Высшая геодезия литература / лекции / Лекция 3

Лекция № 3 Нормальные сечения эллипсоида.

Вопросы лекции:

1. Нормальные сечения эллипсоида. Радиусы кривизны в данной точки эллипсоида.

2. Расчёт рамок съёмочных трапеций.

1. Нормальные сечения эллипсоида. Радиусы кривизны в данной точки эллипсоида.

Через нормаль к поверхности эллипсоида можно провести бесчисленное множество плоскостей. Эти плоскости, перпендикулярные к касательной плоскости к поверхности эллипсоида в данной точке, называются нормальными. Кривые, образуемые от пересечения нормальных плоскостей, проведенных в данной точке, с поверхностью эллипсоида называются нормальными сечениями. В каждой точке существуют два взаимно перпендикулярных сечения, кривизна которых имеет максимальное и минимальное значения; эти нормальные сечения называются главными нормальными сечениями.

Главными нормальными сечениями являются меридиональное сечение и сечение первого вертикала. Меридиональным сечением называется сечение, проходящее через данную точку и оба полюса. Сечением первого вертикала называется сечение, проходящее через данную точку перпендикулярно меридиональному сечению.

Радиус кривизны меридиана (меридионального сечения) обозначается через М.

Радиус кривизны первого вертикала обозначается N.

Радиус кривизны меридиана (М) вычисляется по формуле:.

где а – большая полуось эллипсоида; е – первый эксцентриситет; В – геодезическая широта данной точки.

С увеличением широты от В от 0 до 90º радиус кривизны меридиана будет увеличиваться и достигнет своего максимального значения на полюсах при В=90º. Радиус кривизны меридианного эллипса в полюсах называется полярным радиусом кривизны и обозначается через с, тогда

Принимая во внимание, что или , имеем:

Учитывая, что можно записать:

Окончательно имеем:

Если обозначить: ,

где W – первая основная функция геодезической широты, имеем:

Приняв

где V – вторая основная функция геодезической широты,

и учитывая, что и имеем:

или

Окончательно имеем:

Для вывода радиуса кривизны первого вертикала можно воспользоваться теоремой: если через точку поверхности проведены два сечения – нормальное и наклонное, причём в рассматриваемой точке эти два сечения имеют общую касательную, то радиус кривизны наклонного сечения равен радиусу нормального сечения, умноженного на косинус угла между плоскостями этих двух сечений:

В данном случае наклонное сечение это плоскость параллели, радиус которой можно определить по формуле:

Отсюда радиус кривизны первого вертикала (N) вычисляется по формуле:

или :

справедлива также формула :

где

Средним радиусом кривизны в данной точке называется предел, к которому стремится среднее арифметическое из радиусов кривизны нормальных сечений, когда их число стремится к бесконечности.

Средний радиус кривизны (R) определяется по формуле:

где М и N - радиусы кривизны меридиана и первого вертикала в данной точке.

2. Расчёт рамок съёмочных трапеций.

Рамками съёмочной трапеции являются отрезки параллелей и меридианов, поэтому расчёт рамок съёмочных трапеций включает определение длины дуги меридиана, длины дуги параллели , площади съёмочной трапеции и её диагонали.

Длина дуги меридиана

Длина дуги (Х) меридиана от экватора (В=0⁰) до точки (или до параллели) с широтой (В) вычисляется по формуле:

где

Для контроля длину дуги (Х) меридиана от экватора до точки с широтой (В) можно также вычислить по формуле:

где:

Длина дуги (ΔX) меридиана между параллелями с широтами В₁ и В₂ вычисляется по формуле:

где ΔB=В₂-В₁ – приращение широты (в угловых секундах);

- средняя широта; ρ” = 206264,8” – количество секунд в радиане; М₁, М₂ и М_m – радиусы кривизны меридиана в точках с широтами В₁, В₂ и В_m.

Для контроля длину дуги (ΔX) меридиана между параллелями с широтами В₁ и В₂ можно вычислить по формуле:

где Х₀^В1 и Х₀^В2 - длины дуги меридиана от экватора до параллелей с широтами В₁ и В₂

Длина дуги параллели

Длина дуги параллели вычисляется по формуле:

где N – радиус кривизны первого вертикала в точке с широтой В;

ΔL=L₂ - L₁ – разность долгот двух меридианов (в угловых секундах);

ρ” = 206264,8” – количество секунд в радиане.

Площадь сфероидической трапеции

Часть поверхности эллипсоида, ограниченная дугами меридианов и параллелей, является сфероидической трапецией .

Площадь сфероидической трапеции на поверхности эллипсоида вычисляется по формуле:

где L₁ и L₂ - долготы западного и восточного меридианов трапеции;

В₁ и В₂ - долготы западного и восточного меридианов трапеции;

b –малая полуось эллипсоида; ρ” = 206264,8” – количество секунд в радиане; е - первый эксцентриситет.

Вычисление диагонали съемочной трапеции.

Диагональ съемочной трапеции вычисляют по формуле:

где:

d – длина диагонали трапеции,

ΔY_Н – длина дуги параллели нижней рамки,

ΔY_В– длина дуги параллели верхней рамки трапеции,

ΔХ – длина дуги меридиана левой (правой) рамки.