Линейная алгебра

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины

«МАТЕМАТИКА»

для студентов специальностей 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,

080502 «Экономика и управление на предприятии»,

080507 «Менеджмент организации»

Ра з д е л 1

Ли н е й н а я а л г е б р а

иа н а л и т и ч е с к а я г е о м е т р и я

(первый семестр)

Москва

2008

Рабочая программа составлена на основе государственного образо вательного стандарта высшего профессионального образования по спе циальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Менеджмент орга низации», утвержденного 17.03.2000 г.

С о с т а в и т е л и:

декан факультета бизнес администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики,

кандидат экономических наук, доцент

В. И. Соловьев,

заведующий кафедрой математики и естествознания, кандидат технических наук, доцент

А.Ю. Бушуев

От в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р

декан факультета бизнес администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики,

кандидат экономических наук, доцент

В.И. Соловьев

Ра с с м о т р е н а и о д о б р е н а

на заседании кафедры математической экономики и эконометрики 1 сентября 2008 г. (протокол № 2)

Со г л а с о в а н а

свыпускающими кафедрами специальностей 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,

080502 «Экономика и управление на предприятии»,

080507 «Менеджмент организации»

ОРГАНИЗАЦИОННО*МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Программа учебной дисциплины «Математика» составлена в соответст вии с Государственным образовательным стандартом высшего профессио нального образования по специальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080507 «Ме неджмент организации».

Согласно Государственному образовательному стандарту высшего про фессионального образования по специальности 080507 «Менеджмент органи зации», «область профессиональной деятельности менеджера — обеспечение эффективного управления организацией, организация систем управления, со вершенствование управления в соответствии с тенденциями социально экономического развития… Менеджер должен быть готов к следующим видам деятельности: управленческая, организационная, экономическая, планово финансовая, маркетинговая, информационно аналитическая, проектно исследовательская, диагностическая, инновационная, методическая, консуль тационная, образовательная,… должен знать принципы принятия и реализа ции экономических и управленческих решений, уметь выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты, использовать ос новные и специальные методы экономического анализа информации в сфере профессиональной деятельности, разрабатывать и обосновывать варианты эффективных хозяйственных решений, критически оценивать поведение эко номических агентов, тенденции развития объектов в сфере профессиональной деятельности, уметь использовать компьютерную технику в режиме пользо вателя для решения экономических задач». Аналогичные требования содер жатся в Государственном образовательном стандарте высшего профессио нального образования по другим экономическим специальностям.

ВГосударственном образовательном стандарте определяются требования

ксодержанию и уровню математического образования экономистов и менед жеров, в соответствии с которыми экономист и менеджер должен иметь пред ставление о месте современной математики в общечеловеческой культуре и ее роли в экономических исследованиях, об истории развития математики и ее экономических приложений, знать и уметь использовать основы математиче ского анализа, основы алгебры, геометрии и дискретной математики, основы теории дифференциальных уравнений и численных методов, основы теории вероятностей и математической статистики.

Целью преподавания дисциплины «Математика» студентам экономиче ских специальностей является обучение студентов основным математическим понятиям и методам применительно к решению задач принятия и реализации экономических и управленческих решений, анализа, прогнозирования и эф фективного управления экономическими системами с учетом неопределенно сти внешней среды и ограниченности внутренних возможностей управляемого объекта.

При преподавании дисциплины ставятся следующие задачи:

3

•ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходи мого для решения практических экономических и управленческих задач;

•привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу по математике и ее экономическим приложениям;

•выработать у студентов навыки математического исследования приклад ных экономических вопросов и умение перевести экономическую задачу на математический язык, найти подходящий метод решения задачи, вос пользоваться для ее решения вычислительной техникой, экономически проанализировать результаты решения и применить их на практике;

•развить у студентов логическое мышление и повысить общий уровень их математической культуры.

