Лекція 1

Нарисна геометрія вивчає всі геометричні форми, що нас оточують. Це математична дисципліна. Вона є розділом геометрії, в якому просторові фігури (оригінали) вивчаються за допомогою їх зображень (графічних моделей) на площині креслення. Тому як наука вона має прикладний характер.

Предметом НГ є розробка методів побудови та читання креслень, методів розв’язання на них геометричних задач, а також методів геометричного моделювання, тобто створення предмету чи оригіналу, який відповідав би наперед заданим умовам.

Метод проекцій

Основний метод НГ – це метод проекцій, який передбачає проекціювання геометричних форм об’єктів на площину. Отримане плоске зображення внаслідок проекціювання називається проекцією.

Формоутворюючими елементами простору є основні геометричні образи – точка, пряма, площина (поверхня), з яких утворюються геометричні фігури.

Точка зображається білим коло діаметром 1,5…2 мм та вважається, що точка є центром цього кола. Позначаються точки великими літерами латинського алфавіту або арабськими цифрами: A, B, C, D…чи 1, 2, 3…

Пряма уявляє собою сукупність всіх послідовних положень точки, яка рухається у просторі. Позначається маленькими літерами латинського алфавіту a, b, c, d… Виключення складають лінії рівня: h – горизонталь, f – фронталь, p – профільна пряма.

Поверхня (площина) уявляє собою сукупність послідовних положень лінії, яка рухається у просторі. Позначаються поверхні великими літерами грецького алфавіту: Г, Δ, Θ, Ψ, Ω, Σ, Τ, Λ,...Для площин проекцій прийняті такі позначення : П₁ – горизонтальна площина проекцій; П₂ – фронтальна площина проекцій; П₃ – профільна площина проекцій.

Центральні проекції

Розглянемо схему апарату проекціювання.

ТочкаS, з якої виходять проекціювальні промені, називається центром проекцій або полюсом. Площина П₁, на яку проекціюється геометричний образ, називається площиною проекцій. Площина П₁ і точка S формують апарат центральної проекції. Точку А, яку проекціюють, називають оригіналом. Її проекцію на площину П₁ позначають А₁.

Для того, щоб отримати проекцію довільного геометричного образу необхідно провести проекціювальні промені із центру проекційS через всі точки даного геометричного образу.

Візьмемо у просторі криву l. Вона уявляє собою сукупність послідовних положень точок. Спроекціюємо кожну точку цієї кривої на площину П₁. Отримаємо криву l₁, яка є проекцією кривої l на площину П₁.

Оскільки пучок проекціювальних променів виходить з однієї точки, то таке проекціювання називається центральним, а отримані проекції – центральними.

Такий спосіб проекціювання знайшов своє використання в архітектурі при побудові перспектив зданій та різних технічних споруд; а також в образотворчому мистецтві.

Паралельні проекції

Якщо центр проекціювання віддалити у нескінченність, то проекціювальні промені стануть взаємно паралельними (рис. 1.3). Замість центра проекцій S задають напрям проекціювання s.

Такий спосіб проекціювання, коли проекціювальні промені паралельні називаєтьсяпаралельним проекціюванням. Площина проекцій П₁ і напрям s утворюють апарат паралельної проекції.

Якщо напрям проекціювання не є перпендикулярним до площини проекцій, то проекціювання називається косокутним.

Якщо проекціювальні промені перпендикулярні до площини проекцій, то проекціювання називається прямокутнимабоортогональним.

Ортогональне проекціювання має безперечну перевагу перед центральним або паралельним косокутним проекціюванням, воно знаходить широке застосування в технічному кресленні.

Оборотність креслення. Комплексне креслення

Властивость креслення давати однозначне уявлення про геометричний образ називається оборотністю креслення.

Уявимо собі проекціюm₁ будь-якої кривої лінії. Спробуємо відтворити геометричний образ, зображений на П₁. Для цього необхідно з кожної точки кривої провести проекціювальні промені. Але ми не можемо отримати однозначне рішення, оскільки в кожну точку на площині проекціюється множина точок, що належать одному й тому ж проекціювальному променю.

Тому за однією проекцією геометричної фігури, що складається з множини точок, не можна визначити її форму та положення в просторі. Подібне креслення називають необоротним.

Для забезпечення оборотності креслення застосовують сумісно дві взаємно перпендикулярні площини проекцій.Першу з них П₁називаютьгоризонтальною площиною проекцій, другу П₂–фронтальною площиною проекцій(рис. 1.5,а). Площину П₂розташовують вертикально. Лінію0хперетину площин П₁і П₂називаютьвіссю проекцій.

Спроекціюємо деяку точку Аза напрямамиs₁іs₂, перпендикулярними до площин проекцій П₁та П₂. Одержимо проекціїА₁таА₂, які називаються, відповідно,горизонтальноютафронтальною проекціями точкиА.

Для отримання плоского зображення повернемо площину П₁навколо осі0хдо її суміщення з площиною П₂.

Креслення, яке складається з кількох (мінімум двох) зв’язаних між собою проекцій геометричної фігури, називаєтьсякомплексним. абоепюром Монжа.

