Математический анализ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины

«МАТЕМАТИКА»

для студентов специальностей 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,

080502 «Экономика и управление на предприятии»,

080507 «Менеджмент организации»

Ра з д е л 2

Ма т е м а т и ч е с к и й а н а л и з

ид и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я

вэ к о н о м и к е и у п р а в л е н и и

(второй семестр)

Москва

2008

Рабочая программа составлена на основе государственного образо вательного стандарта высшего профессионального образования по спе циальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Менеджмент орга низации», утвержденного 17.03.2000 г.

С о с т а в и т е л ь

декан факультета бизнес администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики,

кандидат экономических наук, доцент

В.И. Соловьев

От в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р

декан факультета бизнес администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики,

кандидат экономических наук, доцент

В.И. Соловьев

Ра с с м о т р е н а и о д о б р е н а

на заседании кафедры математической экономики и эконометрики 1 сентября 2008 г. (протокол № 2)

Со г л а с о в а н а

свыпускающими кафедрами специальностей 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,

080502 «Экономика и управление на предприятии»,

080507 «Менеджмент организации»

ОРГАНИЗАЦИОННО,МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Программа учебной дисциплины «Математика» составлена в соответст вии с Государственным образовательным стандартом высшего профессио нального образования по специальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Ме неджмент организации».

Согласно Государственному образовательному стандарту высшего про фессионального образования по специальности 080507 «Менеджмент органи зации», «область профессиональной деятельности менеджера — обеспечение эффективного управления организацией, организация систем управления, со вершенствование управления в соответствии с тенденциями социально экономического развития… Менеджер должен быть готов к следующим видам деятельности: управленческая, организационная, экономическая, планово финансовая, маркетинговая, информационно аналитическая, проектно исследовательская, диагностическая, инновационная, методическая, консуль тационная, образовательная,… должен знать принципы принятия и реализа ции экономических и управленческих решений, уметь выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты, использовать ос новные и специальные методы экономического анализа информации в сфере профессиональной деятельности, разрабатывать и обосновывать варианты эффективных хозяйственных решений, критически оценивать поведение эко номических агентов, тенденции развития объектов в сфере профессиональной деятельности, уметь использовать компьютерную технику в режиме пользо вателя для решения экономических задач». Аналогичные требования содер жатся в Государственном образовательном стандарте высшего профессио нального образования по другим экономическим специальностям.

ВГосударственном образовательном стандарте определяются требования

ксодержанию и уровню математического образования экономистов и менед жеров, в соответствии с которыми экономист и менеджер должен иметь пред ставление о месте современной математики в общечеловеческой культуре и ее роли в экономических исследованиях, об истории развития математики и ее экономических приложений, знать и уметь использовать основы математиче ского анализа, основы алгебры, геометрии и дискретной математики, основы теории дифференциальных уравнений и численных методов, основы теории вероятностей и математической статистики.

Целью преподавания дисциплины «Математика» студентам экономиче ских специальностей является обучение студентов основным математическим понятиям и методам применительно к решению задач принятия и реализации экономических и управленческих решений, анализа, прогнозирования и эф фективного управления экономическими системами с учетом неопределенно сти внешней среды и ограниченности внутренних возможностей управляемого объекта.

При преподавании дисциплины ставятся следующие задачи:

3

•ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходи мого для решения практических экономических и управленческих задач;

•привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу по математике и ее экономическим приложениям;

•выработать у студентов навыки математического исследования приклад ных экономических вопросов и умение перевести экономическую задачу на математический язык, найти подходящий метод решения задачи, вос пользоваться для ее решения вычислительной техникой, экономически проанализировать результаты решения и применить их на практике;

•развить у студентов логическое мышление и повысить общий уровень их математической культуры.

Овладение дисциплиной развивает у студентов аналитическое мышление, прививает навыки количественного обоснования принимаемых управленческих решений. Знания, умения и навыки, полученные в результате освоения дисцип лины, могут быть использованы выпускниками во всех видах их деятельности в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профес сионального образования. Все это имеет большое значение для последующей практической работы экономистов и менеджеров.

Особенностью программы является ее п р и к л а д н а я н а п р а в л е н н о с т ь, позволяющая развить у студентов навыки анализа экономических проблем, повысить мотивацию к изучению дисциплины, тем самым повысить эффективность обучения.

Дисциплина «Математика» состоит из четырех разделов («Линейная ал гебра и аналитическая геометрия», «Математический анализ и дифференци альные уравнения с экономическими приложениями», «Теория вероятностей и математическая статистика в экономике и управлении», «Методы оптими зации и исследования операций в экономике и управлении») и изучается в те чение первых четырех семестров. Объем аудиторной нагрузки, необходимой для освоения программы, составляет 240 ч. для студентов очной формы обуче ния.

