Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

02_Metodichka_MMSA

.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
863.74 Кб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНЫЙ УНІВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Мельник С.А., Вайсруб Н.В.

Методичні поради до вивчення курсу

“Математичне моделювання

і системний аналіз”

Донецьк 2006

УДК 519.876.5 (076)

ББК В122р30-21

Рецензент:

Ответственный за выпуск:

Мышко С.В. – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и теории систем управления математического фа­куль­тета Донецкого национального университета.

Мельник С. А., Вайсруб Н. В.

Математическое моделирование и системный анализ: методические указания – Донецк: ДонНУ, 2006. – 60 с.

В пособии рассмотрены основные разделы курса «Математическое моделирование и системный анализ», включающие как теоретические положения, так и примеры решения практических задач.

Для студентов, аспирантов и преподавателей специальностей «Прикладная математика» и «Информатика».

 Донецкий национальный университет, 2006

 Мельник С. А.

 Вайсруб Н. В.

ВСТУП

Фахівець з прикладної математики у своїй професійній діяльності за допомогою сучасної математичної теорії вирішує проблеми, які виникають в економіці, фінансах, біології. Без застосування сучасних математичних методів їх розв’язати неможливо. Застосуванню математичних методів передує етап формулювання математичної постановки задачі, від якого залежить успіх при розв’язанні проблеми.

Здійснити таку постановку може лише фахівець, який одночасно володіє методами системного аналізу та математичним апаратом, що забезпечує можливість розв’язання проблеми.

Метою курсу “Математичне моделювання та системний аналіз” є навчити студентів спеціальностей “Прикладна математика” та “Інформатика” основним принципам і методам системного аналізу та математичного моделювання, продемонструвати на прикладах їхню дієвість та ефективність.

Тема 1. Математичне моделювання

як метод дослідження

Під час вивчення цієї теми особливу увагу слід звернути на визначення поняття “математична модель”. При практичних дослідженнях прикладних задач треба чітко формулювати емпіричну постановку проблеми та ретельно формулювати математичну постановку задачі. Строга та обґрунтована побудова переліку вихідних даних та чітке математичне формування мети дослідження є запорукою успішного розв’язання проблеми. З головними етапами моделювання, їхнім змістом та найбільш суттєвими рисами можна познайомитись, наприклад, у книзі [5, гл.1]. До того ж слід звернути увагу на те, що запропонована там схема виконання досліджень не є директивою, а є лише рекомендацією. Для закріплення матеріалу теми пропонуємо звернутися до [6, гл.1, п.1.2].

Визначимо зміст терміну “модель”. Припустимо, що дослідник вивчає поведінку деякого природного об’єкта А (механічної системи, фінансового інструмента, біологічної популяції і таке інше). Для цього він створює інший об’єкт М (математичний, фізичний, комп'ютерний).

Означення. Будемо говорити, що об’єкт М є моделлю об’єкта А відносно сукупності умов С, якщо М імітує А з деякою точністю і задовольняє умови С.

Приклад 1.1. При зберіганні пального важливо знати площу поверхні випаровування (так зване дзеркало випаровування). Якщо резервуар має форму половинки циліндра, то на практиці використовують таку наближену формулу: Тут S – площа дзеркала випаровування, d – діаметр резервуара, l – довжина резервуара. Очевидно, що ця формула не враховує ступінь заповнення резервуара. В цьому прикладі об’єктом А є дійсне значення площі дзеркала випаровування, об’єкт М – наведена вище математична формула. Сукупність умов С може бути, наприклад, такою:

1) усі обчислення повинні виконуватись тільки за допомогою арифметичних дій;

2) кількість дій не повинна перевищувати трьох.

Розрізняють декілька класів моделей: фізичні, математичні, біологічні, економічні, фінансові та інші. В нашому курсі особливе місце посідають математичні моделі. Укажемо головні типи математичних моделей.

