матанчик 4 идз

							61
5.	Диференціювання						оригінала.	Якщо	функції
′		K		, f	(n)	(t) є функції-оригінали і f		(t) ← F(p), то
f (t), f (t),
		′	(t) ← pF(p)- f (0),
		f

f ′′(t) ← p2F(p)- p f (0)- f ¢(0),

…………………………………..

f

(n)

(t)

← p

n

F(p)

- p

n-1

f (0)- p

n-2

¢

(n-1)

(0)

f (0)- L - f

Зокрема, якщо f (0)= f

¢

(n-1)

(0)= 0 , то

(0)= K = f

f (n)(t) ← pn × F(p).

6. Диференціювання зображення. Якщо f

(t) ← F(p), то

′

(p) → - t f (t)

F

F′′(p) → t 2 f (t)

	′′′	- t	3	f (t)
	F (p) →
	F (n)(p) → (-1)n t n f (t)
Останню формулу представимо у вигляді:
	tn f (t) ← (- 1)n F (n)(p)
7.	Інтегрування оригінала. Якщо f (t) ← F(p)
					t			F(p)
					ò f (τ )dτ ←				.
								p
				0
									f (t) ← F(p) і інтеграл
8. Інтегрування зображення. Якщо
¥
ò F(p)dp збіжний, то
0							¥
					f (t)
						← ò F(p)dp .
					t		p
9.	Теорема	множення					(теорема		про згортку). Якщо
f (t) ← F(p) і g(t)		← G(p), то					f (t) g(t)		← F(p)× G(p). Вираз

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

62

t

t

f (t) * g(t) = ò f (τ )g(t -τ )dt = ò f (t -τ )g(τ )dt

називається

згорткою

0

0

функцій f (t)

і g(t) .

Якщо

функція F(p) в

околі

точки p = ∞

може бути

¥

cn

представлена

рядом

Лорана

F(p)= å

,

то

функція

pn+1

¥

n

n=0

t

(t > 0)

f (t) = å cn

×

є оригіналом, що має зображенням функцію

n!

n = 0

F(p).

Якщо F(p)=

Q (p)

– правильний раціональний дріб, знаменник

S (p)

якого має лише прості корні (

нулі )

p1, p2 , p3,..., pn , то функція

n

Q (p

k

)

× e pk t

f (t) = å

є оригіналом, що має зображенням F(p).

S¢(pk )

k =1

Знаходження зображення за заданим оригіналом

Цей процес виконується з використанням властивостей перетворення Лапласа та таблиці основних зображень.

Знаходження оригіналу за заданим зображенням

Для знаходження оригінала f (t) по відомому зображенню F(p) найчастіше застосовують наступні способи:

1) якщо F(p) є правильний раціональний дріб, то його

розкладають на суму простих дробів і знаходять оригінали для кожного простого дробу, використовуючи властивості перетворення Лапласа, наведені вище;

2) використовують формулу розкладання, згідно якої при деяких

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

63

достатньо загальних умовах оригіналом для F(p) служить функція

	æ	)× e	p	k	t ö
f (t) =å resç F ( pk					÷ , де сума лишків береться по усім
k	è				ø

особливим точкам pk функції F(p).

Застосування операційного числення

1) Розв’язання задачі Коші для лінійних диференціальних

рівнянь зі сталими коефіцієнтами			x = x(t)
Постановка задачі Коші така: знайти розв’язок
лінійного диференціального	рівняння n –го порядку зі		сталими
коефіцієнтами:
an x(n) + an−1 x(n−1) +... + a1 x′ + ao x = f (t),
який задовольняє початкові умови
′	(n−1)	(0)= xn−1
x(0)= xo , x (0)= x1, ..., x

Операційний метод розв’язування такої задачі полягає в тому, що шукану функцію і праву частину диференціального рівняння вважаємо оригіналами і переходимо від рівняння, що зв’язує оригінали до рівняння, що зв’язує зображення. Тут f (t) – задана

функція-оригінал, ai , i = 0, n та xo , x1, ..., xn-1 – задані числа.

Застосуємо теорему диференціювання оригіналу і врахуємо властивість лінійності до обох частин заданого рівняння, поклавши f (t) ← F(p), x (t) ← X (p). Отримаємо лінійне алгебраїчне рівняння,

яке розв’язуємо відносно X (p). Для знайденого зображення X (p) знаходимо оригінал x(t). Це і є шуканий розв’язок x(t).

2) Розв’язання задачі Коші для систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Розв’язання задачі Коші для системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами виконується за тією ж схемою, що і для лінійного диференціального рівняння. Застосування перетворень Лапласа до рівнянь системи, зводить її до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно зображень шуканих розв’язків. За знайденим зображенням знаходимо оригінали, які є розв’язками системи.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

64

Основні оригінали і їх зображення.

