Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах

Аудиторнi завдання

1.

~

~

~

~

Для векторiв ~a = 3i

− j + k

та b = {1; −1; 2} знайти: а) лiнiйну

~

~

комбiнацiю 3~a − 2b; б) скалярний добуток ~a i b; в) кут мiж векторами ~a i

~

b; г) орт вектора ~a.

2.

За координатами точок A, B, C знайти: а) модуль вектора ~a; б)

~

~

скалярний добуток ~a i b; в) проекцiю вектора ~c на вектор d, якщо A(4; 6; 3),

~

~

B(−5; 2; 6), C(4; −4; −3), ~a = 4CB − AB, b = AB, ~c = CB, d = AC.

3.

Знайти довжини дiагоналей паралелограма, побудованого на век-

~

торах ~a = {3; −5; 8} i b = {−1; 1; −4}.

4.

Знайти координати вектора ~e, направленого по бiсектрисi кута,

~

−2}.

утвореного векторами ~a = {2; −3; 6} i b = {−1; 2;

5.

Дано двi вершини A(2; −3; −5), B(−1; 3; 2) паралелограма ABCD

i точка перетину його дiагоналей E(4; −1; 7). Знайти координати решти вершин паралелограма.

6. Дано вершини трикутника ABC: A(−1; −2; 4), B(−4; −2; 0), C(3; −2; 1). Обчислити зовнiшнiй кут при вершинi B.

Домашнi завдання

1.Визначити координати кiнцiв A i B вiдрiзка, який точками C(2; 0; 2) i D(5; −2; 0) роздiлений на три рiвнi частини.

	2.					~		~		2	,
		Дано вектори ~a={4; −2; −4}, b = {6; −3; 2}. Обчислити (~a, b), ~a
~2		~ 2	~ 2	, (2~a	~	~
b	, (~a + b)		, (~a − b)		− 3b)·(~a + 2b).
	3.	Дано вершини чотирикутника A(1; −2; 2), B(1; 4; 0), C(−4; 1; 1),
D(−5; −5; 3). Обчислити кут ϕ мiж дiагоналями.
	4.					~			−1}
		Знайти координати вектора b, колiнеарного вектору ~a = {2; 8;
			~
при умовi, що (~a, b) = 3.
					Самостiйна робота
	За координатами точок A, B i C для вказаних векторiв знайти:
		а) модуль вектора ~a;
						~
		б) скалярний добуток векторiв ~a i b;
						~
		в) проекцiю вектора ~c на вектор d;
		г) координати точки M, що дiлить вiдрiзок ` у вiдношеннi α : β.
	1. A(4; 3; −2), B(−3; −1; 4),					~	~ ~	~
						C(2; 2; 1), ~a = −5AC + 2CB, b = AB,
	~	~	~
~c = AC, d = CB, ` = BC, α = 2, β = 3.							~ ~
						~		~	~
~	2. A(−2; −2; 4), B(1; 3; −2), C(1; 4; 2), ~a = 2AC −3BA, b = BC, ~c = BC,
	~
d = AC, ` = BA, α = 2, β = 1.

21

3. A(2; 4; 3),

~

~

~

~

~

~

B(3; 1; −4), C(−1; 2; 2), ~a = 2BA + 4AC,

b = BA,

~c = b,

~

d = AC, ` = BA, α = 1, β = 4.

~

~

~

~

~

4. A(2; 4; 5), B(1; −2; 3), C(−1; −2; 4),

~

~a = 3AB

− 4AC,

b = BC, ~c = b,

~

d

= AB, ` = AB, α = 2, β = 3.

~

Для заданих векторiв ~a i b знайти:

а) лiнiйну комбiнацiю 3~a −

~

2b;

~

б) скалярний добуток векторiв ~a i b;

~

в) кут мiж векторами ~a i b;

~

~

г) проекцiї векторiв (~a + b) i (~a − b) на напрям вектора ~a.

