Учреждение образования

«Частный институт управления и предпринимательства»

В.А. Шкель

ЭКОНОМЕТРИКА

И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Сборник задач

Учебно-методическое пособие

Минск

2013

УДК 519.2

ББК 22.173

Ш66

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом

Частного института управления и предпринимательства

А в т о р

доцент кафедры высшей математики и статистики

Частного института управления и предпринимательства

кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник В.А. Шкель

Р е ц е н з е н т ы:

доцент кафедры высшей математики БГУИР кандидат физико-математических наук, доцент В.М. Метельский;

доцент кафедры управления финансами ГИУСТ БГУ кандидат физико-математических наук, доцент Н.Н. Рачковский

Рассмотрено и одобрено

на заседании кафедры высшей математики и статистики,

протокол № 10 от 12.04.2013 г.

Шкель, В.А.

Ш66 Эконометрика и экономико-математические методы и модели: сборник задач: учеб.-метод. пособие / В.А. Шкель – Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2013. – 36 с.

ISBN 978-985-6971-89-4.

Рассматриваются примеры решения задач по эконометрике и ЭМММ, приведены задания для использования в учебном процессе и для самостоятельной работы.

Пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.

УДК 519.2

ББК 22.173

ISBN 978-985-6971-89-4 © Шкель В.А., 2013

© Частный институт управления и предпринимательства, 2013

Содержание

Линейная парная регрессия 4

Модель множественной регрессии 7

Матричные игры 11

Системы массового обслуживания (СМО) 19

Модели сетевого планирования и управления 23

Модель межотраслевого баланса 30

Список литературы 33

Линейная парная регрессия

Пример. В таблице приведены данные о двух условных экономических показателях x и y.

x	2,0	2,1	2,3	2,4	2,9	3,3	3,8	4,6
y	14,3	18,6	18,7	20,9	22,3	24,2	25,7	27,0

Необходимо:

1) оценить степень тесноты связи между переменными с помощью коэффициента корреляции;

2) построить уравнение линейной регрессии;

3) вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

Решение

Для оценки силы линейной зависимости между переменными x и y вычислим коэффициент корреляции r_xy по формуле

где

Вычисления сведем в таблицу:

№	x	y	x^2	y^2	xy
1	2,0	14,3	4,00	204,49	28,60
2	2,1	18,6	4,41	345,96	39,06
3	2,3	18,7	5,29	349,69	43,01
4	2,4	20,9	5,76	436,81	50,16
5	2,9	22,3	8,41	497,29	64,67
6	3,3	24,2	10,89	585,64	79,86

Окончание таблицы

№	x	y	x^2	y^2	xy
7	3,8	25,7	14,44	660,49	97,66
8	4,6	27,0	21,16	729,00	124,20
Сумма	23,4	171,7	74,36	3809,37	527,22
Среднее	2,92	21,46	9,29	476,17	65,90

Подставляя значения в формулу, получим:

var (x) = 9,29 – 2,92² = 0,74;

var ( y) = 476,17 – 21,46² = 15,64;

Так как коэффициент корреляции близок к единице, то между переменными x и y существует достаточно выраженная линейная зависимость.

Для построения линейного уравнения регрессии = a + bx коэффициенты a и b находим по формулам:

Подставляя значения, получим:

a = 21,46 – 4,38 · 2,92 = 8,67;

= 8,67 + 4,38 · x.

Средняя ошибка аппроксимации вычисляется по формуле

Так как средняя ошибка аппроксимации меньше 10%, уравнение регрессии может использоваться для исследования зависимости между переменными.

Задачи

Для переменных, заданных в таблицах, оценить степень тесноты связи между переменными, построить уравнение линейной регрессии и вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

1

x	3,3	3,5	2,5	3,9	3,6	1,8	3,4	2,3
y	67	66	70	61	63	75	65	69

2

x	21	25	25	19	28	35	34	39
y	14	17	17	15	25	28	28	34

3

x	1,5	2,1	2,6	2,9	3,8	4,8	5,8	5,6
y	28	29	44	52	69	77	82	90

4

x	5,6	5,8	4,8	6,3	6,0	4,0	5,8	4,5
y	79	75	86	73	70	80	75	77

5

x	1,4	2,2	2,5	2,8	3,8	4,8	5,8	5,6
y	28	30	41	52	69	77	81	85

Модель множественной регрессии

Пример. В таблице приведены данные трех переменных экономического содержания. Построить уравнение множественной регрессии и вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

y	10,3	10,5	10,6	10,7	11,0	11,5	12,0	12,2
x1	5	12	5	10	7	5	13	7
x2	0,85	0,98	0,82	0,7	0,53	0,48	0,61	0,47

Коэффициент уравнения множественной регрессии =b₀ + + b₁ x₁ + b₂ x₂ найдем после решения системы уравнений:

Вычисления сведем в таблицу:

№	y	x1	x2	x1^2	x2^2	y^2	x1x2	x1 y	x2 y
1	10,3	5	0,85	25	0,7225	106,09	4,25	51,5	8,755
2	10,5	12	0,98	144	0,9604	110,25	11,76	126,0	10,290
3	10,6	5	0,82	25	0,6724	112,36	4,10	53,0	8,692
4	10,7	10	0,70	100	0,4900	114,49	7,00	107,0	7,490
5	11,0	7	0,53	49	0,2809	121,00	3,71	77,0	5,830
6	11,5	5	0,48	25	0,2304	132,25	2,40	57,5	5,520
7	12,0	13	0,61	169	0,3721	144,00	7,93	156,0	7,320
8	12,2	7	0,47	49	0,2209	148,84	3,29	85,4	5,734
Сумма	88,8	64	5,44	586	3,9496	989,28	44,44	713,4	59,631
Среднее	11,1	8	0,68	73,25	0,4937	123,66	5,555	89,175	7,4539

Система уравнений для определения параметров b₀, b₁, b₂:

Решаем систему методом Крамера:

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

= 12,6949 + 0,0814x₁ – 3,3062x₂.

Для вычисления средней ошибки аппроксимации вычислим значения ,y – , :

y		y –
10,3	10,2916	0,0084	0,0008
10,5	10,4316	0,0684	0,0065
10,6	10,3908	0,2092	0,0197
10,7	11,1946	–0,4946	–0,0462
11,0	11,5124	–0,5124	–0,0466
11,5	11,5149	–0,0149	–0,0013
12,0	11,7363	0,2637	0,0220
12,2	11,7108	0,4892	0,0401

Окончательно:

Задачи

В таблицах приведены данные о стоимости квартиры (переменная y) в зависимости от ее общей площади (x₁) и площади кухни (x₂). Построить уравнение множественной регрессии и вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

1

y	56	73	72	59	73	68	60	107
x1	43	57	56	45	58	53	47	80
x2	13	13	10	8	10	9	8	10

2

y	61	77	76	62	77	72	62	113
x1	43	57	56	45	58	53	45	88
x2	13	13	10	8	10	9	8	10

3

y	70	58	73	50	49	58	67	49
x1	55	46	57	37	37	44	53	37
x2	9	8	9	8	8	8	8	8

4

y	74	61	77	52	51	62	70	50
x1	55	46	57	34	34	44	53	34
x2	9	8	9	8	8	8	6	7

5

y	66	61	54	97	58	53	101	44
x1	58	57	46	83	48	46	88	37
x2	10	9	8	10	9	8	25	6