M04225
.pdf
|
|
51 |
||||
|
(−1;−1) |
|
|
|
|
|
|
ò |
x |
x2 + y2 |
dx + y |
x2 + y2 |
dy |
23. |
(1;1) |
24. |
||||
|
(1;1) |
|
xdx |
|
|
|
25. |
ò |
|
|
+ |
||
|
|
|
||||
x2 + y2 |
||||||
|
(0;−2) |
|
|
|||
|
(1;1) |
|
|
|
|
|
27. |
ò(x + y sin xy)dx + |
|||||
|
(0;0) |
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
; |
26. |
|
|
|
||
|
x2 + y2 |
|||
|
|
|
|
(y + sin xy)dy 28.
29. |
(2;3)æ |
1 |
ö |
30. |
|
ò ç |
|
+ y÷dx + (ln y + x)dy |
|
|
|
|
||
|
(1;1)è x |
ø |
|
|
(1;2) y |
|
æ |
|
1 |
ö |
|||
|
|
|
dx + ç y |
- |
|
÷dy |
||
(0ò;1) x2 |
x |
|||||||
|
è |
|
ø |
|||||
(1;2) ydx |
+ ln(1 |
+ x)dy |
||||||
(0ò;0) |
|
|||||||
1+ x |
||||||||
(1;1) |
|
|
|
|
|
|
||
ò2xydx + x2 ydy |
|
|||||||
(−1;1) |
|
|
|
|
|
|||
(1;0) |
(3x2 - 2xy + y2 )dx + |
|||||||
ò |
|
+ x(2y - x)dy |
|
|||||
(0;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.7Знайти функцію u(x, y) за її повним диференціалом
1.du = (2x - 3y2 +1)dx + (2 - 6xy)dy
2.
du
3.du
4.du
5.du
6.du
7.du
8.du
9.du
|
y |
æ |
1 |
ö |
|
= |
|
dx + ç y - |
|
÷dy |
|
x2 |
x |
||||
|
è |
ø |
=(x2 - 2y)dx + (y2 - 2x)dy
=(4x + 3y)dx + (3x + 2y)dy
=(10x + 6y)dx + 6xdy
=(y + 2x)dx + (x + 2y)dy
æ |
1 |
|
1 |
ö |
æ |
1 |
|
x |
ö |
||
= ç |
+ |
÷dx + ç |
- |
÷dy |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||
ç |
y |
|
x |
÷ |
ç |
y |
y |
÷ |
|||
è |
|
ø |
è |
|
ø |
||||||
=(20x3 - 21x2 y + 2y)dx + (3 + 2x - 7x3 )dy
=(3x2 - 2xy + y)dx + (x - x2 - 3y2 - 4y)dy
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|||
|
|
æ |
|
|
|
|
y |
2 ö |
2y |
|
|
|
|
|
|||||
10. |
du = |
ç |
4 - |
|
|
|
÷ |
dy |
|
|
|
||||||||
|
ç |
|
x |
2 |
÷dx + |
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
æ |
1 |
|
|
|
|
y |
ö |
æ |
1 |
|
|
x |
ö |
||||
11. |
du = |
ç |
- |
|
|
|
÷dx + ç |
- |
|
÷dy |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
ç |
|
y |
|
|
|
x |
÷ |
ç |
|
|
|
y |
÷ |
||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
è x |
|
|
|
ø |
||||||
12.du = (3x2 - 2xy + y2 )dx - (x2 - 2xy + 3y2 )dy
|
æ |
|
|
1 |
ö |
æ |
|
|
x |
ö |
|||
13. |
du = ç |
3x2 y + |
÷dx + ç x3 |
- |
÷dy |
||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||
|
ç |
|
|
y |
÷ |
ç |
|
|
y |
÷ |
|||
|
è |
|
|
ø |
è |
|
|
|
ø |
||||
|
æ |
|
|
1 |
|
|
ö |
+ (x3 |
- xy2 )dy |
||||
14. |
du = ç3x2 y - |
|
|
|
y3 |
÷dx |
|||||||
|
3 |
|
|||||||||||
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||
15. |
du = (x2 - 2xy)dx + (y2 - 2xy)dy |
||||
16. |
du = |
1- y |
dx + |
1- 2x |
dy |
x2 y |
|
||||
|
|
|
xy2 |
||
17.du = (3x2 y - y3 )dx + (x3 - 3xy2 )dy
|
|
æ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = |
ç |
|
2 |
|
+ y |
2 |
|
-1÷dx - |
x |
2 |
+ y |
2 dy |
|
||||||||||||||||||
|
|
è x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
æ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ö |
|
æ |
|
|
|
3 |
|
|
2x |
ö |
|||||||
19. |
du = |
ç |
|
|
|
y + |
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
4x |
- |
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||
|
ç12x |
|
|
y |
2 |
|
÷dx + |
ç |
|
y |
3 |
|
÷dy |
|||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|||||
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ö |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