~

~

~ ~

~

~

~

~

−3; 1}.

5. ~a=i

− 2j

− 3k, b={2; 1; −1}.

6. ~a=2i

− j + k, b={1;

~

~

~ ~

~

~

~

~

7. ~a=3i + 2j

− k, b={1; −2; 1}.

8. ~a= − i + j + k, b={1; 3; −1}.

~

~

~ ~

~

~

~

9. Дано три вектора ~a = 2i

− j + 3k, b = i − 3j + 2k,

~ ~

~

~c = 3i + 2j − 4k. Знайти вектор ~x, який задовольняє умови: (x,~a)= − 5,

~

(~x,~c)=20.

(~x, b)= − 11,

10.Вектор ~x, перпендикулярний до осi Oz i вектора ~a = {8; −15; 3}, утворює гострий кут з вiссю Ox. Знаючи, що |~x| = 51, знайти координати вектора ~x.

11.Дано двi точки A(1; 2; 3) i B(7; 2; 5). На прямiй AB знайти таку точку M, щоб точки B i M були розмiщенi по рiзнi сторони вiд точки A i вiдрiзок AM був у два рази довший, нiж вiдрiзок AB.

12.	Вектори ~a = {−3; 0; 4}	~	{5; −2; −14} вiдкладенi вiд однiєї
		i b =
точки.	Знайти координати одиничного вектора ~e, який з тiєї ж точки

~

дiлить пополам кут мiж векторами ~a i b.

§6. Векторний добуток двох векторiв. Мiшаний добуток трьох векторiв

×~

Векторним добутком ~a b називається вектор ~c, який перпендикулярний до кож-

~

ного з векторiв ~a та b, утворює з ними праву трiйку векторiв (рис.5) i модуль якого визначається за формулою

~	(1)
|~c | = |~a| | b| sin ϕ,

~

де ϕ – кут мiж векторами ~a i b.

Вектори утворюють праву трiйку, якщо з кiнця одного з них видно, що найменший

22

кут повороту вiд одного вектора до iншого буде проти годинникової

стрiлки.
~	~	~

Зауважимо, що ~a × b = −b × ~a, ~a × ~a = 0, модуль векторного добутку

дорiвнює площi паралелограма, побудованого на вiднесених до спiльного

	~
початку векторах ~a i b. Звiдси випливає, що площа трикутника ABC, у
					~
якого AB = ~a, AC = b, може бути виражена таким чином:
	1						~
					SABC =	2	|~a × b|.	(2)
~	У координатнiй формi векторний добуток векторiв ~a							= {x1, y1, z1} i
b = {x2, y2, z2} можна записати у вигдядi

				~		~		~
~a	×	~b =		xi1		yj1		zk1
				x	2	y	2	z	2

=

y1

z1

~i

−

x1

z1

~j +

x1

y1

~k. (3)

2

2

2

2

2

2

y

z

x

z

x

y

	~	векторний
	Мiшаним добутком трьох векторiв ~a, b, ~c називається
	~	~
добуток векторiв ~a i b скалярно помножений на вектор ~c, тобто (~a × b)~c
	~
або ~a b~c.
	~
	Чисельно модуль мiшаного добутку ~a b~c дорiвнює об’єму паралеле-
	~
пiпеда, побудованого на векторах ~a, b, ~c як на сторонах.
	Якщо вектори компланарнi, то їх мiшаний добуток дорiвнює нулю.
~	У координатнiй формi мiшаний добуток векторiв ~a = {x1, y1, z1},
b = {x2, y2, z2}, ~c = {x3, y3, z3} має вигляд:

~a~b~c =		x1	y1	z1	.	(4)
		x2	y2	z2

x3 y3 z3

Якщо маємо тетраедр, заданий вершинами A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3), D(x4, y4, z4), то його об’єм визначається за формулою:

V = 1

x3

− x1

y3

− y1

z3

− z1

.

