19

министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины

ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра физики и химии

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

№ 1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОГО ДИСКА

№ 1.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ВЕЛОСИПЕДНОГО КОЛЕСА

№ 1.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ КОЛЕСА МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

(Указания к лабораторным работам)

Составил проф. Михайленко В.И.

Утверждено на заседании кафедры,

протокол № 2 от 29 сентября 2011 г.

Одесса-2011

Лабораторная работа № 1.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОГО ДИСКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Аналогия между поступательным и вращательным движением

Поступательное движение

Вращательное движение

1. Поступательным называется такое движение, при котором все точки тела описывают одинаковые по форме траектории.

1. Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой (ось вращения).

2. Путь – это длина участка траектории.

2. Угол φ, который описывает радиус-вектор за некоторое время.

3. Линейная скорость численно равняется пути, пройденному материальной точкой за единицу времени. Она определяется как первая производная от пути по времени

Вектор линейной скорости совпадает с касательной в данной точке траектории и направлен в сторону движения (рис.1.1).

Рис.1.1

3. Угловая скорость численно равняется углу поворота радиус-вектора за единицу времени. Она определяется как первая производная от угла поворота по времени

Вектор угловой скорости находится по правилу правого буравчика: необходимо установить буравчик вдоль оси вращения и крутить его в направлении вращения; тогда поступательное движение буравчика укажет на направление угловой скорости (рис.1.1а).

Рис.1.1а

Заметим, что вектор всегда совпадает с осью вращения.

4. Линейное ускорение численно равняется изменению скорости за единицу времени. Оно определяется как первая производная от скорости по времени

Пример. Материальная точка движется по закону S– в м, t – в с. Найти значение скорости и ускорение в момент времени

Решение:

4. Угловое ускорение численно равняется изменению угловой скорости за единицу времени. Оно определяется как первая производная от угловой скорости по времени

Пример. Тело вращается по закону , – в радианах, t – в с. Найти значение угловой скорости и углового ускорения в момент времени .

Решение:

5. Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью.

Масса (m) – мера инертности тела при поступательном движении.

5. Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного вращательного движения называется инертностью.

Момент инерции (I) – мера инертности тела при вращательном движении.

Момент инерции зависит от массы и формы тела, а также от выбора оси вращения.

Момент инерции материальной точки

определяется как произведение массы точки на квадрат расстояния до оси вращения

В общем случае момент инерции тела произвольной формы находят по формуле

,

где N – количество материальных точек, на которое разбивается тело. Момент инерции тонкого кольца, вдвое больше момента инерции сплошного диска (рис.2)

Рис.1.2

Ось вращения, которая проходит через центр масс тела, называется собственной осью. Момент инерции относительно собственной оси называется собственным моментом инерции.

Момент инерции относительно произвольной оси, параллельной оси собственного вращения, можно рассчитать с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной собственной оси, равняется собственному моменту инерции плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями

,

(3)

где I₀ - собственный момент инерции, т.е. момент инерции относительно оси СС (рис. 1.3), а I - момент инерции относительно оси ОО.

Рис.1.3

Сила – мера взаимодействия тел, вследствие чего появляется ускорение или деформация тел.

Момент силы – это произведение силы на плечо . Плечо силы - это длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы (рис. 1.4).

Момент силы – вектор, направление которого устанавливается по правилу буравчика. В данном случае (рис.1.4) вектор направлен вдоль оси О за плоскость рисунка.

Рис.1.4.

Произведение силы на время ее действия – называется импульсом силы.

Произведение массы тела на его скорость – называется импульсом тела.

Произведение момента силы на время его действия – называется импульсом момента силы.

Произведение момента инерции на угловую скорость – называется моментом импульса тела.

Второй закон Ньютона Ускорение, с которым движется тело, пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально его массе

Если учесть, что , то второй закон Ньютона можно представить в таком виде: или

Импульс силы равняется изменению импульса тела.

Основной закон динамики вращательного движения:

Угловое ускорение, с которым вращается тело, пропорционально моменту силы и обратно пропорционально его моменту инерции

Если учесть, что , то основной закон вращательного движения можно представить в таком виде

или

Импульс момента силы равняется изменению момента импульса тела.

Кинетическая энергия поступательного движения определяется формулой

Кинетическая энергия вращательного движения определяется формулой

2. Лабораторная работа № 1.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОГО ДИСКА

2.1 Приборы и принадлежности

Установка для нахождения момента инерции, линейка, электрический секундомер, штангенциркуль, весы.

2.2 Экспериментальная установка

Измерения производятся на установке, показанной на рис.4. Основной вал установки ОО, на котором закреплено на резьбе исследуемое тело Т, лежит на шарикоподшипниковой опоре 1. На валу закреплены маховик 2 и барабан 3, на который намотана нить. Один конец нити закреплен на барабане, а второй переброшен через блок 5 и заканчивается крючком, на который подвешивается грузик 6 массой m. Если отпустить тормоз 4, то грузик будет опускаться вдоль вертикальной линейки 7, приводя вал во вращательное движение. Для остановки вращения служит электромагнитный тормоз 4

Рис.4

2.3 Теоретическая часть

Изучите раздел 1.1.

2.4. Вывод расчетной формулы

Установим грузик на высоте . Если его отпустить, то наряду с поступательным движением грузика возникнет вращательное движение установки. В соответствии с законом сохранения энергии потенциальная энергия грузика будет переходить в кинетическую энергию поступательного движения грузика , кинетическую энергию вращательного движения прибора и затрачиваться на выполнение работы против сил трения

.

