Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Шпоры ИУП_1сессия / shpory_matematika.docx
Скачиваний:
95
Добавлен:
05.02.2016
Размер:
68.24 Кб
Скачать

1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.

Бесконечная числовая последовательность-числовая функция Хп=J(n), n=1,2,3…,определённая на множестве нат-ых чисел N. Каждое значение Хп называется элементом (или членом) послед-ти,а число п-номером элемента последовательности.Послед-ть всегда содержит бесконечное число членов. Пример: (1/п2)=(1,1/22,1/32,1/42); (2)=(2,2,2); (-п)=(1,-1,-3). 1)Последовательность(Хп)наз-ся ограниченной снизу (сверху), если А принадлежит действительным числам и Хп>=А, п принадлежит натуральным числам (Хп<=А,п принадлежит натуральным числам).

2)послед-ть (Хп) называется ограниченной , если она ограничена сверху и снизу. Пример: (1/п2)- ограничена, число А=2, -2<1/п2<2, для п натуральных; (п)- ограничена снизу; (-п)- ограничена сверху.

3)Е- окрестность (эпсилон-окрестность) точки а называют любой интервал (а-е, а+е), е>0

а-е______а_______а+е (если убрать точку а то такая последовательность будет называться проколотой).

4)Число а наз-ся пределом числовой последовательности (Хп) при п- стремящемся к бесконечности, если для любого положительного сколько угодно малого числа е существует номер N=N (е), такой что для всех п>=N выполняется равенство [Хп-а]<е. Предел числовой последовательности обозначается lim Хп =а (п стремится к бесконечности).

5)последовательность имеющая конечный предел наз-ся сходящейся, а не иеющая наз-ся расходящейся. Если Хп стремится (при п стремящемяся к бесконечнорсти) к – бесконечности или к + бесконечности, то говорится что бесконечность сходится к бесконечности,т.е. limХп=-+бесконечность (п стремится к бесконечности).

Свойства сходящихся последовательностей:

1.сходящаяся последовательностьимеет единственный предел;

2.сходящаяся последовательность ограничена;

3.если limХп=а и а не=0, то начиная с некоторого номера, члены последовательности имеют тот же знак, что и знак а

4. lim с= С

5. если последовательность (Хп) и (Уп) сходятся и lim Хп=а, lim=b, с=const, то:

А)lim (Xn+-Yn)= limXn+-limYn=a=-b

Б)lim(c*Xn)=c*limXn=c*a

В)lim (Xn*Yn)=limXn*limYn=a*b

Г)limXn/Yn=limXn/limYn=a/b, b не=0,Ynне=0

Д)lim (Xn)p=(limXn)p=ap

Е)limaxn=alimXn

2.Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Предел функции-с его помощью определяются многие др. матем.понятия.

Определение предела функции в точке по Коши- число А принадлежащее R называется пределом функции f(х) в точке х0, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки х0 и если для любого сколь угодно малого числа Е>0 можно указать такое число b=b (х0, е)>0 что для всех х удовлетворяющих условие 0<|x-x0|<b, выполняется неравенство |f(x)-A|<e если e>0, b>0, то 0<|x-x0|<b/

Определение предела функции в точке по Гейне- число А принадлежащее R называется пределом функции f(x) в точке х0, если функция f(x) определенна в некоторой проколотой окрестности точки х0 и если для любой последовательности (хп), хпне=х0, сходящейся к х0, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции сходится к А при п стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы функции в точке. Назовём левой полуокрестностью точки хо произвольный интервал (а,хо), а<х0, а правой полуокрестностью точки хо- произвольный интервал (хо, b), хо<b/

Число А наз. Пределом функции в точке хо справа (слева), если функция определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки хо и если для любой последовательности (хп), хп0п0), сходящейся к хо, соответствующая последовательность (f(xg)) значений функции сходится к А. Односторонние пределы обозначают: f(x0+0)= lim f(x)=A-предел слева

F(x0-0)=lim f(x)=A-предел слева

Число А принадлежащее R наз-ся пределом функции при х стремящемся к + бесконечности, если Е>0, b>0, x>B: |f(x)-F|<E.

Бесконечно малая функция- функия в которой х стремится х0, если lim f(x)=0

Бесконечно большая функция-при х стремящемся к х0, если для любого числа е можно указать такое число b=b(x0,e)>0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-x0|<b, выполняется неравенство |f(x)|>e, в этом случае lim f(x)= бесконечности.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:

  1. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малой функции при х стремящемся к хо есть бесконечно малая функция при х стремящемся к хо

  2. Lim f(x)=A, когда f(x)=A+a(x), где a(x)- бесконечно малая функция при х стремящемся к х0

  3. Если f(x) бесконечно большая функция при х стремящемся к х0, то 1/f(x)- бесконечно малая функция при х стремящемся к х0. Если f(x) бесконечно малая функция при х стремящемся к хо, то 1/f(x)- бесконечно большая функция, при х стремящемся х0

Соседние файлы в папке Шпоры ИУП_1сессия