(5)

x2

x1

y2

y1

z2

z1

− x

− y

− z

6

x

y

4

1

z

4

1

4

−

1

−

−

Приклад 1.	Обчислити		площу	паралелограма,	побудованого	на
	~ ~	~		~	0
векторах ~c = ~a +	3b i d = 3~a + b, якщо			|~a|=|b|=1 i ϕ = 30 .		~

Розв’язання. Площа паралелограма, побудованого на векторах ~c i d,

| × ~|

дорiвнює модулю векторного добутку цих векторiв S = ~c d . Знайдемо

23

	~	~			~	~	~ ~
векторний добуток (~a+3b)×(3~a+b) = 3(~a×~a)+(~a×b)+9(b×~a)+(b×b) =
~	~		~	0
= 8(b ×~a). Звiдси S = 8|(b ×~a)| = 8|~a||b| sin 30					= 4.
		~	~ ~		~ ~	~
Приклад 2. Дано вектори ~a = 4i + 4k, b = −i + 3j + 2k,
~	~					~
~c = 3i	+ 5j. Знайти: а) мiшаний добуток векторiв ~a, b, 5~c; б) модуль

~

векторного добутку 3~c i b.

Розв’язання.

4 0 4

а) (~a ×~b)·5~c =				−1	3	2		= −100 − 180 − 200 = −480.
				15	25	0
б) 3~c		~		~i	~j ~k			~		~	~
	×	b =		9	15	0		= 30i	−	18j + 42k,

−1 3 2

| ×~ | p 2 − 2 2

√

3~c b = 30 + ( 18) + 42 = 2988.

Аудиторнi завдання

Дано вершини тетраедра A, B, C i D. Знайти: а) кут мiж ребрами AB i AC; б) проекцiю ребра AD на ребро AB; в) площу гранi ABC; г) об’єм тетраедра; д) перевiрити чи перпендикулярнi ребра AD i DC.

1.A(−1; 0; 3), B(2; 1; 0), C(−2; 1; 3), D(4; 3; 2).

2.A(2; 1; 3), B(−1; 2; 1), C(4; 0; 3), D(1; 3; 1).

~	−2; 1}. Потрiбно: а)
3. Дано вектори ~a = {1; 3; 1}, b = {2; 4; 1}, ~c = {1;

	~
знайти лiнiйну комбiнацiю 3~a − 8b + 2~c; б) перевiрити на ортогональнiсть
~	~
i колiнеарнiсть вектори ~a i b; в) знайти мiшаний добуток (~a × b)~c.

4. Три вершини тетраедра знаходяться в точках A(2; 1; −1), B(3; 0; 1), C(2; −1; 3). Знайти координати четверто¨ı вершини D, яка належить осi Oy, якщо об’єм тетраедра дорiвнює 3 куб. од.

					Домашнi завдання
1.		~
	Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах ~a i b, якщо
	~	√
			3
|~a| = 2, |b| = 3, cos ϕ =		2		.
2.	Вершини пiрамiди знаходяться в точках A(3; 4; 5), B(1; 2; 1),

C(−2; −3; 6) i D(3; −6; −3). Обчислити: а) площу гранi ABC; б) площу перерiзу, що проходить через середину ребра AB i вершини C i D; в)

об’єм пiрамiди.
~	−2; 1} потрiбно:
3. Для векторiв ~a = {1; 3; 1}, b = {2; 4; 1} i ~c = {1;

	~
а) знайти лiнiйну комбiнацiю 3~a−8b+2~c; б) перевiрити на ортогональнiсть
~	~

i колiнеарнiсть вектори ~a i b; в) знайти мiшаний добуток ~a b~c.

