MathCad

21

Для розв‟язання рівняння f(x)=0 за допомогою функції root(f(x),x) необхідно виконати наступні дії.

1.Привласнити змінній Х, відносно якої розв‟язується рівняння, початкове значення, біля якого виконується пошук кореня.

2.Визначити функцію f(x).

3.Привласнити новій змінній значення, яке повертає функція root(f(x),x).

4.Ввести ім‟я цієї змінної.

5.Ввести знак “=”.

Приклад

	Розвязання рівняння				Розвязання рівняння
	за допомогою функції root() за допомогою функції root()
	без зазначення інтервалу				зі зазначення ін тервалу
	1	x 1			з безпос ереднім викорис танням
					функції f(x) у функціїroot()
		1
	2	f(x) 2x 6				1	1
			x
	3	a root (f(x) x)			b root 2x	6			x 1 5
							x
	4	a 2.823			b 2.823

При розв‟язанні рівнянь слід враховувати, що при відсутності кореня після декількох спроб Mathcad видає повідомлення про помилку, яка може виникати за наступними причинами.

1.Рівняння не має коренів.

2.Корені знаходяться далеко від зазначеного початкового значення Х.

3.Вираз має розриви між початковим наближенням та

коренями.

4.Вираз має локальні мінімуми та максимуми між початковим наближенням та коренями.

5.Вираз має комплексний корінь, а початкове наближення було дійсним.

Для усунення цих помилок рекомендується побудувати графік, дослідити його, а потім змінити початкове наближення.

Розв‟язати рівняння можна також за допомогою ключового слова Given та функції Find(), які використовуються для розв‟язання системи рівнянь.

22

Послідовність дій при використанні цього способу наступна.

1.Зазначити початкове наближення для змінної, яка розшукується.

2.Ввести ключове слово Given (регістр символів не має значення).

3.Ввести рівняння.

4.Привласнити будь якій змінній значення, яке повертає функція Find (аргумент).

5.	Ввести ім‟я змінної, яка дорівнює значенню функції
Find (аргумент) та символ “=” з панелі Boolean.
6.	Після символу “=” буде відображено значення знайденого
кореня.

Приклад

Розвязанн я рівняння Початкове значення

Результат Перевірка

x2 10 = ex
x 2
given
x2 10 ex
a find(x)
a 2.919
a2 10 18.52	e2.919 18.523

1.9.1 Розв‟язання систем рівнянь

У програмі Mathcad передбачене розв‟язання систем рівнянь, у яких кількість рівнянь та змінних не перебільшує 50. Результатом рішення системи рівнянь є значення кореня.

Для розв‟язання систем рівнянь треба виконати наступні дії.

1.Зазначити початкове наближення для всіх змінних, які розшукуються.

2.Ввести ключове слово Given (воно вказує програмі, що далі визначаються рівняння).

23

3. Ввести у будь якій послідовності рівняння та нерівності, обмеження значень змінних, які розшукуються, але нижче ключового слова Given. При цьому між правими та лівими частинами рівнянь має бути символ “=”, який вводиться з панелі Boolean або за допомогою клавіш CTRL - =. У нерівностях можуть використовуватись будь які символи “ ”,”<”,”≤”, “>”.

4.Ввести вираз, якій містить функцію Find(х1,х2,...), при цьому кількість аргументів функції має відповідати кількості розшукуваних змінних.

5.Ввести „=” рішення системи рівнянь повертається як вектор, послідовність значень відповідає розшукуваним змінним.

При використанні функції find(х1,х2,...) необхідно пам‟ятати:

якщо функція Find має один аргумент, то вона повертає рішення у вигляді числа;

якщо функція Find має більше одного аргументу, то вона повертає рішення у вигляді вектора, якій містить значення z1, z2…, що

єрішеннями системи рівнянь.

Ключове слово Given, рівняння та нерівності, які розміщені між словом Given та функцію Find, вираз, який містить функцію Find, створюють блок розв‟язання рівнянь. Між словом Given та функцією Find можуть використовуватись вирази чітко визначеного типу.

Неприпустимі вирази в середині блоку розв‟язання рівнянь:

обмеження зі знаком “≠”;

дискретний аргумент або вираз, якій містить дискретний аргумент у будь якій формі;

нерівність виду а<b<c;

кожен блок розв‟язання рівнянь може містити тільки одне ключове слово Given та ім‟я функції Find;

не можна використовувати оператор привласнення (вираз типу х:=...) усередині блоку розв‟язання рівнянь.

