Лабораторные работы по численным методам / 5 / Отчёт №5

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации  ФГБОУ ВПО «ПГСХА им. Академика Д.Н. Прянишникова»

Кафедра информационных технологий и автоматизированного проектирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Аппроксимация функции полиномом Лагранжа

Вариант №2

Выполнил:

Студент гр.ПИб-21а Вятченин Александр

Проверил: Профессор каф. ИТАП М.Г. Бояршинов

Пермь 2015

Задание

Аппроксимировать функцию на отрезке [0;2𝜋] с использованием полинома Лагранжа. Исследовать сходимость последовательности полиномов на равномерной и чебышёвской сетках.

Выполнение расчётов

Пусть на отрезке [0;2𝜋] построена равномерная сетка, содержащая 5 узлов. Воспользуемся аналитической зависимостью для табличного задания значений функции. Узловые координаты и соответствующие им значения приведены в таблице 1. Полином Лагранжа, аппроксимирующий функцию , заданную таблично на отрезке [0;2𝜋] с помощью равномерной сетки, содержащей 5 узлов, имеет вид:

Аналогичным образом строятся аппроксимации на сетках, содержащих 3,9,17,33 и 65 узлов. Вид соответствующих функций приведён на рисунке 1. На рисунке 2 показана зависимость погрешности аппроксимации полинома заданной функции

на равномерных сетках, .

Для повышения точности аппроксимации функции полиномом Лагранжа воспользуемся чебышёвской сеткой на отрезке [-1;1]: .

Полином Лагранжа, аппроксимирующий таблично заданную функцию на том же отрезке с помощью чебышёвской сетки, содержащей 5 узлов, имеет вид:

Аналогично строятся полиномы Лагранжа на чебышёвских сетках, содержащих 3, 9, 17, 33 и 65 узлов. Вид соответствующих полиномов приведён на рисунке 3.

На рисунке 4 показана зависимость погрешности аппроксимации

полиномами заданной функции на последовательности чебышёвских сеток.

Таблица 1. Табличное задание функции и значения соответствующих разделённых разностей для равномерной сетки на отрезке [0;2𝜋]

0	0
		0,90031632
0,785398	0,707106781		-0,335748867
		0,37292323		-0,226710138
1,570796	1		-1,04797977		0,130237243
		-1,27323954		0,591594597
3,141593	1,22515E-16		0,810569469
		1,5599E-16
6,283185	2,4503E-16

Рис. 1. Аппроксимация на отрезке [0;2𝜋] функции полиномами Лагранжа , построенными с использованием равномерных сеток.

Рис. 2. Погрешность аппроксимации функции полиномами Лагранжа на отрезке [0;2𝜋] в зависимости от номера n итерации на равномерных сетках.

Таблица 2. Табличное задание функции и значения соответствующих разделённых разностей для чебышёвской сетки на отрезке [0;2𝜋]

-0,9511	0,9511
		-1,0
-0,5878	0,5878		0,0
		-1,0		1,1056
0	0		1,7013		-1,1625
		1,0		-1,1056
0,5878	0,5878		0,0
		1,0
0,9511	0,9511

Рис. 3. Аппроксимация на отрезке [0;2𝜋] функции полиномами Лагранжа , построенных с использованием чебышёвских сеток.

Рис.4. Погрешность аппроксимации функции полиномами Лагранжа на отрезке [0;2𝜋] в зависимости от номера n итерации при использовании чебышевских сеток.

Выводы

1. Разработана программа для аппроксимации заданной функции полиномом Лагранжа на указанном отрезке с использованием равномерных сеток.

2. С помощью разработанной программы исследована последовательность полиномов Лагранжа, аппроксимирующая заданную функцию на сетках 3, 9, 17, 33 и 65 узлами. Показано, что для заданной функции последовательность полиномов Лагранжа на равномерных сетках расходится.

3. Разработано программа для аппроксимации заданной функции полиномом Лагранжа на указанном промежутке с использованием чебышевских сеток.

4. С помощью разработанной программы исследована последовательность полиномов Лагранжа, аппроксимирующая заданную функцию на сетках 3, 9, 17, 33 и 65 узлами. Показано, что для заданной функции последовательность полиномов Лагранжа на чебышёвких сетках сходится.