Дескриптивні – це моделі, які описують поведінку досліджуваного об’єкта.

Оптимізаційні – це моделі, які спрямовані на управління об’єктом із метою привести його характеристики до оптимального стану.

Ігрові – це моделі, які є алгоритмами прийняття рішень різними сторонами конфліктної ситуації в умовах, коли інтереси сторін є протидіючими.

Імітаційні – це моделі, в яких процес функціонування досліджуваного об’єкта задається деяким алгоритмом побудови реалізації еволюції цього об’єкта.

Математичні моделі можуть також поділятися на такі види: детерміновані або стохастичні; неперервні або дискретні; лінійні або нелінійні.

У ролі математичної моделі можуть виступати: число, числовий вектор, функція, система рівнянь або нерівностей, математичне поняття, геометричний образ.

Під час розробки математичної моделі необхідно дотримуватись принципу системності. Принцип системності полягає в тому, що модель М повинна адекватно відображати найбільш суттєві риси досліджуваного об'єкта А, всебічно характеризувати його поведінку, залежати від параметрів, які можна виміряти на практиці, мати задовільну точність і бути здійсненною на практиці.

Типовими (але не обов’язковими) є такі етапи моделювання.

1. Формулювання первинної емпіричної проблеми.

2. Постановка задачі.

3. Перевірка задачі на коректність.

4. Побудова математичної моделі.

5. Перевірка моделі на адекватність.

6. Вибір методу розв’язування задачі.

7. Розв’язання задачі.

8. Тлумачення одержаних результатів мовою первинної проблеми.

Тема 2. Основні елементарні функції

як матеметичні моделі

Однією з головних форм математичних моделей є функції і, зокрема, елементарні функції. При використанні елементарних функцій у ролі моделей, звичайно, важливу роль відіграє їхня залежність від головних аргументів. Але для побудови якісних високоадекватних і коректних моделей не меншу увагу слід приділяти залежності функцій від параметрів, які їх визначають. Адже саме за рахунок зміни параметрів ми маємо можливість впливати на ступінь адекватності та точності моделей. Для поглибленого вивчення цієї теми пропонуємо [3, гл.1.2]. Численні приклади використання властивостей елементарних функцій як представників параметричних сімей можна знайти в [2] і [6]. Особливу увагу слід приділити теоремам про точне відновлення функціональних зв’язків та про наближене відновлення функцій за неточними даними. Це обумовлено тим, що метод найменших квадратів має велике загальнонаукове значення, оскільки він є провідним методом побудови моделей на основі статистичних даних. З теорією цього методу можна ознайомитись в [3, гл.16].

Основними елементарними функціями будемо вважати такі: лінійні, поліноміальні, дробово-лінійні, експоненціальні, логарифмічні, три­го­но­мет­рич­ні та їхні суперпозиції. При побудові математичних моделей часто виникає ситуація, коли дослідник заздалегідь знає принциповий вигляд функції, яку необхідно побудувати, але не знає якими є значення параметрів, що визначають точний вид функції. При цьому можуть виникати дві ситуації: дослідник може точно вимірювати значення функції та її аргументів, або ці величини він може вимірювати лише наближено. В першому випадку дослідникові допоможуть теореми про точне відновлення функцій, у другому – метод найменших квадратів.

Наведемо теореми про точне відновлення деяких елементарних функцій.

Теорема 2.1. Лінійну функцію можна точно відновити, якщо точно відомі її значення у будь-яких двох точках.

Теорема 2.2. Поліноміальну функцію можна точно відновити, якщо точно відомі її значення у будь-яких точках.

Теорема 2.3. Дробово-лінійну функцію можна точно відновити, якщо точно відомі її значення у будь-яких трьох точках.

Теорема 2.4. Експоненціальну функцію можна точно відновити, якщо точно відомі її значення у будь-яких двох точках.