(2.1)

При достижении наинизшей точки грузик неупруго соударяется с поверхностью пола и его кинетическая энергия превращается в тепловую. Прибор же продолжает вращаться и его кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию грузика и частично расходуется на выполнение работы против сил трения

.

(2.2)

где - высота, на которую поднимается груз после удара о пол, причем (объясните почему?).

Найдём из (2.2) силу трения и подставим в выражение (2.1)

Отсюда

.

(2.3)

Выразим теперь линейную и угловую скорости через величины, которые можно измерить в данном опыте. Поскольку движение грузика является равноускоренным, то

.

Исключив из этих выражений ускорение , получим

.

(2.4)

Пусть - радиус шкива, на который намотана нить. Учитывая связь между линейной и угловой скоростью, получим

.

(2.5)

Подставим теперь (2.4) и (2.5) в (2.3)

.

Сократим на и умножим обе части равенства на . В результате получим

.

Отсюда

или

.

(2.6)

В этом выражении — удвоенный путь, который прошёл бы грузик при свободном падении за время , — путь, который проходит грузик в условиях опыта, двигаясь с ускорением . В нашем случае , поэтому gt²/H>>1.

С учётом этого неравенства выражение (2.6) упрощается

,

(2.7)

где - диаметр шкива, на который надевается нить.

Для того чтобы вычислить момент инерции тела, необходимо из выражения (2.7) вычесть момент инерции прибора. Для этого свинчивают исследуемое тело с оси 00 (рис. 4) и измеряют время падения с той же высоты и соответственно высоту его последующего подъёма. Тогда согласно (2.7)

.

(2.8)

Вычтя (2.8) из (2.7), получим расчётную формулу для вычисления момента инерции тела

(2.9)

или

,

(2.10)

где

,

(2.11)

Экспериментальное значение момента инерции, найденное по формуле (2.10), следует сопоставить с его теоретическим значением

,

где — масса диска, a — его радиус. Масса диска определяется очевидным выражением , где  — плотность материала диска, а — его объём. Окончательно формула для теоретического расчёта момента инерции имеет вид

.

(2.12)

2.5 Порядок проведения измерений

1. Взвешивают грузик на весах. Точность взвешивания определяется массой наименьшей гирьки (обычно ).

2. С помощью штангенциркуля измеряют диаметр барабана , на который наматывается нить.

3. Навинчивают на ось прибора исследуемое тело, наматывают нить на барабан и подвешивают к ней грузик.

4. Поднимают грузик на высоту и по нижнему его основанию отсчитывают по линейке высоту подъёма.

5. Производят пуск установки, одновременно отпуская тормоз и запуская секундомер. При достижении грузиком нижней точки останавливаем электросекундомер и далее по его циферблату отсчитываем время падения t с точностью до 0,01 с.

6. Грузик далее поднимается вверх и в наивысшей точке подъёма останавливают установку тормозом. По линейке определяют высоту подъёма H₁.

7. Измерения по пунктам 4, 5, 6 проводят 5 раз, сохраняя неизменной высоту подъёма грузика. Результаты измерений заносят в таблицу 1.

8. Для определения момента инерции прибора свинчивают исследуемое тело и повторяют измерения согласно п.п. 4-7. Результаты вносят в таблицу 1.

9. Штангенциркулем измеряют размеры исследуемого тела (диаметр и высоту ) для последующего теоретического вычисления момента инерции. Результаты измерений вносят в таблицу 2.

Таблица 1

¹

0,

1 2 3 4 5

=

=

=

=

Таблица 2

№
1
2
3

2.6. Обработка результатов измерений

По экспериментальным данным таблиц 1 и 2 вычисляем средние значения величин и соответствующие средние квадратичные погрешности их измерения . Результаты вычислений заносим в таблицы 1 и 2.

Используя средние значения величин по формулам (2.11) находим параметры ,  и  и далее по формуле (2.10) вычисляем среднее значение момента инерции.

Вычисляем погрешности величин  и  по формулам

	(2.13)
	(2.14)

и далее погрешность в определении момента инерции

(2.15)

Конечный результат записываем в виде

Используя средние значения D_cp и h_ср, находим среднее значение момента инерции, вычисленного по формуле (2.12)

(2.16)

Конечный результат записываем в виде

2.7. Рекомендации к оформлению отчёта

В табл. “Приборы” укажите предел измерений, цену деления и точность отсчёта электрического секундомера, штангенциркуля, линейки и разновеса (по массе наименьшей гирьки).

В разделе “Применяемые расчётные формулы” привести формулы (2.10)-(2.16).

В разделе “Обработка результатов измерений” сделать подстановку численных данных в формулы (2.10) - (2.16).

2.8. Контрольные вопросы

1. Выведите выражение для кинетической энергии вращательного движения твёрдого тела.

2. Каков физический смысл момента инерции? От чего он зависит?

3. Выведите расчётную формулу (2.9). Как будет выглядеть эта формула, если пренебречь силами трения?

4. Почему падение гирьки не является свободным?

Литература

1. Михайленко, В.М. Белоус, Ю.М. Поповский. Общая физика., К., с. 53-56.

Лабораторная работа № 1.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ВЕЛОСИПЕДНОГО КОЛЕСА

1. Приборы и принадлежности

Рис.5

Установка для нахождения момента инерции, вертикальная линейка, секундомер, штангенциркуль, гирька, весы.

2. Экспериментальная установка

Измерения проводятся на установке, показанной на рис. 5.

Велосипедное колесо может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси О. На эту же ось насажен шкив радиуса, на который намотана нить. Колесо приводится во вращение силой натяжения нити, к свободному концу которой подвешен груз массой т.