№

Оригінал f (t)

Зображення

№

Оригінал

Зображення F(p)

F(p)

f (t)

1.

1

1

12

eλ t cosωt

p − λ

p

(p − λ)2 + ω 2

2.

t n (n =1,2,L)

n!

13

eλ tshωt

ω

(p − λ)2 − ω 2

pn+1

3.

tα (α > −1)

Γ(α +1)

14

eλ tchω t

p − λ

pα +1

(p − λ)2 − ω 2

4.

eλ t (λ = a + bi)

1

15

t sinωt

2pω

p − λ

(p2 + ω 2 )2

5.

tneλ t

n!

16

t cosωt

p2 − ω 2

(p − λ)n+1

(p2 + ω 2 )2

6.

tα eλt (α > −1)

Γ(α +1)

17

t shω t

2 pω

(p − λ)α +1

(p2 − ω 2 )2

7.

sin ω t (ω > 0)

ω

18

tchω t

p2 + ω 2

p2 + ω 2

(p2 −ω 2 )2

8.

cos ω t

p

19

sin(t −τ )

e−τ p

p2 + ω 2

(τ > 0)

p2 +1

9.

shω t

ω

20

cos (t − τ )

pe−τp

p2 − ω 2

p2 + 1

10

chω t

p

21

t n sinω t

Im(p + iω)n+1

n!

p2 − ω 2

(p2 + ω 2 )n+1

11

eλt sinωt

ω

22

t n cosωt

Re(p + iω)n+1

n!

(p − λ)2 + ω2

(p2 + ω 2 )n+1

23

sin ωt − ωt cosωt

1

÷

2ω 3

(p 2 + ω 2 )2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

65

3.2Аудиторні завдання

1.Визначити, які з функцій f (t) є функціями-

оригіналами: а) 2e5t ; б) t -1 3 ; в) 2t2 - 3t + 5 .

Відповідь: а) так, б) ні, в) так.

2. Користуючись означенням, знайти зображення за

Лапласом наведених функцій: а)					f (t) = t − 7 ; б)			f (t) = 2te3t ;
в) f (t) = sin 5t .
Відповідь: а) F( p) =	1	−	7	; б) F( p) =		2	;в) F( p) =		5	.
	p2		p			(p − 3)2			p2 + 25

3. Знайти зображення за Лапласом наведених функцій, користуючись таблицею оригіналів та зображень

а)	f (t) = t2 − 2t ; б)				f (t) = 2sin 2 t +1; в) f (t) = 2sin 4t cos6t − 3e7t .
					2(1− p)				p2 + 8
Відповідь: а) F( p) =							; б)	F( p) =	p(p2 + 4);
					p3
	10				2
в)	F( p) =		−			.
		p2 +100			p2 + 4

4. Знайти зображення наведених функцій, користуючись теоремами про зображення та оригінали:

а) sh(t + 3) ; б) t ×cos 3t ;					в)	ch2t − sht
							t
Відповідь: а)	e−3 p		,б)		p2 − 9		,в)	1	ln
	p2 −1			(p2 + 9)2				2

t

; г) e3t ×sin 2t ; д) ò sin 2τdτ .

		o
p2 −1	, г)	2		,д)		2		.
p2 − 4		p2 − 6 p +13			p3	+
							4 p

5. Знайти зображення за Лапласом кусково-неперервної функції, заданої графічно:

f(t)

2

1

	0
				1		2 3 t
				-1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

66

Відповідь:		1				(1- e− p + pe−2 p - e−2 p - 2 pe−3 p + e−3 p ).
			p2
	6. Знайти оригінали за заданими зображеннями:
F ( p) =						p	; F ( p) =	p + 2	; F ( p) =	p2 + p +1	.
1			p	2		+ 4 p + 5	2	( p - 2)( p2 +1)	3	p2 ( p −1)

Відповідь: а) y(t)= e−2t (cost - 2sint) ;б) y(t)= 0,8e2t - 0,8cost - 0,6sint ;

в) y(t)= 3et -t - 2 .

7. Користуючись методом операційного числення, знайти розв'язок диференціального рівняння, який задовольняє вказаним початковим умовам:

а) y

¢¢

+ 2y

¢

+ 2y

t

¢

= te , y(0) =1, y (0) = -1;

б) y

′′′

- 5y

′′

+ 8y

′

- 4y

= 0,

y(0)=1

′

′′

= 0 .

, y (0)= -1, y (0)

Відповідь: а) y(t)=

1

tet

-

1

et +

1

te−t +

5

e−t

;б) y(t)= 8et

+ 5te2t - 7e2t .