2 |
ö |
|
|
|
|
|||||
20. |
du = |
ç |
2xy - |
|
|
|
|
÷dx |
+ ç x2 |
- |
|
|
÷dy |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
x |
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
y |
÷ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
||||||
|
|
æ |
1 |
|
|
|
1 |
|
ö |
|
|
|
|
|
1- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21. |
du = |
ç |
|
+ |
|
|
÷dx + |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
y |
÷ |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
è x2 |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
22.du = (4xy + 3y2 + 3x2 )dx + (2x2 + 6xy)dy
23. |
du = |
- 2x |
dx + |
2y |
dy |
|
y2 - x2 |
y2 - x2 |
|||||
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
53
24.du = (6x2 y − 4y5 )dx + (2x3 − 20xy4 )dy
25 |
du = (5y2 − 9x2 y4 )dx + (10xy −12x3 y3 )dy |
26.du = (− 3y − 4x3 )dx − (2y − 3x)dy
27.du = (5 − 3x2 )dx − 3y2dy
28.du = (7 − 3x2 y2 )dx + (4y3 − 2x3 y)dy
29.du = (4xy2 + 3x2 )dx + (4x2 y − 3y2 )dy
30.du = (y4 − 6xy)dx + (4xy3 − 3x2 )dy
2.2.8Обчислити поверхневі інтеграли першого роду по поверхні S, де S – частина поверхні (ρ), відсічена координатними
площинами
1. |
òò(2x + 3y + 2z)dS, |
(ρ ) |
|
x+3y+z=3; |
|
|
|
||
|
S |
(ρ ): |
|
|
2. |
òò(2 + y − 7x + 9z)dS, |
2x-y-2z= -2; |
||
|
|
|
||
|
S |
(ρ ): |
|
|
3. |
òò(6x + y + 4z)dS, |
3x+3y+z=3; |
||
|
|
|
||
|
S |
(ρ ): |
|
|
4. |
òò(x + 2y + 3z)dS, |
x+y+z= 2; |
||
|
|
|
||
|
S |
|
|
|
5. |
òò(3x − 2y + 6z)dS, |
(ρ ) |
: |
2x+y+2z = 2; |
|
|
|||
|
S |
(ρ ): |
|
|
6. |
òò(2x + 5y − z)dS, |
x+2y+z = 2; |
||
|
|
|
||
|
S |
(ρ ): |
|
|
7. |
òò(5x − 8y − z)dS, |
2x-3y+z = 6; |
||
|
|
|
||
|
S |
(ρ ): |
|
|
8. |
òò(3y − x − z)dS, |
x-y+z = 2; |
||
|
|
|
||
S
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9.òò(3y − 2x − 2z)dS,
S
10.òò(2x − 3y + z)dS,
S
11.òò(5x + y − z)dS,
S
12.òò(3x + 2y + 2z)dS,
S
13.òò(2x + 3y − z)dS,
S
14.òò(9x + 2y + z)dS,
S
15.òò(5x + 8y + 8z)dS,
S
16.òò(4y − x + 4z)dS,
S
17.òò(7x + y + 2z)dS,
S
18.òò(2x + 3y + z)dS,
S
19.òò(4x − y + z)dS,
S
20.òò(6x − y + 8z)dS,
S
21.òò(4x − 4y − z)dS,
S
22.òò(2x + 5y + z)dS,
S
23.òò(4x − y + 4z)dS,
S
54
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
(ρ ):
2x – y- 2z =-2;
x+2y+z = 2;
x+2y+2z = 2;
3x+2y+2z = 6;
2x+y+z= 2;
2x+y+z= 4;
x+4y+2z= 8;
x-2y+2z = 2;
3x-2y+2z = 6;
2x+3y+z= 6;
x-y+z= 2;
x+y+2z= 2;
x+2y+2z= 4;
x+y+2z= 2;
2x+2y+z= 4;
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
55 |
|
24. |
òò(5x + 2y + 2z)dS, |
(ρ ): |
x+2y+z= 2; |
|
S |
|
|
25. |
òò(2x + 5y + 10z)dS, |
(ρ ): |
2x+y+3z= 6; |
|
S |
|
|
26. |
òò(2x + 15y + z)dS, |
(ρ ): |
x+2y+2z= 2; |
|
S |
|
|
27. |
òò(3x + 10y − z)dS, |
(ρ ): |
x+3y+2z= 6; |
|
S |
|
|
28. |
òò(2x + 3y + z)dS, |
(ρ ): |
2x+2y+z=2; |
|
S |
|
|
29. |
òò(5x − y + 5z)dS, |
(ρ ): |
3x+2y+z= 6; |
|
S |
|
|
30. |
òò(x + 3y + 2z)dS, |
(ρ ): |
2x+y+2z= 2; |
|
S |
|
|
2.2.9 Обчислити поверхневий інтеграл другого роду через нижню сторону поверхні σ, яка обмежена координатними площинами
1. |
òò(x2 − y)dydz, |
σ : |
2x − 3y + z = 1 |
|
σ |
|
|
2. |
òò(y2 + xz)dydz, |
σ : |
x + 2y − z = 1 |
|
σ |
|
|
3. |
òò(xy + z)dydz, |
σ : |
x + 3y + 2z = 1 |
|
σ |
|
