4. Електромагнетизм

1. Магнітне поле електричного струму

Основні формули

1. Закон Біо-Савара-Лапласа в скалярному і векторному вигляді відповідно:

;, деdB – магнітна індукція поля, яке створюється елементом провідника з струмом; - магнітна проникність;- магнітна постійна, яка дорівнює 410^-7 Гн/м ; - вектор, який дорівнює довжиніdl провідника і співпадає з напрямом струму; - сила струму;- радіус-вектор, проведений від середини елемента провідника до точки, магнітна індукція в якій визначається;- кут між векторамиі.

2. Магнітна індукція В зв’язана з напруженістю Н магнітного поля співвідношенням:

B=;.

3. Магнітна індукція в центрі кругового провідника з струмом

;- на осі колового струму, де- радіус кривизни провідника,- відстань від центра площини до точки А.

4. Магнітна індукція поля, яке створюється нескінченно довгим прямим провідником з струмом

, де- відстань від осі провідника.

4. Магнітна індукція поля, яка створюється відрізком провідника

Позначення зрозумілі з рис.1. Вектор індукції перпендикулярний площині малюнка, направлений до нас і тому зображений точкою. При симетричному положенні точки, в якій визначається магнітна індукція. Звідси

.

.

4. Магнітна індукція поля, яке створюється соленоїдом в середній його частині ( або тороїда на його осі).

, деn – число витків на одиницю довжини соленоїда;

I – сила струму в одному витку.

4. Принцип суперпозиції магнітних полів: магнітна індукція результуючого поля дорівнює векторній сумі магнітних індукційскладових полів, тобто

.

В окремому випадку складання двох полів , а абсолютне значення вектора магнітної індукції (його модуль)

, де - кут між векторамиі.

4. Індукція магнітного поля рухомого заряду

;, де- заряд частинки, що рухається,- її швидкість,- відстань від заряду до точки, в якій визначається індукція магнітного поля,- кут між вектором швидкості і радіус-вектором (див.рис.2)

Приклади розв’язування задач.

Задача 1. Два паралельних нескінченно довгих провідника, по яких проходить струм в одному напрямку струми величиною I = 60 A , розташовані на відстані d = 10 см один від одного. Визначити магнітну індукцію В точці, яка знаходиться від одного провідника на відстані r₁ = 5 см і від другого - на відстані r₂ = 12 см.

Розв’язання

Дано: І = 60 А d = 10 см r1 =5 см r2 =12 см BA - ?

Для находження магнітної індукції в даній точці А (рис.3) визначимо напрям векторів індукції іполів, які створюються кожним провідником окремо. Складемо їх геометрично, тобто. Абсолютне значення індукції знайдемо за принципом суперпозиції: (1)

Значення індукцій B₁ і B₂ виражаються відповідно через силу струму I і відстанями r₁ i r₂ від провідників до точки А: ,.

ПідставляючиB₁ і B₂ в формулу (1) і виносячи за знак кореня, отримаємо(2)

Визначимо . Відмітимо, що. Тому за теоремою косинусів запишемоd²=r₁²+r²₂-2r₁r₂Cos, де d – відстань між провідниками. Звідси

Підставивши в формулу (2) значення ₀, I, r₁, r₂ і Cos, знайдемо

B=286мкТл=2,86*10^-4Тл.

Задача 2. Визначити напруженість та індукцію магнітного поля в центрі квадратної рамки із стороною а = 100 см, по якій проходить струм І = 20 А.

Розв’язання

Дано: І = 60 А a = 10 см H0 -? B0 - ?

Згідно принципу суперпозиції полів, напруженість магнітного поля в центрі квадрата, по якому проходить струм I, буде дорівнювати . Всі ці напруженості направлені по одній прямій в один бік (згідно правилу свердлика): з точки О за малюнок. Так як всі вектори колінеарні, то векторну суму можна

записати алгебраїчно:.

Але, так як струм на всіх відрізках контуру однаковий і довжина відрізків однакова, а самі відрізки проводів рівновіддалені від точки, в якій визначається напруженість. Отже,, а так як, то з урахуванням умови задачі, де, аі, отримаємо.

Знайдемо . Враховуючи зв’язок міжВ і Н, отримаємо .

