математика 1874

	51
9.	y′′ − y′ = 2x, y(0)= 0, y′(0)= 2
10.	y′′ − 2y′ + y = 16 e x , y(0)= 1, y′(0)= 2

Завдання 21. Знайти частинний розв`язок ЛНДР.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

y′′ − 6y′ + 25y = 9sin 4x − 24cos 4x, y(0) = 2, y′(0) = −2

y′′ − 4y′ + 4y = sin x + 2cos x,			y(0) = 2, y′(0) = 0
y′′ − y = 25(sin 5x + cos5x),			y(0) = 2,	y′(0) = 4
y′′ + y = 2 cos x,	y(0)= 1,	y′(0)= 0
y′′ − 2y′ + y = 4 (sin x + cos x),			y (0)= 1,	y′(0)= 0
y′′ − 3y′ = 3cos9x − sin 9x, y(0) = 0,				y′(0) = 1
y′′ − 4y′ + 5y = 24sin 6x − 12cos 6x ,				y(0) = 2, y′(0) = 3
y′′ + y′ = sin13x + 2cos13x,			y (0) = y′(0) = 1
y′′ + 4y = sin x,	y (0)= y′(0)= 1
y′′ + 4y′ − 12y = 8sin 2x,		y(0)= y′(0)= 0

Завдання 22. Знайти загальний розв`язок ЛНДР в загальному вигляді.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

y′′ − 4y′ = 8e4x − 6sin 4x

y′′ + 2y′ = e−2x + cos 6x

y′′ − 5y′ = x + 2 + 3sin 2x y′′ + 4y = 3sin x − x2 + 1

y′′ − y′ = e− x (x2 + x + 1)+ 4cos3x y′′ + y′ = ex + 4sin x

y′′ − 4y′ + 4y = 3e2x − 4sin 2x y′′ − y = 2e x + cos x

y′′ + 16y = 16 cos 4x − 16e4x y′′ + 36y = 24sin 6x + 36 e6x

52

Завдання 23. Розв`язати систему диференціальних рівнянь.

1.	dx
		dt
	dy
	dt
2.	dx
		dt
	dy
	dt
3.	dx
		dt
		dz
	dt
4.	dx
		dt
	dy
	dt
5.	dx
		dt

dy

dt

=y

=− x + y

=x − 2y

=x − y

=x − z

=6z

=4x − y

=x + 2y

=x − y

=4x − 3y

6.	dx
		dt
	dy
	dt
7.	dx
		dt
	dy
	dt
8.	dy
		dx
	dz
	dx
9.	dy
		dx
	dz
	dx
10.	dx
		dt

dy

dt

=6x − y

=3x + 2y

=2x − 9y

=x + 8y

=− y − 2z

=3y + 4z

=4y − z

=y + 2z

=− x − 5y

=−7x − 3y

Завдання 24. Розв`язати систему диференціальних рівнянь.

1.	y′	5y		2 z		40 e x	6.	dx
		= −	+		+						= 2x + 4y + cos t
								dt
		= y − 6z + 9 e− x
	z′
								dy			= − x − 2y + sin t
								dt

2.	dx
		dt
	dy
	dt
3.	dy
		dx
	dz
	dx
4.	dy
		dx
	dz
	dx
5.	dy
		dx

dz

dx

=y − cos t

=− x + sin t

=4y − z − 5x + 1

=y + 2z + x − 1

=−2y + z − e2x

=−3y + 2z + 6e2x

=5y + 4z + e x

=4y + 5z + 1

53

7.	dy							= 2y − z + 2 e x
			dx
										x
	dz							= 3y − 2z + 4e
	dx
8.	dx							= x + y − cos t
			dt
	dy							= −2x − y + sin t + cos t
	dt
9.	dy							= 2y + 4z + cos x
			dx
	dz							= − y − 2z + sin x
	dx
10.	dx							= 5x − 3y +	2e		3t
	dt
	dy							= x + y + 5e	−t
	dt

54

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 6

Ряди

Вказівки до виконання індивідуальних завдань

1.ЗНАКОДОДАТНІ ЧИСЛОВІ РЯДИ.

Вираз виду

∞

u1,u2 ,u3 ,...,un ,... = ∑un

(1.1)

n=1

де un R називається числовим рядом.

Числа u1 ,u2 ,u3 ,...,un ,... називаються членами ряду, un = f (n) -

загальним членом ряду (1.1).

Суми S1 = u1, S2

= u1 + u2 ,...,

Sn = u1 + u2 + ...+ un

називаються частковими сумами, а Sn

- n-ою частковою сумою ряду

(1.1).

