пособие мат.моделирование

В случае |х < 0 действительных точек покоя нет (рис. 41).

Таким	образом,	для	эквивалентного	уравнения
г|' = ±г| 2 + р,	р е R при	р = 0 имеем	бифуркацию (букв,	«раздвое­

ние») типа складка [3, 7].

Если мы посмотрим на бифуркационную диаграмму для нашей исходной задачи (см. рис. 37), мы видим, что Р = Р* и Р = Р2 — точки бифуркации для нашей системы, при переходе через кото­ рые качественно меняется структура решения, количество точек покоя удваивается или исчезает.

4.3.Модель генетического триггера

4.3.1.Генетический код

Вживой клетке непрерывно идут разнообразные биохимиче­ ские процессы, среди которых один из важнейших — синтез бел­ ков, основного «строительного материала» живых организмов. Белки выполняют множество функций в клетке. Они непрерывно создаются и распадаются в ней. Синтез белка является очень слож­ ным процессом. Естественно возникает вопрос об исследовании механизма, управляющего по определенной программе этим син­ тезом, заложенного в клетке и передаваемого каким-то образом из поколения в поколение от родительских организмов к потомкам.

Носителями наследственной информации в клетке являются молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК). С химической точки зрения ДНК — это длинная полимерная молекула, состоя­ щая из повторяющихся блоков, нуклеотидов. Условно молекулы ДНК можно представить как последовательность символов четы­ рех типов, скажем ААГЦАТЦГ (обозначения входящих в ДНК оснований: А — аденин, Г — гуанин, Т — тимин, Ц — цитозин).

Сдругой стороны, белковые молекулы представляют собой цепочки разной длины, составленные из аминокислот 2 0 раз­ личных типов. Процесс синтеза каждой белковой молекулы

задается молекулой ДНК, т. е. последовательность чередования 2 0 аминокислот в белке определяется чередованием четырех

1 2 2

оснований в ДНК. Ясно, что аминокислота не может опреде­ ляться одним основанием, поскольку аминокислот 2 0 , а оснований только 4. Нельзя кодировать аминокислоты и парами оснований, так как число таких пар всего 16. Таким образом, каждая амино­ кислота должна кодироваться по крайней мере тройкой оснований (триплетом), число которых равно 64. Действительно, в 60-х гг. прошлого столетия было показано, что последовательность ами­ нокислот в белке определяется неперекрывающимися триплетами оснований в ДНК, т. е. код действительно оказался трехбуквенным.

Ф. Крик с соавторами предположили четыре свойства генети­ ческого кода:

1 )три азотистых основания (триплет) кодируют одну аминокислоту;

2 ) триплеты генетического кода не перекрываются;

3)последовательности триплетов считываются с опреде­ ленной начальной точки, знаки препинания внутри кодирующей последовательности отсутствуют;

4)генетический код вырожден — одна аминокислота может быть закодирована разными триплетами.

За расшифровку генетического кода были получены Нобелев­ ские премии по физиологии и медицине:

-1962 — Ф. Крик, Д. Уотсон, М. Уилкинс «за открытия, каса­ ющиеся молекулярной структуры нуклеиновых кислот и их значения для передачи информации в живой материи»;

-1968 — Р. Холли, X. Корана, М. Ниренберг «за расшифровку генетического кода и его роли в синтезе белков».

Наряду с самим генетическим кодом большой интерес пред­ ставляет и выяснение механизма его реализации. Каким именно образом информация, «записанная» в молекуле ДНК, считыва­ ется с нее и используется для построения соответствующей бел­ ковой молекулы? В общих чертах этот процесс выглядит следу­ ющим образом. На молекуле ДНК синтезируется одноцепочечная молекула рибонуклеиновой кислоты (РНК), которую называют информационной, или матричной РНК (т-РНК). Эта т-РНК попадает в рибосому — особую внутриклеточную частицу, где

и происходит синтез белка. Отдельные аминокислоты, имеющиеся в цитоплазме, присоединяются к молекулам особой, так называ­ емой транспортной РНК, с помощью которой они доставляются к рибосоме и используются там как «строительный материал».

4.3.2.Управление синтезом белка

вбактериальных клетках

Из большого числа различных внутриклеточных биохимиче­ ских процессов довольно детально исследован процесс синтеза белка в бактериальных клетках. Этот синтез идет под контролем генов — структурных единиц хромосом. В соответствии с инфор­ мацией, записанной в данном гене, синтезируется соответству­ ющая белковая цепь, например, образуются структурные белки, которые входят в состав клеточных органелл, или синтезируются ферменты — катализаторы внутриклеточных химических реак­ ций. При этом активность соответствующих генов может регули­ роваться в зависимости от окружающих условий.

Детальный анализ этого процесса регуляции был выполнен Жакобом и Моно на примере ферментов кишечной палочки (бакте­ рия, обитающая в кишечнике), переваривающих молочный сахар.

