Имитационное моделирование

Аналитическое моделирование сложных систем, очевидно, имеет ограниченные возможности, что и вызвало к жизни имитационные модели (реализуемые в форме аппаратурных комплексов и программ для ЭВМ). Могут быть выделены следующие основные классы имитационных моделей:

- непрерывные;

- дискретные;

- пространственные.

В первом случае предметная область описывается совокупностью динамических связей, отражающих развитие процесса во времени в форме конечно-разностных уравнений и рекуррентных соотношений. Модель воспроизводит поведение объекта за определенный период времени; в этом смысле имитационная модель является динамической. Значения всех переменных, входящих в имитационную модель, вычисляются в каждый момент модельного времени. Затем, через определенный интервал на основе старых значений вычисляются новые значения переменных, и т. д. Таким образом, имитационная модель «развивается» по определенной траектории в течение заданного отрезка модельного времени. Исходные аналитические модели — системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Второй тип моделей описывает потоки случайных событий, проходящие через сложную совокупность путей и узлов, и направлен на исследование стационарных, установившихся процессов. Здесь в качестве аналитического прототипа выступает теория систем массового обслуживания.

В третьем случае рассматриваются процессы, проходящие в пространстве (на плоскости или в объеме). Исходные аналитические модели — системы дифференциальных уравнений в частных производных, особенно часто — такой их класс, как уравнения математической физики.

Следует отметить, что в настоящее время данная классификация во многом становится условной, поскольку современные интегрированные средства моделирования — ИСМ (например, отечественная разработка Pilgrim [14] и её зарубежные аналоги) охватывают как непрерывные, так и дискретные, и пространственно-временные процессы.

Модели системной динамики

В классической работе Дж. Форрестера [32] в начале 1970-х гг. была построена математическая модель мировой динамики. Мировая система в этой модели описывается следующими переменными: население Земли Р, капитал K, доля капитала в сельском хозяйстве X, загрязнение Z и запасы невозобновляемых природных ресурсов R. Динамику этих переменных определяет система дифференциальных уравнений, которая в упрощенном виде выглядит так:

где В — темп рождаемости; D — темп смертности;— скорость производства основных фондов;= 40 лет — постоянная времени износа основных фондов;— прирост доли сельскохозяйственных фондов;= 15 лет — время выбытия доли сельскохозяйственных фондов;— скорость генерации загрязнения;— характерное время (постоянная времени) естественного разложения загрязнения;— скорость потребления ресурсов.

Компьютерный анализ этой системы показал, что при сохранении тенденций развития глобальной системы, имевших место в начале 70-х гг., рост населения Р, капитала K, материального обеспечения приведет к истощению невозобновляемых ресурсов, чрезмерному загрязнению Земли и сменится быстрым падением численности населения и упадком производства. В качестве альтернативы такому упадку Дж. Форрестер предлагал перейти к глобальному равновесию, которое понималось им как выход переменных модели на стационарные значения.

Общепризнано, что работы Дж. Форрестера положили начало направлению системная динамика.

Системная динамика представляет собой совокупность принципов и методов анализа динамических управляемых систем с обратной связью и их применения для решения производственных, организационных и социально-экономических задач. Три достижения, обеспеченные в основном благодаря разработкам в области вооружений, сделали возможным применение системной динамики:

- успехи в проектировании и анализе систем управления с обратной связью;

- прогресс в методах компьютерного моделирования и развитие вычислительной техники;

- накопленный опыт в моделировании процесса принятия решений.

Методология системной динамики базируется на предположении, что поведение (или история развития во времени) организации главным образом определяется ее информационно-логической структурой. Она отражает не только физические и технологические аспекты производственных процессов, но, что гораздо важнее, политику и традиции, которые явно или неявно определяют процесс принятия решений в организации. Такая структурная схема содержит источники усиления временных задержек и информационных обратных связей, подобных тем, которые встречаются в сложных инженерных системах.

