией называется средний квадрат отклонения всех значений признака от его средней величины.

                                                         (7)