- •З рівняння (9.1) одержимо, розкривши дужки
- •Нехай пряма задана рівнянням
- •3. Кут між площиною і прямою.
- •1. Еліпс та його канонічне рівняння. Властивості.
- •2. Гіпербола та її канонічне рівняння. Асимптоти гіперболи.
- •3. Парабола та її канонічне рівняння. Властивості.
- •1. Еліпсоїд і гіперболоїд.
- •2. Параболоїди.
Лекція 9.1. Пряма лінія на площині.
Види рівнянь прямої.
1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору
Нехай на площині ХО задана точка М0(х0,y0) і вектор (A,B). Запишемо рівняння прямої, що проходить через М0 перпендикулярно вектору .
Рівнянням прямої буде таке рівняння, якому задовольнять координати кожної точки, що лежить на цій прямій, і не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на цій прямій. Для складання рівняння візьмемо точку М(х,y). Розглянемо вектор (x—x0,y—y0). Тоді для прямої необхідна умова
()=(x—x0)A+(y—y0)B=0. (9.1)
Це і є шукане рівняння.
2. Загальне рівняння прямої. Пряма як лінія першого порядку. Окремі випадки рівняння прямої.
З рівняння (9.1) одержимо, розкривши дужки
Ax+By—Ax0—Bx0=0 Ax+Bx+C=0. (9.2)
число
Рівняння (9.2) і є загальне рівняння прямої на площині.
Зауваження: Лінія, рівняння якої є рівняння першого степеня, називається лінією першого порядку.
Якщо дано рівняння першого степеня, то коефіцієнти при змінних х и y – це А і В, які є коефіцієнтами вектора , перпендикулярного цій прямій.
Приклад: 5х—7y+8=0, те (5,-7).
3. Рівняння прямої, що проходить через дану точку, паралельно даному вектору.
Нехай пряма проходить через дану точку М0(х0,y0) паралельно даному вектору (m,n). Тоді
. (9.3)
Це умова паралельності векторів.
Приклад: М0(5,7), =(-2,3) те рівняння прямої буде
3х+2y—29=0.
4. Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
Тоді
. (9.4)
5. Параметричне рівняння прямих.
Нехай дане рівняння . Тоді
(9.5)
Це і є параметричне рівняння прямої, де t – параметр.
Приклад: М0(5,7), =(-2,3).
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Нехай пряма задана рівнянням
, n0.
Помножимо на «n», одержимо
n/m(x—x0)=y—y0,
n/m — кутовий коефіцієнт, рівний k,
k=tg,
де — кут нахилу прямої до осі ОХ. Тоді
y—y0= k(x—x0). (9.6)
Це і є рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку. Тоді
kx—kx0= y—y0 y=kx+b,
де b=y0—x0.
7. Нормоване рівняння прямої.
Нехай на площині дана пряма, не перпендикулярна осям координат.
Позначимо через Р довжину перпендикуляра , — кут .
Знаючи Р и напишемо рівняння цієї прямої, розглядаючи радіус вектор , тоді проекціянабуде
або ,
||=1, але0=(cos,sin). Тоді можна записати
, (x,y)(cos,sin)=P,
xcos+ysin=P. (9.7)
Це і є нормоване рівняння прямої. A= cos, B= sin.
Відстань від точки до прямої на площині.
Задано пряму L, її рівняння Ах+Вy+С=0 і дана точка М0(х0,y0). Необхідно знайти d — відстань від точки М0 до прямої L. Проведемо через М0 пряму перпендикулярну L й одержимо М1(х1,y1)
.
Але х1 й y1 — невідомі. Тоді зробемо так, рівняння прямої NL і минаючої через М0(х0,y0) може бути записане у вигляді
В(х-х0)-А(y—y0)=0.
Координати точки М1(х1,y1), у якій перетинаються прямі L й N повинні задовольняти рівнянням обох цих прямих, тобто
(*)
До першого рівняння додамо й віднімемо Ах0+Вy0. Тоді
(**) А(х1-х0)+В(y1—y0)= —(Ах0+Вy0+С).
Для відшукання d піднесемо до квадрата другу з рівностей (*) і (**) і складемо почленно, одержимо
(A2+B2)[(x1—x0)2+(y1—y0)2]=(Ax0+Bx0+C)2.
d2
Тоді
. (9.8)
Приклад: М0(1,-4). Визначити її відстань до прямої 4х—3y+12=0.
.
Рівняння прямої у відрізках (самостійно).
Припустимо, що відомо координати точок перетину прямої з осями координат: а – з віссю ОХ, b – з віссю ОY (їх називають відрізками прямої на осях координат). Складемо за цим даними рівняння прямої. Тому що нам відомі М1(а,0), М2(0,b) через які проходить пряма, то можна написати рівняння
. (9.9)
Це рівняння називається рівнянням у відрізках. Його використовують тоді, коли за параметри, що визначають положення прямої на координатній площині зручно прийняти відрізки, що відтинають пряма на осях координат.
Кут між прямими.
Нехай дані дві прямі
А1х+В1у+С1=0
А2х+В2у+С2=0
. (9.10)
Наприклад:
Зауваження: 1) Прямі перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли cos=0, тобто А1А2+В1B2=0
=2—1,
. (9.11)
Якщо прямі паралельні, то tg=0, тобто k2=k1, а перпендикулярні, то 1+ k1k2=0, .
Лекція 9.3. Площина.