4

4

4

4

8. Користуючись методом операційного числення, знайти розв'язок систем диференціальних рівнянь

¢

dx

, y

¢

dy

= dt

= dt

):

(вважається, що x = x(t), y = y(t), x

ìx′ = 2x + 3y, x(0)= 4 ,

ì x¢

= -x + 3y

;

ìx(0)=1,

а) í

y(0)

= 4.

б) í

2t

í

îy¢ = 5x + 4y,

îy¢ = x + y + e

îy(0)=1.

Відповідь: а)

ïìx(t)= 3e7t + et ,

í

ïy(t)= 5e7t - et ;

î

ïìx(t)=

3

te2t

+

1

e2t

+

3

e−2t ,

4

4

б)

ï

4

í

3

1

ïïy(t)= te2t +

e2t

+

e−2t.

4

4

î

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

67

3.3 Індивідуальні завдання

3.3.1 Визначити, які з функцій f (t) є функціямиоригіналами.

1. а) t2 ; б)

1

.

2t −

5

t

3. а) 3t2 + 2 ; б)

.

t − 2

5. а) cos 2t ;

б) ctgt .

7. а) 2t − 3 ; б)

4

.

t − 7

9. а) 4t ; б)

5

.

t − 3

1

11. а) t5 − t ; б)

.

3t −

6

t

13. а)

; б) 5t2 − 7 .

t +

2

1

15. а) 3et ; б)

.

2t − 6

17. а)

t sin t ;

б)

10

.

t −1

19. а)

1

; б)

3t2 − 4t .

t2 − 4

1

21. а)

t cost ; б)

.

3 −10t

23. а) e3t + 6t ; б) tg(t −1) .

	25. а)	− sin t ; б)	4			.
			t − 9
	27. а)	t3 − 4t ; б)		t		.
				t + 2

2. а) t3 ; б)

1

.

t − 3

4. а) 32t ; б) tgt .

6. а) tg2t ; б) et .

8. а) ch3t ; б)

2t

.

t2 −

4

10. а) t3 + 2t ; б)

1

.

t +

3

1

12. а) e3t ; б)

.

t + 5

14. а) ctg3t ; б)

5t .

16. а) et−2 ; б)

1

.

sin t +1

18. а) 45t ; б)

t

.

t2 −1

20. а) 72t ; б)

1

.

2t +

7

22. а)

2t

; б)

6t −1.

2t + 5

1

24. а) 3t − 7 ; б)

.

2t2 − 8

26. а)

et cos t ;

б)

1

.

7t − 1

28. а)

sht ;

б)

4

.

t2 − 5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

				68
29. а) 5−t ; б)		2t	.	30. а)	e−2t + t ; б)	7		.
						t − 4
	t2 −16
3.3.2 Користуючись означенням, знайти зображення за
Лапласом наведених функцій.
1. f (t) = t − 2				2. f (t) = tet	3. f (t) = 4t −1
4. f (t) = te−t				5. f (t) = 5t +1	6. f (t) = te2t
7. f (t) = t + 2				8. f (t) = te−2t	9. f (t) = 4t −1
10. f (t) = 6 − 5t				11. f (t) = 3 − t	12. f (t) = te3t
13. f (t) = t − et				14. f (t) = te−3t	15. f (t) = 7t − 3
16. f (t) = 2t − 3				17. f (t) = te4t	18. f (t) = 6t − 4
19. f (t) = 2t − et				20. f (t) = 2t − 7	21. f (t) = 6te2t
22. f (t) = et − 3t				23. f (t) = 2te−t	24. f (t) = t − 5
25. f (t) = 2t +1				26. f (t) = −te6t	27. f (t) = t + et
28. f (t) = te−4t				29. f (t) = 3 + 4t	30. f (t) = −te2t

3.3.3 Знайти зображення за Лапласом наведених функцій, користуючись таблицею оригіналів та зображень.

1.	f (t) = 3t2 − 2sin2 4t +1.	2.	f (t) = 4t3 − 5et + 7 .	3.	f (t) = 4t + cos2 5t .
4.	f (t) = e−4t + sint cost .	5.	f (t) = 2 − sin2 t + 4t5 .	6.	f (t) = 6e2t + cos 7t .
7.	f (t) = sin 5t ×sin 7t + 8t .	8.	f (t) = 3e−2t + cos2 2t	9.	f (t) = sin 3t × cos 4t .
10	. f (t) = 6e−7t + sin2 3t .	11	. f (t) = cos 3t ×cos 6t .	12	. f (t) = 2sin2 t + 5t3 .
13	. f (t) = 5sint − 8et + 4 .	14	. f (t) = e3t − 6cos2 2t	15	. f (t) = sin 3t ×sin 5t .
16	. f (t) = 2sin2 5t − 4t .	17	. f (t) = 4sin 2t cos 2t	18	. f (t) = 5 + 3cos2 2t .
19	. f (t) = -cos 5t ×sin 2t .	20	. f (t) = e−t − sin2 3t .	21	. f (t) = 3cos2 6t + 4t .
22	. f (t) = et − 3sin2 t .	23	. f (t) = 2et + 6cos4 t	24	. f (t) = 8cos 6t sin 2t .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

69

25. f (t) = 8sin4 2t − 5t .