Овладение дисциплиной развивает у студентов аналитическое мышление, прививает навыки количественного обоснования принимаемых управленческих решений. Знания, умения и навыки, полученные в результате освоения дисцип лины, могут быть использованы выпускниками во всех видах их деятельности в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профес сионального образования. Все это имеет большое значение для последующей практической работы экономистов и менеджеров.

Особенностью программы является ее п р и к л а д н а я н а п р а в л е н н о с т ь, позволяющая развить у студентов навыки анализа экономических проблем, повысить мотивацию к изучению дисциплины, тем самым повысить эффективность обучения.

Дисциплина «Математика» состоит из четырех разделов («Линейная ал гебра и аналитическая геометрия», «Математический анализ и дифференци альные уравнения с экономическими приложениями», «Теория вероятностей и математическая статистика в экономике и управлении», «Методы оптими зации и исследования операций в экономике и управлении») и изучается в те чение первых четырех семестров. Объем аудиторной нагрузки, необходимой для освоения программы, составляет 240 ч. для студентов очной формы обуче ния.

Методика преподавания дисциплины «Математика» строится на сочета нии лекций со следующими видами учебной работы: групповыми практиче скими занятиями, групповыми и индивидуальными консультациями по от дельным разделам программы; выполнением студентами индивидуальных и групповых домашних заданий; выполнением студентами контрольных зада ний, внеаудиторной самостоятельной работой студентов с учебным материа лом под контролем преподавателя (работа с учебниками, учебными пособия ми, методическими указаниями, заданиями, специальной литературой, поиск необходимой информации в сети Интернет). Кроме того, на практических за нятиях активно используются активные методы обучения, в том числе, метод конкретных ситуаций, когда студентам предлагается для рассмотрения ре альная проблема, и они находят ее решение при помощи изучаемых матема тических методов. Важной методической особенностью является интенсифи кация самостоятельной работы студентов с использованием персональных компьютеров, особенно в третьем и четвертом семестрах.

4

Особенно отметим обязательное выполнение студентами индивидуаль ных семестровых контрольных заданий, приведенных в настоящей програм ме (номер варианта индивидуального задания выбирается по последней циф ре номера зачетной книжки студента).

В конце первого, второго, третьего и четвертого семестров по дисципли не «Математика» проводятся экзамены.

Дисциплина «Математика» изучается параллельно с общепрофессиональ ными дисциплинами, что позволяет активизировать освоение математических методов применительно к решению экономических задач и выработке управ ленческих решений на основе математического моделирования. В свою очередь, после изучения дисциплины «Математика» студенты смогут легче осваивать все последующие дисциплины специальностей (умея формализовать экономические постановки задач и делать выводы на основе исследования соответствующих экономико математических моделей), а также использовать математические методы и модели при курсовом и дипломном проектировании.

В первом семестре изучаются м е т о д ы л и н е й н о й а л г е б р ы и а н а л и т и ч е с к о й г е о м е т р и и, которые необходимы при исследовании многих микро и макроэкономических проблем и будут использованы как в третьей и четвертой частях дисциплины «Математика», так и в дисциплинах «Эконометрика», «Финансовая математика», «Математические модели и мето ды в экономике».

