- •1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.
- •2.Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •3.Основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.
- •4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.
- •6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.
- •7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00
- •8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
- •11Асимптомы графика функции
- •12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.
- •13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.
- •14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
- •15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •18.Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.
- •20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.
- •21.Интегрирование по частям в определённом порядке.
- •22.Приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.
- •23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
- •24.Дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.
- •25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.
- •26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.
- •28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.
- •29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.
- •30.Ряды Тейлора и маклорена.
1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.
Бесконечная числовая последовательность-числовая функция Хп=J(n), n=1,2,3…,определённая на множестве нат-ых чисел N. Каждое значение Хп называется элементом (или членом) послед-ти,а число п-номером элемента последовательности.Послед-ть всегда содержит бесконечное число членов. Пример: (1/п2)=(1,1/22,1/32,1/42); (2)=(2,2,2); (-п)=(1,-1,-3). 1)Последовательность(Хп)наз-ся ограниченной снизу (сверху), если А принадлежит действительным числам и Хп>=А, п принадлежит натуральным числам (Хп<=А,п принадлежит натуральным числам).
2)послед-ть (Хп) называется ограниченной , если она ограничена сверху и снизу. Пример: (1/п2)- ограничена, число А=2, -2<1/п2<2, для п натуральных; (п)- ограничена снизу; (-п)- ограничена сверху.
3)Е- окрестность (эпсилон-окрестность) точки а называют любой интервал (а-е, а+е), е>0
а-е______а_______а+е (если убрать точку а то такая последовательность будет называться проколотой).
4)Число а наз-ся пределом числовой последовательности (Хп) при п- стремящемся к бесконечности, если для любого положительного сколько угодно малого числа е существует номер N=N (е), такой что для всех п>=N выполняется равенство [Хп-а]<е. Предел числовой последовательности обозначается lim Хп =а (п стремится к бесконечности).
5)последовательность имеющая конечный предел наз-ся сходящейся, а не иеющая наз-ся расходящейся. Если Хп стремится (при п стремящемяся к бесконечнорсти) к – бесконечности или к + бесконечности, то говорится что бесконечность сходится к бесконечности,т.е. limХп=-+бесконечность (п стремится к бесконечности).
Свойства сходящихся последовательностей:
1.сходящаяся последовательностьимеет единственный предел;
2.сходящаяся последовательность ограничена;
3.если limХп=а и а не=0, то начиная с некоторого номера, члены последовательности имеют тот же знак, что и знак а
4. lim с= С
5. если последовательность (Хп) и (Уп) сходятся и lim Хп=а, lim=b, с=const, то:
А)lim (Xn+-Yn)= limXn+-limYn=a=-b
Б)lim(c*Xn)=c*limXn=c*a
В)lim (Xn*Yn)=limXn*limYn=a*b
Г)limXn/Yn=limXn/limYn=a/b, b не=0,Ynне=0
Д)lim (Xn)p=(limXn)p=ap
Е)limaxn=alimXn
2.Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Предел функции-с его помощью определяются многие др. матем.понятия.
Определение предела функции в точке по Коши- число А принадлежащее R называется пределом функции f(х) в точке х0, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки х0 и если для любого сколь угодно малого числа Е>0 можно указать такое число b=b (х0, е)>0 что для всех х удовлетворяющих условие 0<|x-x0|<b, выполняется неравенство |f(x)-A|<e если e>0, b>0, то 0<|x-x0|<b/
Определение предела функции в точке по Гейне- число А принадлежащее R называется пределом функции f(x) в точке х0, если функция f(x) определенна в некоторой проколотой окрестности точки х0 и если для любой последовательности (хп), хпне=х0, сходящейся к х0, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции сходится к А при п стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы функции в точке. Назовём левой полуокрестностью точки хо произвольный интервал (а,хо), а<х0, а правой полуокрестностью точки хо- произвольный интервал (хо, b), хо<b/
Число А наз. Пределом функции в точке хо справа (слева), если функция определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки хо и если для любой последовательности (хп), хп>х0 (хп<х0), сходящейся к хо, соответствующая последовательность (f(xg)) значений функции сходится к А. Односторонние пределы обозначают: f(x0+0)= lim f(x)=A-предел слева
F(x0-0)=lim f(x)=A-предел слева
Число А принадлежащее R наз-ся пределом функции при х стремящемся к + бесконечности, если Е>0, b>0, x>B: |f(x)-F|<E.
Бесконечно малая функция- функия в которой х стремится х0, если lim f(x)=0
Бесконечно большая функция-при х стремящемся к х0, если для любого числа е можно указать такое число b=b(x0,e)>0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-x0|<b, выполняется неравенство |f(x)|>e, в этом случае lim f(x)= бесконечности.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
Сумма и произведение конечного числа бесконечно малой функции при х стремящемся к хо есть бесконечно малая функция при х стремящемся к хо
Lim f(x)=A, когда f(x)=A+a(x), где a(x)- бесконечно малая функция при х стремящемся к х0
Если f(x) бесконечно большая функция при х стремящемся к х0, то 1/f(x)- бесконечно малая функция при х стремящемся к х0. Если f(x) бесконечно малая функция при х стремящемся к хо, то 1/f(x)- бесконечно большая функция, при х стремящемся х0