2x + y − 3z = 1 |
4. |
òò(z − 2x + y)dydz, |
σ : |
|
|
σ |
|
|
5. |
òò(z − 3xy)dydz, |
σ : |
x − 3y + z = 1 |
|
σ |
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6.òò(xz + y2 )dydz,
σ
7.òò(z2 + y)dydz,
σ
8.òò(y2 − z2 )dydz,
σ
9.òò(x2 + xz)dydz,
|
σ |
10. |
òò(xz + 4y)dydz, |
|
σ |
11. |
òò(y2 − x)dxdz, |
|
σ |
12. |
òò(y2 + x2 )dxdz, |
|
σ |
13. |
òò(yz + x2 )dxdz, |
|
σ |
14. |
òò(x − 2y + z)dxdz, |
|
σ |
15. |
òò(x − 3yz)dxdz, |
|
σ |
16. |
òò(z − xy)dxdz, |
|
σ |
17. |
òò(x2 − y)dxdz, |
|
σ |
18. |
òò(x2 − y2 )dxdz, |
|
σ |
56
σ: x + y + 3z = 1
σ: y − x + 2z = 1
σ: 2y − x + z = 1
σ: z − y − x = 1
σ: − 2x − y + 2z = 1
σ: 3x − y + 2z = 1
σ: 2x − 3y + 2z = 1
σ: 3y − 2x + z = 1
σ: − 2x − 3y + 2z = 1
σ: − x − 3y + z = 1
σ: 2x − y + 3z = 1
σ: x + y − 2z = 1
σ: 2x + 2y + 3z = 1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
19. |
òò(z2 + x)dxdz, |
|
σ |
20. |
òò(yz + x)dxdz, |
|
σ |
21. |
òò(xy + 2z)dxdy, |
|
σ |
22. |
òò(2y + 2xz)dxdy |
|
σ |
23. |
òò(2xy −1)dxdy, |
|
σ |
24. |
òò(x − y + z)dxdy |
|
σ |
25. |
òò(y + 3xz)dxdy |
|
σ |
26. |
òò(2yz − x)dxdy |
|
σ |
27. |
òò(x + yz)dxdy |
|
σ |
28. |
òò(2y + x − z)dxdy |
|
σ |
29. |
òò(x + 3y −1)dxdy, |
|
σ |
30. |
òò(2y − 3z)dxdz, |
|
σ |
57
σ: x − 3y − 3z = 1
σ: 2x − 2y + 3z = 1
σ: x − y + 3z = 1
σ: − 3x + 2y − 3z = 1
σ: − 3x + y + 2z = 1
σ: 2x − 3y − z = 1
σ: x + 3y + 4z = 1
σ: x + y + 2z = 1
σ: 2x − 3y + z = 1
σ: − x + 2y + 3z = 1
σ: x + 4y − z = 1
σ: y − 4x + 2z = 1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
58
ЛІТЕРАТУРА
1.Высшая математика: Учеб. пособие/ Под общ. ред.
П.Ф. Овчинникова.-К.: Вища шк., 1989.-679 с.
2.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. - К.: Вища шк., 1993. - 648
3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. Ч. 1: Учеб. пособие для студентов втузов. - М.: Высш. школа, 1980. – 320 с.с.
4.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2: Учеб. пособие для студентов втузов. - М.: Высш. школа, 1980. – 365 с.
5.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.-М.:Высш школа,1964.-480 с.
6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.
Ч.1, Ч.2, Ч.3.- Харьков, Изд.ХГУ, 1972.-942 с.
7.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.
Ч.3, Ч.4 – Харьков, Изд.ХГУ, 1972.-498 с.
8.Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб. Пособие для вузов. Под ред. В.Ф.Бутузова.-М.: Высш.шк., 1984.-200 с.
9.Овчинников П.П. та ін. Вища математика. Підручник. У 2 ч. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне та інтегральне числення. – К.:
Техніка, 2003.-600 с.
10.Овчинников П.П. та ін. Вища математика. Підручник. У 2 ч. Ч. 2: Диференціальні рівняння.Операційне числення. Ряди та їх застосування. Стійкість за Ляпуновим. Рівняння математичної фізики. Оптимізація і керування. Теорія ймовірностей. Числові методи;– К.:
Техніка, 2004.-792 с.
11.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для ВТУЗОВ. Т. 1. - М.: Наука, 1985. – 456 с.
12.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для ВТУЗОВ. Т. 2. - М.: Наука, 1985. – 576 с
13. Кручкович Г. И. Сборник задач по курсу высшей математики. - М.: Высшая школа, 1973. - 576 с.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com