Види рівнянь площини.
1. Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно даному вектору
Нехай площина проходить через точку М0(х0,y0,z0) і перпендикулярна =(A,B,C).
Візьмемо на площині точку М(х,y,z), тоді .
A(x—x0)+B(y—y0)+C(z—z0)=0. (9.12)
2. Загальне рівняння площини. Площина як поверхня першого порядку. Окремі випадки загального рівняння.
Перетворимо рівняння (13.13). Одержимо
Ax+By+Cz+D=0, (9.13)
де D= —(Ax0+By0+Cz0)=const.
Це загальне рівняння площини, бачимо, що воно першого степеня відносно х, y, z.
Справедливо й зворотне твердження: усяке рівняння першого степеня відносно х, y, z є рівнянням площини.
Окремі випадки розглянути самостійно.
1. А=0 By+Cz+D=0 площина паралельна осі ОХ; В=0 || OY, С=0 || OZ.
2. D =0 — площина проходить через початок координат.
3. А=В=0 Cz+D=0— площина паралельна осям ОХ й ОY, тобто паралельна ХОY і перпендикулярна OZ рівняння z=С.
А=C=0 ОY, В=C=0 ОХ й y=b, x=a.
4. А=D=0 — площина проходить через вісь ОХ, тобто вона паралельна ОХ і проходить через початок координат.
Аналогічно В=D=0 через ОY, C=D=0 через ОZ.
5. А=В=D=0 — площина збігається з ХОY рівняння z=0.
А=C=D=0 ХОY, y=0; C=В=D=0 YОZ, х=0.
3. Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.
М0(х0,y0,z0), =(ax,ay,az), =(bx,by,bz), М(х,y,z)
, ,— компланарні, тобто паралельні одній площини. Тоді ()=0, тобто
(9.14)
4. Рівняння площини, що проходить через три точки.
М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3)
=[(x2—x1),(y2—y1),(z2—z1)],
=[(x3—x1),(y3—y1),(z3—z1)],
. (9.15)
Приклад: Написати рівняння площини, що проходить через точки А(-2,3,1), В(-1,0,2), З(1,-2,3).
Відстань від точки до площини.
За аналогією з формулою знаходження відстані від точки до прямої на площині можна записати формулу знаходження відстані від точки до площини . Вона набирає вигляду
.
Кут між площинами.
Розглянемо дві площини і , які задано відповідно рівняннями
,
.
Двогранний кут між площинами і дорівнюватиме куту між векторами і , перпендикулярними до цих площин (рис.), тому
. (9.16)
Якщо площини взаємно перпендикулярні, то і дістанемо умову перпендикулярності двох площин:
. (9.17)
Якщо площини і паралельні між собою, то їхні вектори і — колінеарні, а отже, відповідні координати пропорційні, і ми маємо умову паралельності двох площин
. (9.18)
Лекція 9.5. Пряма лінія у просторі.
Види рівнянь прямої.
Пряму у просторі можна задати як лінію перетину двох площин у прямокутній системі координат:
(9.19)
Зрозуміло, що ці площини мають бути непаралельними, тобто їхні нормальні вектори , — не колінеарні. Система (9.19) називається загальним рівнянням прямої. Дістанемо ще деякі форми рівняння прямої.
Канонічне рівняння прямої. Нехай у системі координат Охуz задано пряму l і ненульовий вектор , колінеарний цій прямій. Точка належить прямій, а напрямний вектор . Тоді довільна точка М (х, у, z) лежатиме на прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні:
. (9.20)
Рівняння (9.20) називається канонічним рівнянням прямої у просторі.
Параметричне рівняння.
У рівнянні прямої (9.20) позначимо через t кожне з рівних відношень. Тоді
.
Звідси дістаємо:
Параметричне рівняння прямої в просторі.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
Нехай дві точки і належать прямій у просторі. Тоді вектор можна розглядати як напрямний вектор прямої. Замінюючи ним вектор у рівнянні (9.20), дістанемо шукане рівняння прямої у просторі
.
Маючи кілька рівнянь однієї й тієї ж прямої, поміркуємо, як дістати зв’язок між ними. Розглянемо, як із загального рівняння (9.19) вивести канонічне рівняння (9.20). Для цього потрібно знайти точку, яка лежить на прямій, тобто розв’язати систему (9.19), і напрямний вектор прямої. Пригадуючи геометричний зміст коефіцієнтів у рівнянні площини, записуємо вектор — перпендикулярний до першої площини, а — неперпендикулярний до другої.
Рис.
(9.21)
Кут між прямими у просторі.
і
візьмемо до уваги, що вектори і колінеарні відповідним прямим і скористаємося формулою:
.
З останньої формули випливає умова перпендикулярності двох прямих
,
а умову паралельності двох прямих дістанемо як умову колінеарності напрямних векторів і :
.
Розглянемо ще задачу знаходження відстані від точки до прямої .
Рис. 2.23
(9.22)
Взаємне розміщення прямої і площини у просторі
Нехай задано пряму і площину у просторі. Якщо
,
то пряма перпендикулярна до площини, а коли
,
пряма паралельна площині.
Нехай . Знайдемо координати точки перетину площини і прямої. Перейдемо до канонічного рівняння прямої
і підставимо значення х, у, z у рівняння площини:
Звідси, використовуючи умову непаралельності, знайдемо значення параметра
.
Координати точки перетину:
.