26. f (t) = 4 cos 7t cos 9t

27. f (t) = cos2 2t − e6t .

28. f (t) = 3− 6sin2 t + 4t .

29. f (t) = e−t − 5sin2 t .

30. f (t) = sin 2t ×sin 8t .

3.3.4

Знайти

зображення

наведених

функцій,

користуючись теоремами про зображення та оригінали:

1. a) e2t sint ,

б) t × ch 3t ,

в)

1- cost

,

г)

(t + 2)3 ,

д)

òt

cosτ dτ .

t

0

et -1

t

2. a) sin(t + 3), б) t × sh 2t ,

в)

,

г) e−3t ch 2t ,

д) òτ 2e−τ dτ .

t

0

t

sin 2 t

, г) e2t × t 2 , д)

3. a) σ (t - 2)- σ (t - 4),

б) t × cos 3t , в)

òch 2τ dτ .

t

0

æ

π

ö

1 - e−t

, г) e3t sin 3t ,

t

òsh 3τ dτ .

4. a) cosçt

-

÷ ,

б) t × ch 2t

,

в)

д)

2

t

è

ø

0

t

ch 2t - cht

t

5. a) sh(t - 2),

б) t ×sin

г) e2t

д) òτ 2dτ .

,

в)

,

cos 2t ,

2

t

t

0

6. a) (t − 1)3 ,

sh2 t

e−3t ch t ,

б) t × cos 2t ,

в)

,

г)

д)

òsin 3τ dτ .

t

0

7. a) sin 2 (t − 4),

sht

г) e−2t t 2 ,

t

б) t × sh t ,

в)

,

д) òcos 3τ dτ .

t

0

8. a) ch(t − 3),

б)t × cos 5t ,

в)

sh 2t

,

г)

e3t sin 2t ,

д)

òt

τ e−2τ dτ .

t

0

et

− e−t

г) et sh t ,

t

9. a) cos(3t − 5), б) t × ch 4t ,

в)

,

д) òsin 2τ dτ .

t

0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

70

1 - e2t

г) et cos3t ,

t

10.

a) sh(5t -1), б) t × sin 3t ,

в)

,

д) òchωτ dτ .

te

t

0

11.

a) et cos2t ,

б)t × sh 3t ,

в)

1- cost

,

г) (t + 1)2 ,

д) òt

sin 2τ dτ .

t

0

12.

a) cos(t + 2),

б)t × ch 2t ,

в)

1- e−2t

,

г) e−2t sh t ,

д) òt

τ 2 eτ dτ .

t

0

cos

2

t

13. a) σ (t −1)− σ (t − 3), б) t × sin 5t , в)

t −1

, г) e−2t t 2 , д) òch 4τ dτ .

t

0

æ

π

ö

e

2t - 1

14.

a) sinçt -

÷ ,

б)t × cos 5t , в)

,

2

te 2t

è

ø

15.

a) sh(t - 3),

б)t × cos

t

, в)

sh 2t - sh t

,

2

t

2

ch2

t -1

16.

a) (t +

2)

,

б) t × sin 2t ,

в)

,

t

2

et

− e

− t

17.

a) cos

(t

+ 2),

б)t × sh 2t ,

в)

,

2t

г) e2t ch2t , д) òt			sh 8τ dτ .
		0
г) e−2t sin 2t ,			t
		д) òτ 3 dτ .
		t	0
г) e−t sh 3t ,
	д) òcos 4τ dτ .
		0
г) e2tt2 ,		t
	д)	òsin 3τ dτ .
		0

	18.	a) sh(t - 4), б) t × cos 2t , в)		sh 3t	,
				t
	19.	a) sin(3t − 2), б) t × ch 5t , в)	e2t − e−2t
				t

г) e2t sin3t ,		t
	д) òτ e−τ dτ .
		0
, г) e2t sh t ,	д) òt	cos 3τ dτ .
	0

e2t − 1

4t

t

20. a)

ch(3t −1),

б) t × sin 4t ,

в)

,

г) e

sht , д) òcos ωτ dτ .

te

2t

0

21. a)

e3t sin t ,

б) t × ch 6t ,

в)

1 − cos 2t

, г) (t − 4)2 , д) òt

sh 2τ dτ .

t

0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com