24

Приклад

Початкові значення Початкові значення

Ключове с лово Ключове с лово

Рівняння с ис теми Рівняння с ис теми

рівняннь

рівняннь

x 0

y 0

x 0

y 0

given

given

2

2

x

y

y

sin(x)

0

x

y

y sin(x)

0

3 3

0

y sin(x) 1.2

y sin(x) 1.2

0

Обмеження на значення	x 0
Обмеження на значення	x 0
коренів с ис теми у вигляді
коренів с ис теми у вигляді	y 2
нерівнос тей
нерівнос тей	y 2
Функція find повертає вектор,	2.694
Функція find повертає вектор,	find (x y)		2.694
елементами якого є рішення	find (x y)		2.16
елементами якого є рішення
с ис теми рівнянь			2.16
с ис теми рівнянь
Рішення с ис теми	x=-2.694
Рішення с ис теми	x=-2.694
	y=2.16
	y=2.16

Можливий інший спосіб застосування функції Find

Початкові значення

Ключове с лово

given

Рівняння с ис теми рівняннь

Обмеження на значення коренів с ис теми у вигляді нерівнос тей

Елементам вектору привлас нюютьс я значення, які повертає функціяfind

Рішення с ис теми

x 0

y 0

x y2 y sin(x) 0

3y sin(x) 1.2 0 x 0

y 2

x find (x y)

y

x 2.694 y 2.16

Рівняння с ис теми

рівняннь

25

Обмеження на значення коренів с ис теми у вигляді нерівнос тей

Елементам вектору привлас нюютьс я значення, які повертає функціяfind

Рішення с ис теми

x y2 y sin(x) 0

3 y sin(x) 1.2 0 x 0

y 2

x find (x y)

y

x 2.694 y 2.16

1.10 Аналітичні обчислення

Пакет MathCad містить велику кількість команд аналітичних обчислень. Найбільш прості: Expand - розкриття дужок, Collect - приведення членів, Factor - розкладання на множники, Simplify – спрощення виразів.

Приклад

Використання символьного знака рівності

x9 1

x1

упр ощение

x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1

фактор

x2 x 1 x6 x3 1

расширение

x8 x5 x2 x7 x4 x x6 x3 1

26

Expandрозкриття дужок

Для поліноміальних виразів розкриває дужки, а дрібнораціональні вирази приводить до виду, придатному для інтегрування. При цьому команду Expand треба використовувати з панелі Symbolic.

Приклад

y (y 1) expand y2 y

(x y)

2

2

expand

3

2

2

y

3

y xy

x y

xy

x

y x x xy y x

x

x

expand

2

x2

x 1

x 1

2

x

1

Collect-приведення членів

Команда Collect використовується для приведення подібних членів (групування по ступенях) у виразі А за змінною VAR.

Приклад

1

1

3

y

y

(x y) 2

2

2

x y

1

collect x

(x y)

(x y)

simplify

x

x

x

xy x2 y2 x2 y2 yx2 collect x y2 1 x2 yx2 y2 xy

Simplify – спрощення виразів

Режим автоматичного спрощення полягає у використанні інформації про властивості математичних функцій для перетворення виразів до більш компактної форми. При цьому команду Simplify треба використовувати з панелі Symbolic.

Приклад

x		x		simplify	2	x
x 1		(x	1)			(x 1) (x 1)

27

2 ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ

Кожне завдання виконувати у окремому документі, результати виконання зберегти у новому файлі за ім‟ям zav_(номер завдання), на приклад: zav_1.

2.1 Обчислення функцій

Згідно варіанту визначити функції Р(a, b, x) та R(a, b, x) та обчислити їх для значення аргументу x, якій вибрати самостійно з урахуванням області існування функції. Обчислення виконати двома способами.

Варіанти завдань

3

a=2.95;

1

P x a 2

a sin 2 x

;

2

R

a sin(x)

1.2

b=1;

5.4 sin 2 x

2

P

10 b2

sin 2 bx

0.5ax

R

;

a=3;

b 2 x 2

b=0.3;

x

1.6

bx

;

R

0.5 b

а = 0.52;

3

P ax e

sin 2 x

x

1

b = 2;

sin a x e

x

2

e x

0

x

4

P

3 x 2

cos x;

R a

а = 7;

x a

a2 0.5 x

sin(a x)2 ex 2

1

0.09e x 5

5

P

R

x a

;

a=7.4;

2

3.17

x

6

P

cos 2

x

a bx

;

R 0.5 sin(x)

2

3

а = 1.2;

x

b = –0.7;

1.3x 2

x

b

0.5 2x 2

1

а=3.18;

7

P cos 2

bx ln

;

R

a x

;

b=2;

x

a x

a x

3.7x 2

2x a

3

P

R

a

2

x;

8

;

ax 2

1.6x

а=8;

a x

28

9

P

a

x2

b

a sin 2 x

а = 3.5;

b

2

R b cos x 2

;

b = –0.4;

sin(x)

10

P ax3

4.5x 5

R

1

;