Зауваження. Серед тригонометричних функцій головну увагу будемо приділяти функції . Це пояснюється тим, що інші тригонометричні функції можуть бути виражені через цю функцію. Для синусоїдальної функції теорема, аналогічна до наведених вище, не має місця. Для точного відновлення цієї функції необхідно вимірювати амплітуду , частоту та фазу .

Наведені теореми вимагають точного знання значень функції в окремих точках. На практиці це має місце далеко не завжди. В більшості випадків дослідник може лише наближено вимірювати значення функції та її аргументів. У цьому випадку він може скористатись методом найменших квадратів (МНК).

Ідея методу найменших квадратів полягає в наступному. Виходячи з принципів системного аналізу, дослідник висуває припущення щодо виду залежності змінної від змінної . Далі дослідник вимірює багато разів значення змінної та відповідні значення змінної . Таким чином, утворюється набір експериментальних даних . На завешення серед усіх можливих кривих обирається така, що найкраще вписується в експериментальні дані.

Продемонструємо це на прикладі лінійної моделі . В ролі міри, що вимірюватиме якість вписування прямої, оберемо функцію . Доберемо параметри моделі і таким чином, щоб ця функція набула найменшого значення. Критичні точки цієї функції можна знайти із системи

На практиці, як правило, визначник цієї системи не дорівнює нулю, отже система має єдиний розв’язок:

.

Ці формули називають МНК-оцінками коефіцієнтів одновимірної лінійної моделі. Точність побудованої найкращої моделі характеризують наступними показниками.

Абсолютна похибка моделі: .

Відносна похибка моделі: .

Коефіцієнт детермінації моделі: .

Тема 3. Похідна та інтеграл як моделі фізичних характеристик

Загальновідомими є геометричний та фізичний зміст похідної та інтеграла. Оскільки з цього боку похідна та інтеграл детально вивчені навіть у шкільних підручниках, в нашому курсі ми більшу увагу приділяємо особливостям застосування похідної у дослідженні економічних моделей. В математичній економіці розвинуто спеціальне обчислення еластичного аналізу. Еластичність має чіткий економічний зміст і є потужним інструментом економічного аналізу.

З теорію темпового та еластичного аналізу можна ознайомитись в [3, гл.5]. Найбільш ретельно слід розібрати матеріал § 5.3.3, 5.3.4, 5.3.5.

Означення. Еластичністю функції в точці називають величину .

Зауваження. Еластичність є безрозмірною величиною. Множину тих , для яких , називають зоною нееластичності функції. Множину тих , для яких , називають зоною еластичності функції.

Властивості еластичності

1. .

2. , якщо існує функція, обернена до функції .

3. .

4. .

5. .

Еластичність елементарних функцій

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , .

Економічний зміст еластичності

Еластичність приблизно вказує, на скільки відсотків збільшиться чи зменшиться значення функції, якщо значення її аргументу збільшити на один відсоток.

Тема 4. Дескриптивні моделі

Дескриптивні моделі є найбільш поширеним класом моделей. Особливості розробки цих моделей яскраво демонструються на таких прикладах, як найпростіша модель динамічної рівноваги, павутиноподібна модель, модель “доход = інвестиції + споживання”, різноманітні моделі споживчого ринку, найпростіші моделі фінансової математики. Перша з них демонструє, яке значення має вибір дискретного або неперервного часу. Більш складні динамічні моделі вимагають використання апарату диференціальних рівнянь. Для вивчення найпростіших моделей фінансової математики вистачить знань елементарної математики. Змістовні, складні та реальні моделі докладно викладені у збірці [1], глави 3, 8, 11, 15 якої містять математично строге вивчення прикладних проблем у галузі динаміки, біології, економіки тощо. Основи економічної динаміки та її моделювання викладені в [3, гл.12].

Найпростіші моделі фінансової математики виникають при описуванні процесів накопичення капіталу або кредитування. Одну з найсуттєвіших частин цієї теорії становить відсоткове обчислення. Відсотки бувають прості та складні.