24

	Самостiйна робота
	~	~	~
Для векторiв ~a i b знайти: а) лiнiйну комбiнацiю 3~a − 2b i 2(~a − 3b); б)
	~	~
довжини векторiв ~a i b; в) скалярний добуток (~a, b); г) кут мiж векторами
~	~
~a i b; д) одиничнi вектори до векторiв ~a i b.
1.	~
	~a = {3; −2; 1; 2; −1; 3}, b = {−1; 3; 4; 5; 6; 7}.
2.	~
	~a = {1; −1; 2; 2; 1; −1}, b = {3; 0; −1; 3; 7; 10}.
3.	~	−3}.
	~a = {2; 4; −1; −1; 2; 2}, b = {2; 3; 0; 5; 7;

Дано вершини тетраедра A, B, C i D. Знайти: а) кут мiж ребрами AB i AC; б) проекцiю ребра AD на ребро AB; в) площу гранi ABC; г) об’єм тетраедра.

4.A(1; 1; 2), B(2; 1; 3), C(4; 3; 1), D(3; 4; 5).

5.A(−1; 0; 3), B(2; 1; 0), C(−2; 1; 3), D(4; 3; 2).

§7. Лiнiйна залежнiсть векторiв. Базис. Розклад вектора по базису

Система векторiв ~a1,~a2, . . . ,~an називається лiнiйно залежною, якщо їх лiнiйна комбiнацiя дорiвнює нульовому вектору

~	(1)
λ1~a1 + λ2~a2 + · · · + λn~an = 0,

причому хоча б один з iз коефiцiєнтiв λi (i=1, n) вiдмiнний вiд нуля. Якщо рiвнiсть (1) має мiсце для λ1=λ2= . . . =λn=0, то така система векторiв називається лiнiйно незалежною.

Векторний простiр називається n-вимiрним, якщо в ньому iснує система n лiнiйно незалежних векторiв. Ця система векторiв називається базисом n-вимiрного простору. Наприклад, система векторiв ~e1={1; 0; 0}, ~e2={0; 1; 0}, ~e3={0; 0; 1} утворює базис в тривимiрному просторi.

Максимальне число лiнiйно незалежних векторiв деякого простору називається його розмiрнiстю.

Теорема. Якщо у векторному просторi вибрано деякий базис, то будь-який вектор цього простору можна однозначно представити у виглядi лiнiйної комбiнацiї векторiв цього базису (таке представлення називається розкладом вектора по даному базису).

{ } ~ {− }

Приклад. Переконатися, що вектори ~a = 1; 2; 1 , b = 1; 3; 2 ,

~c = {2; −1; 2} утворюють базис в тривимiрному просторi i знайти коорди-

~ { }

нати вектора d = 0; 2; 1 в цьому базисi.

25

~

Розв’язання. Утворимо матрицю A з координат векторiв ~a, b i ~c:

A =		1	3	2
		1	2	1
	−2		−1	2

~

Вектори ~a, b, ~c утворюють базис в тривимiрному просторi, якщо ранг матрицi A збiгається з розмiрнiстю цього простору.

Матриця A квадратна, тому умова rang A=3 буде еквiвалентна такiй: det A 6= 0.

Маємо: det A = 15, тому век-

~	базис
тори ~a, b i ~c утворюють
в тривимiрному просторi.	Тодi

~

для вектора d має мiсце розклад (рис.6):

~ ~

d = x~a + yb + z~c

або

{0; 2; 1} = x {1; 2; 1} + y {−1; 3; 2} + z {2; −1; 2}.