Жакоб и Моно высказали гипотезу, что в клетке существует два типа генов: структурные гены, которые заведуют синтезом специфических белков, и управляющие гены, контролирующие активность структурных генов. Таким образом, система регуляции синтеза белка представляет иерархическую систему, состоящую по крайней мере из двух уровней: структурных генов и управляющих генов. Управляющие гены, в свою очередь, делятся на два типа. Гены первого типа (гены-опероны) расположены вблизи структур­ ных генов и играют роль выключателей. При одном положении гена-оперона структурный ген ведет синтез белка, а при другом синтез белка блокируется. Управляющие гены второго типа (генырегуляторы) включают или выключают ген-оперон. Это происхо­ дит так. Под действием гена-регулятора синтезируется особый белок — репрессор. Этот белок переводит ген-оперон в состояние «выключено».

4.3.3. Генетический триггер Жакоба и Моно

Рассмотрим модель биохимической регуляции белкового син­ теза, предложенную Жакобом и Моно в 1962 г. [50] и математиче­ ски разработанную Д. С. Чернавским в 1967 г. Эта модель показы­ вает принципиальные возможности триггерных систем [33]. Она легла в основу целой серии более подробных и конкретных моде­ лей. Подробный вывод модели описан в монографии [23]. Схема взаимной регуляции двух систем синтеза ферментов изображена на рис. 42.

Рис. 42. Схема синтеза двух ферментов по Жакобу и Моно. /и-РНК ответственна за синтез белка Е. Транскрипция /w-РНК не происходит, пока оперон О не свяжется с РНК-полимеразой. Этому может помешать репрессор г, который синтезируется геном-регулятором Reg. Для того чтобы активизировать репрессор rfl, необходим корепрессор Р, который

является продуктом аналогичного цикла синтеза другого белка [27]

Процесс транскрипции, т. е. синтез молекул т-РНК, ответст­ венных за синтез белка Е и несущих информацию о его структуре, происходит на комплиментарном участке гена — структурном гене G (рис. 42). Перед G имеется участок ДНК, называемый опероном (оперативный ген) О, он ответствен за начало транскрип­ ции. Оперон взаимодействует с ферментом — РНК-полимеразой,

которая «садится» на оперон и приобретает конформацию, необхо­ димую для дальнейшего продвижения вдоль цепи ДНК и синтеза цепочки m-РНК. Одна и та же молекула РНК-полимеразы может, взаимодействуя с различными участками цепи ДНК, способст­ вовать транскрипции разных последовательностей РНК. С дру­ гой стороны, оперон может взаимодействовать с другими моле­ кулами, репрессорами (г), — белками, ингибирующими посадку РНК-полимеразы на оперон и тем самым блокирующими тран­ скрипцию. Для того чтобы репрессор играл регуляторную роль, он должен специфически подходить определенному участку оперона, иначе он блокировал бы весь белковый синтез.

Репрессор — белковая молекула, для ее синтеза требуется соб­ ственный ген-регулятор — R e g на схеме. Активность репрессоров, т. е. их способность связываться с опероном, зависит от наличия

вплазме клетки некоторых низкомолекулярных соединений — корепрессоров или индукторов, которые, соединяясь с репрессором, либо активируют его и тем самым блокируют синтез белка Е, либо инактивируют репрессор и тем самым индуцируют синтез белка Е. Другими словами, индуктор служит для своего рода сбора информации о целесообразности синтеза белка Е. Поэтому взаи­ модействие репрессора с низкомолекулярными веществами может происходить вдали от участков ДНК и отражает состав веществ

вплазме. Несмотря на кажущуюся перегруженность схемы, она оправданна и позволяет осуществлять регулируемый синтез бел­

ков в зависимости от состава низкомолекулярных соединений в плазме, которые не могли бы, в силу своей простоты, сами взаи­ модействовать с достаточно длинными участками ДНК, содержа­ щими информацию о специфичности того или иного оперона.

Переключения возможны в системе, содержащей по крайней мере две возможные цепочки синтеза белка (рис. 42). В такой модели ген-регулятор R eg -i каждой системы синтезирует неак­ тивный репрессор г. Этот репрессор, соединяясь с продуктом про­ тивоположной системы Р , выступающим в роли корепрессора для первой системы, образует активный комплекс rj, который, обра­ тимо реагируя с опероном О., блокирует транскрипцию т-РНК

и синтез белка Е.. Таким образом, продукт первой системы Р хявля­ ется корепрессором второй системы и, следовательно, ингибито­ ром реакции образования продукта Pv а продукт второй системы Р2— корепрессором первой системы и ингибитором образования продукта Р у При этом в процессе корепрессии могут принимать участие одна, две и более молекул продукта.