4.1. Основна задача накопичування

Постановка задачі. Вкладник вирішив покласти в банк на депозитний рахунок стартовий капітал на певний термін. Банк пропонує приріст капіталу за рік із проміжним нарахуванням відсотків через певні проміжки часу. Необхідно обчислити, яка сума буде накопичена на рахунку після завершення терміну зберігання грошей.

Якщо при кожному черговому нарахуванні відсотків базовою сумою для обчислення є початковий капітал , то нарахування здійснюється за схемою простих відсотків.

Якщо ж при кожному наступному нарахуванні відсотків базовою сумою для обчислення є капітал, що накопичився на момент нарахування, то нарахування проводиться за схемою складних відсотків.

У випадку, коли проміжки часу між нарахуваннями відсотків мають однакову тривалість, величина накопиченого капіталу обчислюється за такими формулами.

– у випадку простих відсотків,

– у випадку складних відсотків.

Тут т – кількість періодів нарахування відсотків, що припадають на рік, п – тривалість накопичення капіталу.

Зауваження. Величина накопиченого капіталу, як функція від тривалості накопичення п, є лінійною функцією у випадку простих відсотків і показниковою функцією у випадку складних відсотків.

Властивості моделі простих відсотків

  1. Розмір накопиченого капіталу є прямо пропорційним до стартового капіталу.

  2. Об’єднання чи розділення стартового капіталу при незмінних умовах накопичення не впливає на підсумковий результат.

  3. Розмір накопиченого капіталу є лінійною монотонно зростаючою функцією від річної відсоткової ставки р.

  4. Розмір накопиченого капіталу є дробово-лінійною монотонно спадаючою функцією від кількості етапів нарахування відсотків т.

  5. Швидкість зростання накопиченого капіталу з плином часу є сталою і дорівнює .

  6. Числа утворюють арифметичну прогресію з різницею .

  7. Збільшення чи зменшення річної кількості етапів нарахування відсотків не змінює розміру капіталу, що буде накопичений за підсумками року.

Властивості моделі складних відсотків

  1. Розмір накопиченого капіталу є прямо пропорційним до стартового капіталу.

  2. Об’єднання чи розділення стартового капіталу при незмінних умовах накопичення не впливає на підсумковий результат.

  3. Розмір накопиченого капіталу є степеневою функцією від річної відсоткової ставки р.

  4. Темп приросту накопиченого капіталу з плином часу є сталою і дорівнює .

  5. Числа утворюють геометричну прогресію із знаменником .

  6. Якщо при проміжному нарахуванні відсотків застосовують ставку , то збільшення чи зменшення річної кількості етапів нарахування відсотків не змінює розміру капіталу, що буде накопичений за підсумками року.

Відносно реального застосування розглянутих моделей слід зробити декілька зауважень. При нарахуванні за схемою складних відсотків у банківській практиці склалися два принципи ведення розрахунків: за номінальними ставками та за ефективними ставками.

Номінальною відсотковою ставкою за один етап нарахування називають число . Якщо на окремих етапах нарахування використовувати номінальну ставку, то річна ставка буде становити рівно p%. Але на практиці використовують так звану ефективну відсоткову ставку за один етап нарахування. Вона дорівнює . При застосуванні на окремих етапах ефективної відсоткової ставки за підсумками року буде отримана річна ефективна відсоткова ставка, яка є більшою за номінальну ставку р.

4.2. Накопичувальна фінансова рента

Постановка задачі. Фінансова операція полягає в тому, що вкладник, зберігаючи кошти на депозитному рахунку, регулярно поповнює рахунок додатковими внесками через однакові проміжки часу. Нарахування відсотків відбувається т разів на рік. Внески вносяться на рахунок через кожні l проміжків нарахування відсотків. Таку фінансову операцію називають накопичувальною фінансовою рентою. Головним питанням накопичувальної ренти є розмір коштів, накопичених на рахунку після п-кратного поповнення рахунку.