а = 0.5;

e xb ;

ax

2

b

x 1

a

b = –1.9;

3.8

11

0

2

cos (x) b

3

а = 3.8;

P a

2

sin(x)

b

R a2

a2 b x

b = 1.1;

12

P a cos (x)2

x b

R b3

a2 4 x

а = 3.8;

b =1.1;

13

P 0.127x

2

a

b

x

a = 2.6;

2 sin x b 2

;

R 8

ln 5

b = 3.4;

14

P a cos x

a x 2

;

R

3

a sin 2

x ;

a = 25;

a x

15

P

a x

;

R

2

b

a

2 x

a = 1.4;

x 2 b2

x

b = 0.3;

x

a

16

P 0.9x 4 ax3

cos 2

x ;

R cos (x)2 3.5

a = –0.8;

a2 x

17

P

sin(x)2

R

a x

3.52

a = 12.3;

a4

3.8 x2

x 1

a

x 6.4 a

;

4

18

P

sin(a x)2

ex 2

R 0.09e x

5 x a ;

а = 4;

x x a

3.17

a = –0.8;

19

P

a 40b sin x

;

R 5

cos

2

x 3.5 ;

x a 2

b 2

b = 1;

a 0.5

4a 2 x

x

0

20

3

a sin(x)

2

a 0.5

R a

2

2

b

3

a 0.5

a

P

x

sin(x)2

a b

3 a

P(x)

b = 1;

2

a sin(x)2

21

x cos

b ;

P(x) 2b

a b

P

R x

2

;

a= 1.8;

a x

2

a

a

a b

b = 2;

22

3

a sin(x)2

b2 sin(b x)2

a 0.5

P

x2

R

1.5 x b = 1;

29

23

P

x

3.7x 2 b

a = 1.5;

2 sin a x ex 2

R

3

x;

ax 2

1.6x

b = 7;

4

24

a x

a

R

a x

sin a ;

P

;

a= 2.0;

a 3x

2a

2(a x)

25

P 0.9x 4 ax3 cos 2

a x

0.4 a2

x

;

R

3.8 x2

a 0.5

2.2 Використання дискретної змінної

За умовами завдання 2.1 вивести таблицю значень функцій Р(a, b, х) та R(a, b, x) у заданому інтервалі аргументу x згідно варіанта. Забезпечити виведення не менше 10 значень аргументу x та функцій.

х		Р(х)	x	R(х)
1	у інтервалі 0 х з кроком /20;
2	у інтервалі 0<x<2 з кроком /(1+b);
3	у інтервалі 0< х <2 з кроком /10;
4	у інтервалі 0< х <2 з кроком /10;
5	10	значень функції у інтервалі 0< х < ;
6	10	значень функції у інтервалі 0< х < ;
7	10	значень функції у інтервалі 0< х < /25;
8	у інтервалі 0< х <2 з кроком /8;
9	у інтервалі 0< х <2 з кроком /6;
10	25	значень функції у інтервалі 0< х <2;
11	25	значень функції у інтервалі 0< х <2;
12	25	значень функції у інтервалі 0< х <3;
13	30	значень функції у інтервалі 0< х <15;
14	у інтервалі 0< х <1.5 з кроком /15;
15	у інтервалі 0< х <3 з кроком /15;
16	у інтервалі 0< х < з кроком /20;
17	у інтервалі 0< х < з кроком /20;
18	10	значень функції у інтервалі 0<х<;
19	15	значень функції у інтервалі 0< х <2;

	30
20	у інтервалі 0< х <3 з кроком /4;
21	у інтервалі 0< х < з кроком /30;
22	у інтервалі 0< х <2 з кроком /10;
23	20 значень функції у інтервалі 0< х <2;
24	15 значень функції у інтервалі 0< х <3;
25	у інтервалі 0< х < з кроком /15;

2.3 Побудова графіків

Побудувати графіки функцій Р(a, b, х) та R(a, b, x) за умовами завдань 2.1. та 2.2. на одному графіку. Змінити діапазон зміни аргументу x та простежити зміни у графіках функцій.

2.4 Обчислення сум та добутків

Обчислити вираз згідно варіанта.

		5	i2			1			21		x 0.5								9.6
	c								c
						i													28
1	i 1
									x 12
		10	x2 x							10		z					1
	c								c
																			z
2		x 1								z .8					2
		7	x		1				25		x 0.35									96
	c								c
					x															28
3		x 3							x 2
	10	5								15
	c 2		(x	5)					c			y					56
		x x		440
4																	y
	x 1	x 1								y
											10
		7								7
5	c	(y 3.56)							c (k 9.58)
	y 1									k 1
		33								13								29
	c	(y 0.57)							c
6													5.2					4.5
	y 5								5