Очевидно, что при таком характере взаимодействий при интен­ сивной работе первой системы вторая заблокирована, и наоборот. Простейшая система уравнений, описывающая такой тип взаимо­ действий, после обезразмеривания имеет вид

dxy	А.
~ d t ~ \ + хп2		~ Х”
л	/	(117)
ах1	А1

~ d t ~ \ + х пх ~ *2'

Здесь x v х2 — безразмерные концентрации продуктов Рх2, параметры А х, А2 выражаются через параметры ферментсубстратных реакций с участием соответствующихсинтезируемых белков Ег Будемдля простоты считать, что этиреакции в отсут­ ствие ингибиторов происходят с постоянными скоростями. Пока­ затель степени п говорит о том, сколько молекул корепрессора (неконкурентного ингибитора) необходимо для активации репрессора и его взаимодействия с опероном для блокировки синтеза m-РНК. Видно, что в этой системе х у х2 выступают в качестве неконкурентных ингибиторов и (как было показано ранее в раз­ деле 3) влияют на максимальную скорость образования продукта

впротивоположной цепи.

Втом случае когда обе системы синтеза предполагаются иден­ тичными, параметры А хи А2равны и модель симметрична.

4.3.4. Кооперативность и триггерные свойства модели Жакоба — Моно

Пусть А х=А2 = А. Рассмотрим поведение системы при разных значениях показателя п.

При п = 1 система имеет одно симметричное стационарное решение 3cj = х2 = х, определяемое как единственный положитель­ ный корень системы уравнений для стационарных концентраций:

х 2 + х - А = 0.

Главные изоклины и направление фазовых траекторий системы показаны на рис. 43. Видно, что система имеет одну точку покоя — устойчивый узел, поэтому такая система не может рабо­ тать как триггер.

Рис. 43. Фазовый портрет системы (117) при п = 1 (слева) и п = 2 (справа):

(а) при п = 1 система имеет единственное устойчивое стационарное состояние; (б) при п = 2 в системе либо одно стационарное состояние (при А < 2), либо три стационарных состояния (при А > 2), два из которых (а и с) — устойчивые узлы, а третье (Ъ) — седло.

Иллюстрации заимствованы из монографии [20]

При п = 2 число стационарных состояний равно числу поло­

жительных вещественных корней уравнения:
А	(П 8 )
- J = 0 .

\ + Az /{\ +х 2)г

При А <2 имеется одно стационарное решение х = х < 1, и оно устойчиво — типа устойчивый узел. При А > 2 появляются три стационарных состояния (рис. 43, б), система становится триг­ герной. Величина А = 2 — бифуркационное значение параметра,

AW-Р Н К

при котором в системе первого приближения появляется нулевое собственное число, а при переходе через это значение параме­ тра устойчивый узел преобразуется в седло и возникают еще два устойчивых узла.

Таким образом, триггерный режим в системе возникает в том случае, когда в корепрессии участвуют две (или более) молекулы продукта (п > 2 ) и когда уровень базового метаболизма достаточно высок (А > 2).

Рассмотрим теперь несимметричный случай: А хф А 2.

При п > 2 и определенных значениях отношения А /А 2> у

система также приобретает триггерные свойства. На фазовой пло­ скости такая система имеет две устойчивые особые точки, между которыми расположено седло. Значение параметра у является бифуркационным, причем бифуркация имеет триггерный характер (образуется седло). Отношение AJA2 служит управляющим пара­ метром, изменение значения которого может привести к смене ста­ ционарного режима в системе. Величина параметров А {9 А2 зави­ сит от многих биохимических характеристик: скорости снабжения субстратами, активности ферментов, времени жизни ферментов,

и продуктов.

4.3.5. Способы переключения триггера

Рассмотрим фазовый портрет нашей системы, обладающей при некоторых А ]/А2> у двумя устойчивыми стационарными состояниями (рис. 44). Пусть х = хх, у = х2. Здесь а, с — устойчивые стационарные состояния, Ъ— седло.

Если начальное положение изображающей точки располо­ жено левее сепаратрисы седла (пунктирная линия), система нахо­ дится в области притяжения особой точки а и со временем стре­ мится к этому устойчивому стационарному состоянию. Из точек, лежащих правее сепаратрисы, система будет двигаться к особой точке с. Рассмотрим возможные способы переключения системы из режима а в режим с.

Рис. 44. Триггерная система. Жирными линиями показаны главные изоклины, пунктирной линией — сепаратриса, отделяющая области влияния двух устойчивых стационарных состояний а и с. Стрелка показывает процесс силового переключения триггера.

Иллюстрация заимствована из монографии [20]

Допустим, что система функционирует в устойчивом режиме а, т. е. преимущественно синтезируется белок второго типа и соот­ ветственно производится продукт второй цепочки (у >х). Необхо­ димо перевести систему в другой устойчивый режим с, где будет преимущественно синтезироваться белок первого типа и произво­ диться продукт первой цепочки (х>у). Это можно сделать двумя способами.

1. Силовое переключение. За счет внешнего воздействия можно так изменить значения переменных х и у, например резко увели­ чив х, что это переведет систему в некую точку сг находящуюся по правую сторону сепаратрисы седла в области притяжения устой­ чивого стационарного состояния с, к которому система перейдет сама с течением времени и окажется в требуемом режиме. В слу­ чае химической реакции для такого переключения можно изме­ нить значения концентраций (например, добавить определенное количество вещества х).

Силовой способ переключения триггера называется также специфическим [20, 27].