Методика преподавания дисциплины «Математика» строится на сочета нии лекций со следующими видами учебной работы: групповыми практиче скими занятиями, групповыми и индивидуальными консультациями по от дельным разделам программы; выполнением студентами индивидуальных и групповых домашних заданий; выполнением студентами контрольных зада ний, внеаудиторной самостоятельной работой студентов с учебным материа лом под контролем преподавателя (работа с учебниками, учебными пособия ми, методическими указаниями, заданиями, специальной литературой, поиск необходимой информации в сети Интернет). Кроме того, на практических за нятиях активно используются активные методы обучения, в том числе, метод конкретных ситуаций, когда студентам предлагается для рассмотрения ре альная проблема, и они находят ее решение при помощи изучаемых матема тических методов. Важной методической особенностью является интенсифи кация самостоятельной работы студентов с использованием персональных компьютеров, особенно в третьем и четвертом семестрах.

4

Особенно отметим обязательное выполнение студентами индивидуаль ных семестровых контрольных заданий, приведенных в настоящей програм ме (номер варианта индивидуального задания выбирается по последней циф ре номера зачетной книжки студента).

В конце первого, второго, третьего и четвертого семестров по дисципли не «Математика» проводятся экзамены.

Дисциплина «Математика» изучается параллельно с общепрофессиональ ными дисциплинами, что позволяет активизировать освоение математических методов применительно к решению экономических задач и выработке управ ленческих решений на основе математического моделирования. В свою очередь, после изучения дисциплины «Математика» студенты смогут легче осваивать все последующие дисциплины специальностей (умея формализовать экономические постановки задач и делать выводы на основе исследования соответствующих экономико математических моделей), а также использовать математические методы и модели при курсовом и дипломном проектировании.

Во втором семестре изучаются м е т о д ы м а т е м а т и ч е с к о г о а н а л и з а и м е т о д ы р е ш е н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й, которые необходимы при исследовании многих микро и макроэконо мических проблем и будут использованы как в третьей и четвертой частях дис циплины «Математика», так и в дисциплинах «Эконометрика», «Финансовая математика», «Математические модели и методы в экономике».

5

6

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

		ЛЕКЦИИ			ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ	САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
						СТУДЕНТА
	№	Тема, основные вопросы		№	Тема, основные вопросы	Тема, основные вопросы	Бюджет
	зан.			зан.			времени
					Тема 1. Понятие функции
	1	Элементы теории множеств и мате		1	Операции над множествами. Логи	Элементарные функции: ли	4
		матической логики. Счетные и несчет			ческие операции.	нейная функция, парабола, ги
		ные множества. Множества натураль				пербола, степенная функция, по
		ных, целых, рациональных и действи				казательная, логарифмическая
		тельных чисел. Операции математиче				функция, многочлены.
		ской логики.
		Общее понятие	функции. Функция
		одной переменной.	Способы задания
		функций: аналитический, графический,
		табличный. График функции. Свойства
		функций одной переменной: четность,
		монотонность, выпуклость, периодич
		ность.
		Функциональные зависимости в эко
		номике: функции полезности, однофак
		торные производственные функции, ли
		нейные функции спроса и предложения,
		линейная функция издержек и кривая
		средних издержек.
				Тема	2. Числовые последовательности
	2	Числовые последовательности, пре		2	Вычисление предела последова	Паутинообразная модель рын	4
		дел последовательности, монотонные,			тельности. Простые и сложные про	ка одного товара.
		ограниченные последовательности. Гео			центы.
		метрическая и арифметические про
		грессии.

		Простые и сложные проценты. Нара
		щенные суммы. Дисконтирование. Рас
		чет стоимости акций и облигаций.
						Тема 3. Теория пределов
3		Предел функции. Бесконечно малые и		3		Вычисление пределов функций.	Контрольное задание	10
		бесконечно большие функции. Беско
		нечно малые и предел функции. Основ
		ные свойства пределов. Сравнение бес
		конечно малых.
		Первый и второй замечательные пре
		делы.
					Тема 4. Непрерывность функций
4		Непрерывность функции в точке и на		4		Исследование функций на непре	Решение задач.	4
		множестве. Классификация точек раз				рывность и точки разрыва. Опреде
		рыва.				ление асимптот графика функции.
		Примеры непрерывных и разрывных
		функций в экономике: функции издер
		жек, зависимость налоговой ставки от
		дохода.
		Асимптоты графика функции. Асим
		птотическое поведение функций спроса
		(кривые Торнквиста).
				Тема		5. Производная и дифференциал
5		Производная функции и ее геометри		5		Вычисление производных и диф	Контрольное задание	4
		ческий смысл. Предельные отношения в				ференциалов функций. Уравнение
		экономике (предельные издержки, пре				касательной. Приближённые вычис
		дельная и средняя производительность				ления.
		труда, эластичность выпуска по труду).
		Дифференцируемость функции, пер
		вый дифференциал.
		Свойства производной.
		Производные	основных элементар
		ных функций.	Производная сложной
	7