Визначимо .

Задача 3. Площина колового витка радіусом 30 см з струмом І₂ = 3 А паралельна прямому нескінченно довгому провіднику з струмом І₁ = 3,14 А. Нормаль до площини витка, проведена з центра витка, перпендикулярна осі прямого струму. Відстань від центра витка до прямого провідника 20 см. Знайти індукцію магнітного поля в центрі витка.

Розв’язання

Дано: І1 = 3,14 А І2 = 3 А d = 0,2 м r = 0,3 м B0 - ?

Магнітне поле в центрі витка складається з магнітних полів, які створюються прямим провідником з струмом і коловим витком з струмом. Згідно принципу суперпозиції магнітних полів, магнітне поле в центрі витка дорівнює . Де В1 - індукція поля, створеного прямим струмом, а

В₂ - коловим струмом в даній точці. Використовуючи правило буравчика, визначимо напрям векторів В₁ і В₂ в точці О. Як видно з малюнка, вектори В₁ і В₂ взаємно перпендикулярні, отже .

За законом Біо-Савара-Лапласа:

; .

Таким чином, індукція результуючого поля В₀, дорівнює:

;

Проведемо розрахунки і перевірку величин:

; .

Задача 4. Два довгих паралельних провідника з однаково направленими струмами І₁ = 4 А; І₂ = 6 А знаходяться на відстані r = 5 см один від одного. Знайти напруженість магнітного поля в точці, віддаленій на 2 см від одного і 3 см від іншого провідника.

Розв’язання

Дано: І1 = 4 А І2 = 6 А r1 = 2 см r2 = 3 см r = 5 см HА -?

Перш за все, необхідно зобразити на малюнку розташування провідників і вказати напрями струмів в них. Нехай провідники розташовані перпендикулярно до площини малюнка і струми направлені від нас. А – точка, в якій, за умовою задачі, треба визначити напруженість магнітного поля. Так як поле створене двома струмами, то необхідно застосувати принцип суперпозиції полів:

.

Число доданків в правій частині визначається числом провідників з струмом в умові задачі

, (1)

де H₁ – напруженість поля, створеного в точці А провідником з струмом I₁;

H₂ - напруженість поля в точці А, створена струмом I₂. Запишемо рівняння (1) в скалярній формі. Для цього треба знайти напрям векторів напруженості. Спочатку за правилом буравчика знаходимо напрям силових ліній поля струму I₁ та І₂. Для струму І₁ побудуємо силову лінію радіуса r₁, для струму I₂ - радіуса r₂. Силові лінії повинні проходити через ту точку, в якій визначається напруженість.

Вектор напруженості повинен бути дотичним до силової лінії в точці А. Як видно з мал.7, вектори H₁ i H₂ знаходяться в одній площині і напрямлені вздовж однієї прямої в різні боки. Тому рівняння (1) може бути переписане в скалярній формі:

. (2)

Тепер визначимо модулі H₁ і H₂ по формулі напруженості поля прямолінійного струму:

; .

Підставимо ці вирази в формулу (2), отримаємо .

Проведемо розрахунки:

.

Знак “ - “ свідчить про те, що напрям вектора H_A співпадає з напрямом вектора H₂ .

Задача 5. Визначити максимальну магнітну індукцію B_max поля, яке створюється електроном, що рухається прямолінійно із швидкістю , в точці, що знаходиться від траєкторії на відстаніd = 1нм.

Розв’язання

Дано: v = 10-7 d = 10-9 м Bmax -?

Рухомий заряд створює в просторі магнітне поле, індукція якого в будь-якій точці поля прямо пропорційна величині заряду його швидкості і магнітній проникності середовища і обернено пропорційна квадрату відстані даної точки поля від заряду. Індукція залежить від кута між векторамиі.

При інших рівних умовах вона максимальна в точках прямої, що проведена через заряд перпендикулярно до вектора його швидкості . В усіх точках поля, що знаходяться на прямій, яка співпадає з вектором швидкостіруху заряду, магнітна індукція дорівнює нулю.

Числове значення магнітної індукції в точці А поля рухомого заряду дорівнює: . (1)

Згідно умови задачі кут , отже.

Тоді .

Перевіряємо величини .