Запишемо цю рiвнiсть у скалярнiй формi:

x − y + 2z = 0

2x + 3y − z = 2

x + 2y + 2z = 1

Розв’яжемо отриману систему за формулами Крамера:

	0	−1	2			1	0	2			1	−1	0	= −1,
1 =	2	3	−1	= 7,	2 =	2	2	−1	= 5,	3 =	2	3	2
	1	2	2			1	1	2			1	2	1

7			1		1
тому x =		, y =			, z = −		.
	15			3		15		7		1						1
					~							~
Таким чином, отримали розклад: d =								15	~a +	3		b	−		15			~c
										7				1					1
i, отже, вектор d~			в базисi ~a,~b,~c має координати										;			;	−			.
											15			3					15

26

	Аудиторнi завдання
		~
Перевiрити, чи утворюють вектори ~a, b, ~c базис. Якщо так, то роз-
~
класти вектор d по цьому базису.
1. ~a = {3; −2; 1},	~		~	{5; 6; 7}.
	b = {2;	−1; 3}, ~c = {−1; 3; 4}, d =
	~		~	{1; 2; 3}.
2. ~a = {1; −2; 3}, b = {4;		−1; 1}, ~c = {5; −3; 4}, d =
3. ~a = {2; −1; 3},	~		~
	b = {3; 2; −4}, ~c = {−4; 1;		−5}, d = {−2; −7; 5}.
	Домашнi завдання
		~
Перевiрити, чи утворюють вектори ~a, b, ~c базис. Якщо так, то роз-
~
класти вектор d по цьому базису.
1. ~a = {1; −1; 2},	~		~	{3; 7; 10}.
	b = {2; 1; −1}, ~c = {3; 0; −1}, d =
~			~
2. ~a = {3; 4; 6}, b = {1; −9; 0}, ~c = {4; 5; 6},			d = {−9; 2; 3}.
	Самостiйна робота
	~		~
Розкласти вектор d за системою векторiв ~a, b, ~c.
	~		~
1. ~a = {3; −2; 1}, b = {−2; 3; −2}, ~c = {4; −1; 5}, d = {5; −2; −7}.
	~		~
2. ~a = {2; −1; −5}, b = {3; 2; 1}, ~c = {−4; 5;			−3}, d = {4; −7; −9}.

¨ ¨

ЕЛЕМЕНТИ АНАЛIТИЧНОI ГЕОМЕТРII

§1. Пряма на площинi

Будь-яке рiвняння першого степеня вiдносно змiнних x та y з дiйсними коефiцiєнтами A, B i C (A2 + B2 > 0), тобто рiвняння вигляду

Ax + By + C = 0

(1)

визначає на площинi деяку пряму. Це рiвняння називається загальним рiвнянням прямої.

Вектор ~n = {A, B}, перпендикулярний до прямої (1), називається

нормальним вектором цiєї прямої.

27

Якщо B 6= 0, то рiвняння (1) можна розв’язати вiдносно y; тодi отримаємо рiвняння вигляду:

y = kx + b,

(2)

де k = tg α. Це рiвняння називається рiвнянням прямої з

кутовим коефiцiєнтом. Кут

α – це кут, який утворює пряма з додатним напрямом осi Ox. Вiльний член рiвняння b визначає величину вiдрiзка, який вiдтинається прямою на осi Oy.

Iншi види рiвнянь прямої на площинi:

1) рiвняння прямої, що проходить через точку A(x0, y0) перпендикулярно до вектора ~n={A, B}:

A(x − x0) + B(y − y0) = 0;

(3)

2) рiвняння прямої, що задається точкою M(x0, y0) та кутовим коефiцiєнтом k:

y − y0 = k(x − x0);

3) параметричне рiвняння прямої:

x = x0 + mt, y = y0 + nt,

(4)

(5)

~											, y0) лежить на
де S={m, n} – напрямний вектор прямої, а точка M(x0
прямiй;
4)	канонiчне рiвняння прямої:
		x − x0			=				y − y0	;	(6)
		m							n
5)	рiвняння прямої у "вiдрiзках":
			x	+		y		= 1,			(7)
						b
			a

де a i b – вiдрiзки, якi вiдтинаються прямою на осях Ox та Oy вiдповiдно;

28

6) рiвняння	прямої, що проходить через двi					точки M1(x1, y1) та
M2(x2, y2):		x − x1		y − y1
			=		.	(8)
	x2 − x1		y2 − y1			A(4; 3), B(−3; −3),
Приклад.	Дано вершини трикутника ABC:

C(2; 7). Знайти: а) рiвняння сторони AB; б) рiвняння висоти CH; в) рiвняння прямої, що проходить через точку C паралельно сторонi AB.