	8
		функции и неявно заданных функций.
		Инвариантность первого дифференциа
		ла.
6		Свойства дифференцируемых функ		6	Применение производных к вы		Контрольное задание	4
		ций. Лемма Ферма. Теоремы Ролля и			числению	пределов. Разложение
		Лагранжа.			функций по формуле Тейлора и
		Правило Лопиталя раскрытия неоп			Маклорена. Линеаризация сложных
		ределенностей.			зависимостей.
		Формула Тейлора. Разложение эле
		ментарных функций по формуле Тей
		лора. Формула Маклорена.
				Тема 6. Приложения производной
7		Монотонность функции. Условия мо		7	Исследование функций с помощью		Моделирование налоговых по	4
		нотонности. Экстремум функции. Необ			производных.		ступлений в бюджет. Кривая
		ходимые и достаточные условия экс					Лаффера.
		тремума.					Контрольное задание
		Задача максимизации прибыли при
		заданной налоговой ставке.
		Выпуклость графика функции. Точки
		перегиба. Полное исследование функ
		ции и построение графика с помощью
		дифференциального	исчисления. Гра
		фики гиперболы, логистической кривой.
				Тема	7. Функции многих переменных
8		Функция нескольких переменных как		8	Область	определения, предел и	Решение задач	10
		функция от точки в линейном простран			непрерывность функции нескольких
		стве.			переменных.
		Графическое и аналитическое описа
		ние функции нескольких переменных.
		Пространственный	график функции
		двух переменных. Линии и поверхности
		уровня.
		Многофакторные	производственные

	функции (мультипликативная, Кобба —
	Дугласа). Изокванты.
	Многомерные бюджетные множества.
	Предел	и непрерывность функции
	нескольких переменных.
							Тема 8. Частные производные
9	Полное и частные приращения функ					9	Вычисление частных производных		Контрольное задание	4
	ции. Частные производные.						производной по направлению и гра
	Средняя и предельная производи						диента функции. Разложение функ
	тельность труда и фондоотдача. Коэф						ции нескольких переменных по
	фициенты	эластичности		выпуска	по		формуле Тейлора. Локальная ли
	труду и фондам.						неаризация сложных экономических
	Дифференцируемость			функции	не		зависимостей
	скольких переменных, первый диффе
	ренциал, его геометрический смысл.
	Производная по направлению. Гради
	ент, его геометрический и экономиче
	ский смысл: определение направления
	наискорейшего		экономического роста
	(спада).
	Производные		и дифференциалы
	высших порядков.
	Формула Тейлора для функции не
	скольких переменных.
					Тема	9. Экстремумы функций многих переменных
10	Необходимые		условия	экстремума.		10	Исследование функций несколь		Контрольное задание	4
	Достаточное условие для случая двух						ких переменных. на безусловный и
	независимых переменных.						условный экстремум
	Оптимизация		затрат,	прибыли	для
	многопродуктовой фирмы.
	Условный экстремум. Метод множи
	телей Лагранжа, экономический смысл
	множителей Лагранжа.
9

10
	Оптимизация		функции полезности
	при наличии ограничений.
						Тема 10. Неопределенный интеграл
11.	Понятие неопределенного интеграла					11		Вычисление неопределенного ин	. Интегралы, не выражающие	4
	и его свойства. Основные приемы интег							теграла Интегрирование простейших	ся в элементарных функциях
	рирования: замена переменной, интег							рациональных функций. Рационали	(интеграл Пуассона и др.).
	рирование по частям.							зация интегрируемой функции	Контрольное задание
							Тема 11.Определенный интеграл
12	Выпуск продукции за определенное					12		Вычисление	Контрольное задание	4
	время при заданном законе мгновенной							определенного интеграла.
	мощности производства. Определенный
	интеграл как	предел интегральных
	сумм. Свойства определенного интегра
	ла: линейность, аддитивность, теорема о
	среднем.
	Среднее значение функции. Средняя
	производительность			труда,	средняя
	фондоотдача.
	Приближенное		вычисление		опреде
	ленного интеграла.
	Интеграл с	переменным			верхним
	приделом.
	Формула Ньютона — Лейбница. За
	мена переменной и интегрирование по
	частям в определенном интеграле. Гео
	метрические приложения: площадь фи
	гуры, объем тела по площадям попереч
	ных сечений.
					Тема 12. Несобственные и кратные интегралы
13.	Сходимость	несобственных			интегра			Вычисление несобственных и	Решение задач	4
	лов, признаки сравнения.							кратных интегралов интегралов.
	Изменение	отдачи		технологии во
	времени, совокупная отдача.