5

6

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

		ЛЕКЦИИ				ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ			САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
									СТУДЕНТА
№		Тема, основные вопросы			№	Тема, основные вопросы			Содержание	Бюджет
зан.					зан.					времени
						Тема 1. Матрицы
1		Виды матриц. Равенство матриц.			1	Матрицы.	Линейные	операции	Решение задач.	2
		Сложение матриц одинакового разме				над матрицами.
	ра. Умножение матрицы на число. Линей
	ная комбинация матриц одного размера.
	Транспонирование матрицы. Произведе
	ние матриц. Свойства операций над мат
	рицами.
		Элементарные	преобразования мат
	риц. Матрицы элементарных преобразо
	ваний. Теорема о приведении произволь
	ной матрицы к верхней трапециевидной
	форме.
				Тема 2. Основные числовые характеристики квадратных матриц
2		Определитель	квадратной	матрицы.	2	Вычисление определителя. Реше			Свойства определителя.	6
	Миноры и алгебраические дополнения.					ние систем линейных уравнений по			Контрольное задание.
	Разложение определителя по строке. Вы					формулам Крамера.
	рожденные и невырожденные матрицы.
		След квадратной матрицы и его свой
	ства.
						Тема 3. Обратная матрица
3		Обратная матрица. Выражение эле			3	Вычисление обратной матрицы.			Контрольное задание.	10
		ментов обратной матрицы через алгеб				Решение	матричных	уравнений.
		раические дополнения элементов ис				Решение системы линейных урав
		ходной матрицы. Свойства		обратной		нений методом обратной матрицы.
		матрицы. Вычисление обратной матри

цы методом Жордана — Гаусса. Ортогональная матрица. Теорема об

определителе ортогональной матрицы.

Тема 4. Система линейных уравнений

4		Решение системы линейных уравне				4	Решение	системы линейных		Контрольное задание.	4
		ний методом Жордана — Гаусса. Пред					уравнений методом Жордана — Га
		почитаемый	вид	системы	линейных		усса.
		уравнений. Общее решение системы ли
		нейных уравнений. Частные			решения
		системы линейных уравнений. Базис
		ные решения системы линейных урав
		нений. Элементарные преобразования
		системы линейных уравнений. Форму
		лы исключения. Правило прямоуголь
		ников.
							Тема 5. Линейное пространство
5		Вещественное линейное пространст				5	Исследование линейной зависи			Решение задач.	4
		во. Линейная зависимость векторов и ее					мости системы векторов. Определе
		геометрический смысл. Базис линейного					ние базиса и размерности линейного
		пространства.	Размерность		линейного		пространства. Построение матрицы
		пространства. Координаты вектора. Пе					перехода к новому базису. Преобра
		реход к новому базису. Матрица пере					зование координат вектора при пе
		хода к новому базису. Преобразование					реходе к новому базису.
		координат вектора при переходе к но
		вому базису.
					Тема	6. Исследование систем линейных уравнений
6		Ранг матрицы. Теорема о			базисном	6	Методы вычисления ранга мат			Решение задач	4
		миноре. Инвариантность ранга матрицы					рицы. Построение фундаментальной
		относительно ее элементарных преоб					системы решений. Структура обще
		разований. Совместность системы ли					го решения	неоднородной системы
		нейных уравнений. Теорема Кронекера					линейных уравнений.
		— Капелли.
		Геометрические		свойства	решений
	7

	8
		системы линейных уравнений: фунда
		ментальная система решений однород
		ной системы линейных уравнений, ли
		нейное подпространство решений одно
		родной системы		линейных	уравнений,
		линейное многообразие решений неод
		нородной системы линейных уравнений.
								Тема 7. Векторная алгебра
7		Аффинная система координат. Пря					7	Решение задач по векторной ал	Решение задач.		10
		моугольная декартова система коорди						гебре.
		нат. Координаты геометрического век
		тора и координаты точки. Проекции
		геометрического вектора на плоскости и
		в пространстве.
		Скалярное произведение геометриче
		ских векторов. Векторное произведение
		геометрических		векторов.	Смешанное
		произведение геометрических векторов.
		Преобразование аффинной				системы
		координат.	Преобразование			прямо
		угольной декартовой системы коорди
		нат.
								Тема 8. Евклидово пространство
8		Евклидово	пространство. Скалярное				8	Решение задачи о перпендикуля	Решение задачи о перпендику		4
		произведение	векторов. Неравенство					ре для подпространства.	ляре для многообразия Матрица
		Коши — Буняковского. Длина вектора в							Грама. Определитель	Грама.
		евклидовом пространстве.			Расстояние				Симметричная матрица. Свойства
		между двумя векторами в евклидовом							матрицы Грама и определителя
		пространстве. Расстояние между двумя							Грама.
		множествами в евклидовом пространст							Контрольное задание.
		ве. Метрическое пространство.
		Ортогональные векторы. Ортогональ
		ный базис линейного пространства. Ор

тонормированный базис линейного про странства. Процесс ортогонализации.

