Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
prob-vuz_matem / л4_матвуз.pps
Скачиваний:
2
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
94.21 Кб
Скачать

Вектор определяется двумя компонентами – горизонтальной и вертикальной. Чтобы их различать, по горизонтали откладывают обычную единицу, а по вертикали – единицу той же длины,

называемую i – и никаких упоминаний о ее мнимости. Складывают

комплексные числа по общим правилам сложения векторов: покомпонентно.

Также, для описания векторов (и комплексных чисел) используют полярные координаты, задавая длину вектора (модуль) и угол наклона (аргумент), отсчитываемый против

часовой стрелки от горизонтальной оси.

Для введения операции умножения, он вначале сформулировал правило умножения обычных чисел в таком виде: произведение c получается из множимого a тем же путем, каким множитель b

получается из единицы. А именно: для получения b единицу растягивают в b раз; для получения c то же

проделывают с множимым a.

Чтобы распространить это правило на комплексные

числа, нужно его дополнить: ведь чтобы получить b, единицу не только растянули, но и повернули на угол

- аргумент множителя. Поступая так же и с множимым, придем к правилу: при умножении

комплексных чисел их модули перемножают, а аргументы складывают.

 

 

 

 

 

 

 

Согласно этому правилу, для

 

 

 

 

i

 

 

получения i

повернули

 

 

 

 

 

 

единичный вектор на 90о против

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

часовой стрелки. Для

1

 

 

 

1 умножения i

на i его нужно

 

 

 

 

 

 

 

еще раз повернуть на тот же

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угол, при этом получаем –1.

 

Отсюда сразу следует:

 

 

 

 

 

1 i.

i i

i

2

1

, или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот определение здесь не принято изначально, а получено естественно, как результат обобщения на векторы правил умножения обычных чисел. И никакой мистики!

Геометрическая интерпретация комплексных чисел известна давно. Но именно интерпретация – после того, как мнимая

единица уже названа так и введена, как –1. Линник, начав с векторов, пришел к тому же корню как к следствию, то есть,

усилил мотивировку, сделав ее более содержательной. Кто не видит разницы, тот лишен педагогического чувства.

За прошедшие с тех пор 60 лет я ни разу не встречал этого вывода ни в учебниках, ни в лекционных курсах математики. По-прежнему начинают с мнимой единицы, а потом (неизвестно почему!) откладывают ее на графике по вертикали, правило умножения выводят чисто алгебраически, а геометрия уже вытекает из него, и т.д. Особенно досадно, что исключением не стала и книга Я.Б.Зельдовича и А.Д.Мышкиса "Элементы прикладной математики".

Но обнаружил его в неожиданном месте – в книге Р.В. Поля "Оптика". Физик, притом в специальной монографии, отвлекся на чисто математический вопрос. Значит, он не был удовлетворен его изложением профессионалами, и не мог смолчать.

Соседние файлы в папке prob-vuz_matem