Розв’язання. а) використаємо рiвняння прямої, що проходить через

	двi точки (8):
	x − 4	=	y − 3	або	x − 4	=	y − 3
	−3 − 4		−3 − 3		−7		−6

Останнє рiвняння можна записати у загальному виглядi: 6x − 7y − 3 = 0; б) з рiвняння сторони AB виписуємо координати нормального вектора ~n={6; −7}. Вектор ~n перпендикулярний до прямої AB, а, отже, паралель-

ний до висоти CH (рис.8). Тому, щоб записати рiвняння висоти CH використаємо канонiчне рiвняння

~{ − }

(6)в якому S = ~n = 6; 7 , а точка, що лежить на прямiй, це точка C:

	x − 2	=	y − 7
	6		−7

або −7(x − 2) = 6(y − 7). Остаточно рiвняння висоти CH матиме вигляд: 7x + 6y − 56 = 0;

в) для того, щоб записати рiвняння прямої `, що проходить через точку C паралельно AB, використаємо формулу (3). Вектор ~n перпендикулярний до AB, тому вiн буде перпендикулярним i до прямої `. Таким чином, шукане рiвняння прямої матиме вигляд:

6(x − 2) − 7(y − 7) = 0 або 6x − 7y + 37 = 0.

Аудиторнi завдання

1.Точка A(−2; 3) лежить на прямiй, перпендикулярнiй до прямої 2x − 3y + 8 = 0. Записати рiвняння цiєї прямої.

2.Записати рiвняння прямої, що проходить через точку P (5; 2) та вiдтинає рiвнi вiдрiзки на осях координат.

29

3. Дано три вершини паралелограма ABCD: A(−2; −3), B(1; 2), C(5; 3). Записати рiвняння його сторiн.

4.Записати рiвняння прямої, що проходить через точку A(−2; 1) та утворює з вiсю абсцис кут α = 3π/4.

5.Записати рiвняння прямої, що проходить через середину вiдрiзка AB перпендикулярно до нього, якщо A(2; 3), B(4; −5).

Домашнi завдання

1.Записати рiвняння прямої, що проходить через точку A(2; 5) та вiдтинає на осi ординат вiдрiзок b = 7.

2.Записати рiвняння прямої, що вiдтинає на осi ординат вiдрiзок b = 1 та утворює з додатним напрямом осi абсцис кут α = 2π/3.

3.Дано сторони трикутника: x + y − 6=0, 3x − 5y + 14=0 та

5x − 3y − 14=0. Запиcати рiвняння його висот.

4. Дано вершину трикутника A(3; 9) та рiвняння медiан: y − 6 = 0 i 3x − 4y + 9 = 0. Знайти координати двох iнших вершин.

5. Записати рiвняння прямої, що проходить через початок координат та утворює кут 450 з прямою y = 2x + 5.

§2. Кут мiж прямими. Умови паралельностi та перпендикулярностi прямих. Вiдстань вiд точки до прямої

Розглянемо випадки взаємного розташування двох прямих на площи-

нi.

1. Нехай прямi задаються загальними рiвняннями A1x + B1y + C1 = 0 та A2x + B2y + C2 = 0. Тодi косинус кута ϕ мiж ними можна обчислити за формулою:

cos ϕ =	~n1 · ~n2	=		A1A2 + B1B2			.
	|~n1| · |~n2|
			pA12 + B12 · pA22 + B22

Умова перпендикулярностi прямих має вигляд:

A1A2 + B1B2 = 0,

а умова паралельностi –

A1 = B1 6= C1 .

A2 B2 C2

(1)

(2)

(3)

30