- •Пример 2. Присоединенный момент
- •Пример 3.
- •Кориолисовы сила и ускорение – продолжение
- •Пример 4.
- •Известен дискомфорт у начинающих от поня- тия мнимого (и комплексного) числа. Он проходит
- •Вектор определяется двумя компонентами – горизонтальной и вертикальной. Чтобы их различать, по горизонтали
- •Для введения операции умножения, он вначале сформулировал правило умножения обычных чисел в таком
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел известна давно. Но именно интерпретация – после того, как
Вектор определяется двумя компонентами – горизонтальной и вертикальной. Чтобы их различать, по горизонтали откладывают обычную единицу, а по вертикали – единицу той же длины,
называемую i – и никаких упоминаний о ее мнимости. Складывают
комплексные числа по общим правилам сложения векторов: покомпонентно.
Также, для описания векторов (и комплексных чисел) используют полярные координаты, задавая длину вектора (модуль) и угол наклона (аргумент), отсчитываемый против
часовой стрелки от горизонтальной оси.
Для введения операции умножения, он вначале сформулировал правило умножения обычных чисел в таком виде: произведение c получается из множимого a тем же путем, каким множитель b
получается из единицы. А именно: для получения b единицу растягивают в b раз; для получения c то же
проделывают с множимым a.
Чтобы распространить это правило на комплексные
числа, нужно его дополнить: ведь чтобы получить b, единицу не только растянули, но и повернули на угол
- аргумент множителя. Поступая так же и с множимым, придем к правилу: при умножении
комплексных чисел их модули перемножают, а аргументы складывают.
|
|
|
|
|
|
|
Согласно этому правилу, для |
|||
|
|
|
|
i |
|
|
получения i |
повернули |
||
|
|
|
|
|
|
единичный вектор на 90о против |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
часовой стрелки. Для |
|||
– 1 |
|
|
|
1 умножения i |
на i его нужно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
еще раз повернуть на тот же |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
угол, при этом получаем –1. |
|||
|
Отсюда сразу следует: |
|
|
|
||||||
|
|
1 i. |
||||||||
i i |
i |
2 |
1 |
, или |
|
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот определение здесь не принято изначально, а получено естественно, как результат обобщения на векторы правил умножения обычных чисел. И никакой мистики!
Геометрическая интерпретация комплексных чисел известна давно. Но именно интерпретация – после того, как мнимая
единица уже названа так и введена, как –1. Линник, начав с векторов, пришел к тому же корню как к следствию, то есть,
усилил мотивировку, сделав ее более содержательной. Кто не видит разницы, тот лишен педагогического чувства.
За прошедшие с тех пор 60 лет я ни разу не встречал этого вывода ни в учебниках, ни в лекционных курсах математики. По-прежнему начинают с мнимой единицы, а потом (неизвестно почему!) откладывают ее на графике по вертикали, правило умножения выводят чисто алгебраически, а геометрия уже вытекает из него, и т.д. Особенно досадно, что исключением не стала и книга Я.Б.Зельдовича и А.Д.Мышкиса "Элементы прикладной математики".
Но обнаружил его в неожиданном месте – в книге Р.В. Поля "Оптика". Физик, притом в специальной монографии, отвлекся на чисто математический вопрос. Значит, он не был удовлетворен его изложением профессионалами, и не мог смолчать.