Другой аспект системной динамики заключается в предположении, что организация более эффективно представляется в терминах лежащих в ее основе потоков, нежели в терминах отдельных функций. Потоки людей, денег, материалов, заявок и оборудования, а также интегрированные потоки информации могут быть выявлены во всех организациях. Направленность на потоковую структуру заставляет аналитика естественным образом преодолевать внутриорганизационные границы.

Для описания сложных систем с обратными связями используются четыре основных понятия: переменная, связь, цикл обратной связи, система с обратными связями:

- переменная представляет собой количество некоторого продукта, которое изменяется во времени. Переменная может выражать решение, например, «объем дополнительных ресурсов», или показывать результат ранее принятого решения, например «затраты». Если переменная не изменяется в зависимости от изменения других переменных системы, она называется «экзогенной», т. е. внешней для системы. Переменная, значение которой изменяется в зависимости от изменения других переменных внутри системы, называется «эндогенной»;

- связь отражает причинно-следственные соотношения между двумя переменными. Графически ее легко себе представить как стрелку, в начале которой лежит исходная переменная, а на конце — зависимая переменная;

- цикл с обратной связью в простейшем случае можно представить как совокупность двух переменных и двух связей, такую, что начальная переменная сначала влияет на значение зависимой (прямая связь), а та, в свою очередь, влияет на значение исходной (обратная связь). Характерным для такого цикла является наличие временных задержек: сначала задержка между решением и следствием от него, а затем, задержка между следствием и тем моментом времени, когда информация об этом следствии повлияет на новое решение;

- система с обратными связями — совокупность связанных между собой циклов с обратными связями. Поведение переменной, входящей в один цикл с обратной связью, может влиять на поведение другой переменной, входящей в другой цикл. Сложные задачи управления, представляемые в виде таких систем, могут состоять из большого числа циклов. Именно такие сложные системы с большим числом циклов и составляют предмет изучения системной динамики. По мере усложнения системы соответственно возрастает сложность получения формального аналитического решения. Поэтому для анализа таких систем применяется имитационное моделирование.

Для построения имитационных моделей динамических систем используются переменные четырех типов — время, фонд, поток и конвертор:

- время является первичной переменной для имитационной модели динамической системы: ее значение генерируется системным таймером и изменяется дискретно, т. е., начиная с некоторого начального значения, время за каждый такт увеличивается на заранее заданную величину, которая служит единицей модельного времени. Число тактов и единица времени являются параметрами «прогона» модели и определяются заранее;

- фонд — переменная, равная объему (количеству) некоторого «продукта», накопленного в некотором хранилище за время «жизни» модели с начального по текущий момент. Продукт может поступать в фонд и/или извлекаться из него. Поэтому значение фонда в текущий момент времени можно вычислить как сумму его значения в предыдущий момент и величины, равной разности величин входящего и исходящего потоков продукта за единицу модельного времени. Помимо очевидных примеров, таких, как фонды материальных и людских ресурсов, переменные этого типа могут характеризовать объемы накопленной информации, служить оценкой субъективных вероятностей наступления некоторых событий к определенному моменту времени, выражать меру влияния одних субъектов некоторого процесса на другие. Средние величины всех видов также можно рассматривать как информационные фонды специального вида;

- поток — переменная, равная объему (количеству) продукта, который поступает или извлекается из соответствующего фонда в единицу модельного времени. Значение этой переменной может изменяться в зависимости от внешних воздействий на нее. В частности, поток можно представить как функцию от значений других потоков и фондов. Простейший пример цикла с обратной связью образует входящий поток, величина которого зависит от значения фонда, в который этот поток поступает.

Фонды характеризуют статическое состояние системы, а потоки — ее динамику. Если, например, представить себе, что в какой-то момент времени все процессы в системе остановятся, то фонды будут иметь те значения, которые были на момент остановки, а потоки будут равны нулю. С другой стороны, о величине потока можно судить только за определенный промежуток времени.

Помимо фондов и потоков, при построении имитационных моделей динамических систем используются вспомогательные переменные — конверторы. Эти переменные могут быть равны константам или значениям математических функций от других переменных (в том числе и от переменной время), т. е. позволяют преобразовывать (конвертировать) одни числовые значения в другие.