72

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 7

1 КЛАССИЧЕСКИЙ МЕДОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 9

1.1 Постановка задачи 9

1.2 Экстремум функции одной переменной 9

1.3 Экстремумы функций многих переменных 12

1.4 Метод неопределенных множителей Лагранжа 16

1.4.1 Основные положения 16

1.4.2 Геометрическая интерпретация метода множителей Лагранжа 18

1.4.3 Экономическая трактовка метода множителей Лагранжа 19

1.4.4 Особые случаи 20

1.5 Особенности реальных задач 22

2 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 25

2.1 Общая характеристика методов решения задач нелинейного программирования 25

2.2 Методы одномерной оптимизации 30

2.2.1 Метод прямого сканирования 31

2.2.2 Метод половинного деления 32

2.2.3 Метод "золотого сечения" 34

2.2.4 Метод Фибоначчи 35

2.3 Методы многомерной оптимизации 36

2.3.1 Метод Гаусса-Зайделя 37

2.3.2 Метод градиента 37

2.3.3 Метод наискорейшего спуска 39

2.3.4 Метод квантования симплексов 40

2.3.5 Поиск при наличии "оврагов" целевой функции 43

2.4 Методы поиска условного экстремума 44

2.4.1 Метод проектирования вектора-градиента 45

2.4.2 Метод ажурной строчки 46

2.5 Проблемы поиска глобального экстремума 47

3 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 49

3.1 Графический метод решения задач нелинейного программирования 49

3.2 Метод множителей Лагранжа 51

3.3 Компьютерная реализация решений задач нелинейного программирования 56

3.3.1 Решение задач нелинейного программирования в среде приложения Excel 56

3.3.2 Решение задач нелинейного программирования в среде приложения Matlab 61

ВЫВОДЫ 66

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК 67

ПРИЛОЖЕНИЕ А Блок-схемы методов 68

Введение

Задача нелинейного программирования встречается в естественных науках, технике, экономике, математике, в сфере деловых отношений и в науке управления государством.

Нелинейное программирование, например, связано с основной экономической задачей. Так в задаче о распределении ограниченных ресурсов максимизируют либо эффективность, либо, если изучается потребитель, потребление при наличии ограничений, которые выражают условия недостатка ресурсов. В такой общей постановке математическая формулировка задачи может оказаться невозможной, но в конкретных применениях количественный вид всех функций может быть определен непосредственно. Например, промышленное предприятие производит изделия из пластмассы. Эффективность производства здесь оценивается прибылью, а ограничения интерпретируются как наличная рабочая сила, производственные площади, производительность оборудования и т.д.

Метод "затраты – эффективность" также укладывается в схему нелинейного программирования. Данный метод был разработан для использования при принятии решений в управлении государством. Общей функцией эффективности является благосостояние. Здесь возникают две задачи нелинейного программирования: первая – максимизация эффекта при ограниченных затратах, вторая – минимизация

затрат при условии, чтобы эффект был выше некоторого минимального уровня. Обычно эта задача хорошо моделируется с помощью нелинейного программирования.

Результаты решения задачи нелинейного программирования являются подспорьем при принятии государственных решений. Полученное решение является, естественно, рекомендуемым, поэтому необходимо исследовать предположения и точность постановки задачи нелинейного программирования, прежде чем принять окончательное решение.

Задачи нелинейного программирования часто возникают и в других отраслях науки. Так, например, в физике целевой функцией может быть потенциальная энергия, а ограничениями – различные уравнения движения. В общественных науках и психологии возникает задача минимизации социальной напряженности, когда поведение людей ограничено определенными законами.

Целью дипломного проекта является решение задач нелинейного программирования различными методами для проведения анализа поведения этих методов на выбранных математических моделях нелинейного программирования.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующее

-решить выбранные задачи нелинейного программирования графическим методом;

-решить выбранные задачи нелинейного программирования методом множителей Лагранжа;

-представить компьютерную реализацию выбранных задач нелинейного программирования в среде пакетов Excel и Matlab.

Общая характеристика диплома: количество страниц – 68, количество таблиц – 1, количество рисунков – 33, количество ссылок – 6.