Ряд

називається

збіжним,

якщо

існує

скінчена

границя

lim Sn = S . Число S

при

цьому називається

сумою ряду. Якщо

n→∞

lim Sn

не існує (або нескінчена), то ряд (1.1) називається розбіжним.

n→∞

Розглянемо ряди:

∞

∑aqn−1 = a + aq + aq2 + ...+ aqn−1 + ...

(1.2)

n=1

∞

1

1

1

∑

1

= 1+

+

+ ... +

+ ...

(1.3)

n=1 n

2

3

n

∞

1

1

1

∑

1

= 1+

+

+ ... +

+ ...

(1.4)

α

α

α

α

n=1 n

2

3

n

Ряд (1.2) утворений із членів геометричної прогресії. Він

збігається при

q

< 1, його сума S =

a

і розбігається при

q

≥ 1.

1− q

55

Ряд (1.3) називається гармонійним рядом, він розбігається і

S = +∞ .

Ряд (1.4) називається узагальненим гармонійним рядом. Він збігається при α > 1 і розбігається при α ≤ 1(при α=1 маємо ряд

(1.3)).

Розглянемо приклади знаходження суми ряду. Приклад 1. Знайти суму ряду:

	∞	1		1		1		1
	∑n=1		= 1+		+		+ ...+		+ ... .
		2n−1		2		4		2n−1

Розв′язання.

Це геометрична прогресія з першим членом а=1 і знаменником

q = 1 . Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює

2

					1				n
	a − aqn			1− 1								1 n−1
					2
Sn =			=							= 2	−		.
	1					1
		− q		1	−							2
Знайдемо суму ряду						2

				1		n−1
		= lim
S = lim S			2 −					= 2 .
n→∞	n	n→∞		2
Приклад 2. Знайти суму ряду
						∞		1
						∑
						n=2 n2 − 1

Розв′язання.

Знаменник загального члену ряду розкладемо на суму

найпростіших дробів
	1		=	A	+	B	.
	n2 − 1
				n − 1		n + 1

Приводячи праву частину до спільного знаменника, знайдемо коефіцієнти А і В:

56

					1 = A(n + 1)+ B(n − 1) A =																																																									1			; B = −														1			.
																																																											2																			2
																				1											1											1															1
Отже,							un					=																	=																							−															.
																n			2 − 1												2
																																					n − 1 n + 1
					По цій формулі знайдемо:
													1											1															1									1									1																	1							1							1
					u		2	=								1−											, u							3		=																	−										,				u		4		=														−					...,
													2											3															2										2 4																									2							3 5
																1									1														1																																							1									1							1
					un−2							=																					−														,																		un−1 =																											−							.
																2																																																														2
																				n − 3 n																				− 1																																									n						− 2 n
					Знаходимо n –у часткову суму ряду
							1									1									1						1								1													1					1											1															1								1											1
Sn			=					1					−						+																	−										+																		−							+ ... +																									−									+
							2									3									2																											2																															2								−
																															2 4																											3 5																													n						3 n − 1
		1						1										1									1									1																	1
+														−										+																					−																			=
																											2
		2 n						− 2 n																							n − 1 n + 1
		1								1						1									1						1								1																				1															1														1										1						1			1
=					1−								+								−								+							−							+					... +																						−											+												−									+				−				=
																																																										n −
		2								3 2 4 3 5																																																									3 n − 1 n − 2 n n − 1 n + 1
	1							1								1											1													1								3							1														1
=			1				+						−							−																=																	−										−											.
	2								2 n n + 1																															2								2 n n +																							1
					(Всі останні проміжні члени ряду взаємно знищились). Знайдемо
суму ряду																																																											1
																																																																			3					1													1									3
																				S = lim Sn =																															lim																			−							−														=							.
																																																																																														4
																													n→∞																				n→∞											2								2 n n + 1

Найчастіше точне значення суми ряду знайти неможливо. Проте, питання про збіжність ряду можна вирішити за допомогою ознак збіжності ряду.

Необхідна умова збіжності ряду

Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля, тобто,

57

lim un = 0 .

n→∞

В цьому твердженні міститься необхідна умова збіжності ряду. Важливо підкреслити, що ця умова не є достатньою для збіжності ряду, і на прикладах ми побачимо, що навіть при її виконанні ряд може розбігатися.

Розглянемо приклади застосування необхідної умови збіжності ряду при дослідженні рядів на збіжність.

Приклад 3. Дослідити збіжність числового ряду за необхідною ознакою

∞

2n

∑

3n + 1

Розв′язання.

n=1

Знайдемо границю загального члену ряду

lim u

= lim

2n

= lim

2

=

2

≠ 0

n

n→∞

n→∞ 3n +1

n→∞

+

1

3

3

n

Необхідна умова збіжності ряду не виконується, тому ряд розбігається.