Звичайно на комплексному кресленні межі площин проекцій та осі не показують. Вертикальна лінія А₁А₂називається вертикальноюлінією сполучення.

Таке креслення є оберненим, тому що можна однозначно уявити собі геометричний образ.

Ортогональна система трьох площин проекцій

Але бувають випадки, коли двох проекцій недостатньо для уявлення форми предмету. Тоді введемо третю площину проекцій П₃, яка перпендикулярна до двох перших та називається профільною площиною проекцій.

Спроекціюємо геометричний образ на три площини проекцій (рис. 1.7).

Позначими відповідні осі координат: Оx – вісь абсцис, Оy – вісь ординат, а Оz – вісь аплікат.

Для отримання плоского креслення профільну площину проекцій П₃ разом із зображенням обертають навколо осі 0z у напрямі стрілки до суміщення з площиною П₂, а площину проекцій П₁ обертають навколо осі 0x. Отримаємо трьохкартинне комплексне креслення, яке є оборотним (рис.1.8).

Фронтальна та профільна проекції кожної точки (наприклад, точки А) знаходяться на горизонтальній лінії сполучення, а фронтальна та горизонтальна – на вертикальній лінії сполучення.

Точка на комплексному кресленні

Розглянемо наочне зображення точки А та її проекцій.

Розріжемо умовно вздовж осі Оy та повернемо П₁ та П₃ до суміщення з П₂. Отримаємо трьохкартинне комплексне креслення точки А.

Положення точки у просторі задають її координатами: x – абсциса, y – ордината, z – апліката.

Координата х показує відстань від точки до площини проекцій П₃; координата y показує відстань від точки до площини проекцій П₂ ; координата z показує відстань від точки до площини проекцій П₁.

Побудова проекцій точки за відомими її координатами А (x,y,z) показано на рис.2.4 б.

Лекція 2

ОРТОГОНАЛЬНІ ПРОЕКЦІЇ ПРЯМОЇ

Пряму в нарисній геометрії розглядають як лінію, що утворюється під час прямолінійного руху точки у просторі; пряма в просторі необмежена. Її проекції в загальному випадку прямі. Обмежену частину прямої називають відрізком. Ортогональна проекція прямої лінії на площину проекцій є пряма, за винятком випадку, коли пряма перпендикулярна до площини проекцій.

Прямі загального положення

Пряма, яка не паралельна або не перпендикулярна до жодної з площин проекцій, називається прямою загального положення. Проекції такої прямої нахилені до всіх осей проекцій.

Відрізок прямої загального положення проекціюється на всі площини проекцій у вигляді відрізків, кожна з проекцій якого має довжину меншу ніж сам відрізок. Чим більше кут нахилу відрізка до площини, тим коротша проекція цього відрізка.

На комплексному кресленні пряма може бути задана: а) своїми проекціями; б) проекціями відрізка; в) проекціями двох її точок.

Визначення натуральної величини відрізка загального положення

Натуральна величинавідрізка загального положення дорівнюєгіпотенузіпрямокутного трикутника, катетами якого є одна з проекцій відрізка та різниця відстаней кінців другої проекції відрізка до осі проекцій.

Гострий кут між проекцією відрізка та його натуральною величиною є натуральна величина кута нахилу відрізка до площини проекцій.

На рис.3.3,а показано відрізок АВ і дві площини проекцій П₁ та П₂. Якщо з точки А провести відрізок АС паралельно його горизонтальній проекції А₁В₁, то утвориться прямокутний трикутник АВС. Гіпотенуза цього трикутника – це відрізок АВ.

Побудуємо в площині П₁трикутникА₁В₁В₀, рівний трикутникуАВС. В точціВ₁катетаА₁В₁проводимо перпендикулярВ₀В₁за довжиною рівний відрізкуВС, який відповідає різниці координатzточокВіА. Із рівності трикутниківА₁В₁В₀іАВС випливає, що гіпотенузаА₁В₀трикутникаА₁В₁В₀дорівнює натуральній величині відрізкаАВпрямої загального положення.

Звертаючись до комплексного креслення (рис.3.3,б), бачимо, що всі необхідні елементи для розв’язання задачі визначення натуральної величини відрізка прямої загального положення мають місце. Дійсно, є катетА₁В₁(горизонтальна проекція відрізкаАВ) і відома довжина другого катетаВ₁В₀ (перевищення Δz одного кінця відрізка над іншим). Виконавши необхідні побудови, отримуємо натуральну величину відрізкаАВпрямої загального положення безпосередньо на комплексному кресленні.

Дивлячись на рис. 3.3,а, відмічаємо, що кутміж гіпотенузоюА₁В₀і катетом-проекцієюА₁В₁дорівнює куту нахилу відрізкаАВ до горизонтальної площини проекцій П₁. Отже, в цій задачі одночасно визначені натуральна величина відрізка та кут його нахилу до площин проекцій П₁.

Для знаходження кута нахилу прямої до фронтальної площини проекцій, тобто кута , відповідну побудову треба виконати на площині проекцій П₂ (рис. 3.3,в). Відзначимо, що при побудові прямокутного трикутника у площині П₂застосовано різницю координатукінців відрізка.

Розглянутий спосіб визначення натуральної величини відрізка прямої називають способом прямокутного трикутника.