Ця задача може розглядатись як для схеми простих, так і для схеми складних відсотків. Якщо застосовується схема простих відсотків, то накопичений капітал дорівнюватиме

.

Якщо застосовується схема складних відсотків, то накопичений капітал дорівнюватиме

.

Протилежною, в певному сенсі, до задачі накопичувальної ренти є задача рантьє.

4.3. Задача рантьє

Постановка задачі. Вкладник кладе в банк на депозитний рахунок стартовий капітал . Банк пропонує нараховувати відсотки т разів на рік за річною ставкою p%. Через кожні l періодів нарахування відсотків вкладник має право зняти з рахунку фіксовану суму R. Після цього депозитна угода поновлюється на попередніх умовах, а новим стартовим капіталом вважається залишок коштів на рахунку. Головними питаннями задачі рантьє є такі.

1. При якому R процес триватиме нескінченно довго?

2. Як довго триватиме процес при заданому R ?

Якщо застосовується схема простих відсотків, то накопичений капітал дорівнюватиме

.

За умови процес триватиме нескінченно довго. У про­ти­леж­но­му випадку процес завершиться в той момент, коли величина набуде значення 0 або стане меншою за .

Якщо застосовується схема складних відсотків, то накопичений капітал дорівнюватиме

.

За умови процес триватиме нескінченно довго. У протилежному випадку процес завершиться в той момент, коли величина набуде значення 0 або стане меншою за .

У розглянутих у цьому розділі задачах дескриптивними моделями фінансових операцій є раціональні або показникові функції часу.

4.4. Павутиноподібна модель товарного ринку

Постановка задачі. Продавець товару планує реалізувати свій товар на деякому ринку. Провівши маркетингові дослідження, він з’ясував, що попит на його товар залежить від ціни , що склалась на момент часу п, згідно з таким законом:

де .

Оскільки виготовлення товару та його доставка на ринок вимагають певного часу, то обсяг пропозиції товару, який може запропонувати продавець в момент часу п, визначається ціною, що склалась у попередній момент часу , тобто в момент маркетингового дослідження. Таким чином, обсяг пропозиції товару залежить від ціни згідно з таким законом:

де .

Необхідно з’ясувати, як залежить поведінка ціни від сполучення парметрів А, В, С, Е та початкововї ціни .

Для побудови математичної моделі, що описує динаміку ціни товару, скористаємось законом рівноваги попиту та пропозиції. Згідно з цим законом на ринку встановлюється така ціна, яка забезпечує рівність , тобто . Таким чином, математичною моделлю процесу коливання ціни на означеному ринку є наведене рекурентне співвідношення. Розв'язком цього співвідношення є функція

.

Одержана формула дозволяє дослідити перспективу розвитку ціни. Якщо E<B, то при будь-кому ціна з плином часу наближатиметься до значення . Отже, в цьому випадку ціна на ринку стабілізується. Якщо обрати , то ціна взагалі не буде змінюватись і буде сталою. Якщо E>B, то ціна не має границі й ринок розбалансовується. В цьому випадку рано чи пізно настане такий момент часу, що пропозиція значно перевищить попит і продавець не зможе продати наступну партію товару. Випадок дослідіть самостійно.

Розглянута модель є динамічною дескриптивною моделлю економічного процесу з дискретним часом. У цій моделі дискретність часу об’єктивно обумовлена законами виробництва та постачання.

4.5. Динамічна модель «доход = споживання + інвестиції»

Постановка задачі. Розглядається процес функціонування деякої фірми. На момент часу t фірма одержала доход величиною , який розподіляється на інвестиції у виробництво та споживчу частину . Для забезпечення поширеного відновлення виробництва необхідно, щоб між інвестиціями та доходом виконувалась рівність , де В – коефіцієнт капіталовіддачі виробництва. Необхідно з'ясувати, які фінансові перспективи матиме фірма при різних законах зміни споживання .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]