Приклад 4. Дослідити збіжність числового ряду за необхідною ознакою

∞ 1

n∑=2 n ln n

Розв′язання.

Знайдемо границю загального члену ряду

	1
lim un	= lim		= 0
n→∞	n→∞ n ln n

Отже, ряд може збігатись. Питання про збіжність ряду потребує додаткових досліджень.

Розглянемо достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами.

Ознаки порівняння рядів

Нехай маємо два ряди

	58
∞	∞
а) ∑un ;	б) ∑vn з невід′ємними членами.
n=0	n=0

1 Якщо un ≤ vn для будь-якого n ≥ N , то із збіжності ряду б)

випливає збіжність ряду а), а із розбіжності ряду а) випливає розбіжність ряду б).

2 Якщо lim un = r, 0 < r < +∞ , то ряди а) і б) одночасно
n→∞ v	n
збігаються, або розбігаються.

На практиці найчастіше досліджувані ряди порівнюють або з нескінченою спадаючою геометричною прогресією, або з узагальненим гармонійним рядом

∞

1

∑

α

n=1 n

Нагадаємо, що узагальнений гармонійний ряд збігається при α>1

і розбігається при α≤1.

Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд

∞

1

∑

− ln n

Розв′язання.

n=1 n

Перетворимо загальний член ряду

1

1

un =

=

n − ln n

ln n

n 1 −

n

Так

як

lim

ln n

= 0

(довести

самостійно), то даний

ряд

n→∞ n

∞

1

порівнюємо з гармонійним рядом: ∑

, який розбігається.

n=1

n

Так

як

за ознакою

порівняння

1)

1

>

1

, одержимо,

що

n − ln n

n

даний ряд, як ряд з більшими членами, розбігається. Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд

59

	∞
	∑		1	tg		1
	n=1		3 n			n
Розв′язання.
Використаємо те,	що	функція					tgx		еквівалентна х	при
x → 0 ( tgx ≈ x при x → 0 ).	Тому			даний			ряд		можна порівняти	із
збіжним рядом
	∞			1 =		∞
	∑		1			∑ 1
	n=1	3 n n				n=1 n 43
Використовуючи ознаку порівняння 2), знаходимо границю
	un			1		tg 1
				3	n		n	= 1	> 0
lim		= lim			1		1
n→∞ vn			n→∞
				3	n		n

Звідси випливає, що даний ряд також збігається.

Ознака Даламбера

∞

Якщо для ряду ∑un існує (скінчена або нескінчена) границя

n=1

lim

un+1

= D ,

n→∞ un

то при D < 1 ряд збігається, а при D > 1 розбігається.

ПриD = 1 розв′язання

питання

про збіжність ряду потребує

додаткових досліджень.

Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд

∞

5n n!

∑

(2n)!

Розв′язання.

n=1

Скористаємось ознакою Даламбера

(n +1)!

=

5n

n!

=

5n+1

u

, u

(2(n +1)!)

n

(2n)!

n+1

60

Знайдемо

	u	n+1		5n+1 (n + 1)!
lim			= lim
				(2n + 2)!
n→∞ un			n→∞

	(2n)!				5(n + 1)
				= lim			= 0
						+ 2)
	5n	n!		n→∞ (2n + 1)(2n

( В перетворенні виразу, що стоїть під знаком lim використали те, що

(n + 1)!= n!(n + 1) і (2n + 2)!= ((2n)!(2n + 1)(2n + 2))

Так як D = 0 < 1 , то даний ряд збігається.

Ознака Коші (радикальна)

∞

Якщо для ряду ∑un існує ( скінчена або нескінчена) границя

n=1

lim n un = K ,

n→∞

то при К<1 ряд збігається, а при К>1 розбігається.

При К=1 питання про збіжність ряду залишається відкритим і потрібні додаткові дослідження.

Зауваження. При доведенні ознаки Даламбера і радикальної ознаки Коші, зверніть увагу на наступний факт: якщо D > 1(K > 1) , то

загальний член	ряду	un не прямує до		0,	тобто не виконується
необхідна умова збіжності ряду.
Приклад 8. Дослідити на збіжність ряд
		∞
		∑n3 sin n π
		n=2	n
Розв′язання.
Скористаємось радикальною ознакою
lim n un	= lim n n3 sin n π = lim(n			n )3	sin π = 1 0 = 0
n→∞	n→∞		n n→∞		n

Так як К=0<1, то ряд збігається. (при обчисленні границі використали те, що

	1		1	ln x	lim	ln x
lim x x		= lim e x			= en→∞ x = e0 = 1 .
x→∞		x→∞

Часто при з′ясуванні питання про збіжність ряду потрібно застосовувати декілька ознак збіжності рядів.

Приклад 9. Дослідити на збіжність ряд