Линейные многообразия в евклидо вом пространстве. Расстояние от векто ра до линейного подпространства.

Тема 9. Прямая и плоскость

9

Прямая и плоскость. Различные виды

9

Решение задач на прямую и плос

Кривые второго порядка

на

4

уравнений прямой на плоскости и плос

кость и взаимное расположение

плоскости.

кости в пространстве. Взаимное распо

прямых на плоскости и плоскостей в

Контрольное задание.

ложение прямых на плоскости и плоско

пространстве.

стей в пространстве. Полуплоскость и

полупространство. Линейные

неравен

ства.

Прямая в

пространстве.

Взаимное

расположение прямых в пространстве.

10

Поиск

неотрицательных

базисных

10

Поиск неотрицательных базис

Балансовые модели в экономи

4

решений системы линейных уравнений.

ных решений системы линейных

ке.

Симплексные преобразования.

уравнений.

Системы линейных неравенств. Све

дение системы линейных неравенств к

системе

линейных

уравнений путем

введения фиктивных неизвестных.

Тема 10. Комплексные числа и многочлены

11

Комплексное

число. Алгебраическая

11

Действия

над

комплексными

Решение задач.

2

форма комплексного числа. Комплекс

числами.

Сопряженная матрица. Свойст

ная плоскость.

Тригонометрическая

ва сопряженной матрицы.

форма комплексного числа. Возведение

комплексного

числа

в

рациональную

степень.

12

Многочлен.

Деление

многочленов.

12

Деление

многочленов. Разложе

. Возведение матрицы в нату

2

Корни многочлена. Теорема Безу. Ос

ние многочлена на множители.

ральную степень. Многочлен

от

новная теорема алгебры. Каноническое

матрицы. Теорема Гамильтона —

разложение многочлена. Многочлены с

Кэли.

9

10
	вещественными коэффициентами.
					Тема 11. Линейные операторы
13	Линейный оператор. Примеры линей			13		Построение матрицы	линейного	Контрольное задание.	2
	ных операторов: оператор проектирова					оператора. Преобразование матри
	ния, оператор отражения, нулевой опе					цы линейного оператора при пере
	ратор, единичный оператор. Свойства					ходе к новому базису.
	линейного оператора. Матрица линейно
	го оператора. Произведение линейных
	операторов. Образ и ядро линейного
	оператора. Линейная форма. Обратный
	оператор.
14	Собственные значения матрицы. Ха			14		Определение собственных значе		Модель международной тор	2
	рактеристический многочлен матрицы.					ний и собственных векторов матри		говли.
	Собственные векторы матрицы.					цы.		Контрольное задание.
	Собственные значения и собственные
	векторы линейного оператора. Оператор
	простой структуры. Симметричная мат
	рица. Собственные значения и собствен
	ные векторы	симметричной матрицы.
	Симметричный линейный оператор. .
	Положительно	определенная матрица.
	Неотрицательно определенная матрица.
	Собственные	значения	положительно
	определенной	матрицы.	Собственные
	значения неотрицательно определенной
	матрицы. Идемпотентная матрица. Соб
	ственные значения идемпотентной мат
	рицы.
						Тема 12. Квадратичные формы
15	Билинейная	форма.	Квадратичная	15		Приведение квадратичной формы		Поверхности второго порядка в	4
	форма и ее канонический вид. Приведе					к каноническому виду ортогональ		евклидовом пространстве.
	ние квадратичной формы к канониче					ным преобразованием и	методом	Контрольное задание.
	скому виду ортогональным преобразо					Лагранжа. Исследование	знакооп