Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
43
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
610.3 Кб
Скачать

Министерство образования и науки украины

ОДЕССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Кафедра землеустройства и кадастра

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к расчётно-графической работе по спутниковой геодезии

тема: Форма орбиты и движение искусственного спутника земли по законам Кеплера.

ОДЕССА 2011

Цель работы: ознакомить студентов с теоретическими основами невозмущённого движения искусственных спутников Земли и расчётами основных параметров их орбит.

Расчётно-графическую работу выполняют индивидуально по исходным данным варианта задания, выданного преподавателем.

Выполненная работа должна содержать:

  • Пояснительные рисунки.

  • Рабочие формулы.

  • Результаты вычислений.

  1. Теоретические сведения.

Использование искусственных спутников Земли (ИСЗ) ( с 4 октября 1957 года) для решения научных и технических задач геодезии обусловило возникновение космической геодезии и позволило решать их в более сжатые сроки а также с большей полнотой и точностью.

Если рассматривать методы космической геодезии в последовательности их развития, то вначале получил широкое распространение геометрический метод. Этот метод основывается на одновременных (на начальном этапе преимущественно фотографических) наблюдениях определённого ИСЗ с нескольких наземных пунктов. Так многократное синхронное фотографирование ИСЗ на фоне звёздного неба минимум с двух пунктов позволяет определить направление хордового вектора, проходящего через эти пункты. Множество таких векторов, вычисленных между определённым количеством геодезических пунктов, составляет векторную пространственную сеть – космическую триангуляцию. Для расчёта периодов возможных синхронных наблюдений ИСЗ с отдалённых пунктов, необходимо знать параметры его орбитального движения. Следующий, общий метод, - динамический, с помощью которого находят параметры внешнего гравитационного поля Земли (геопотенциал) вместе с уточнением координат пунктов наблюдения у единой обзеземной геоцентрической системе координат. Для этого на основе длительных наблюдений периодически рассчитывают орбиту ИСЗ и исследуют постепенные изменения её параметров, т.е. её эволюцию во времени. В орбитальном методе, зная параметры геопотенциала, измеренные с наземных пунктов или непосредственно с борта спутника определяют и уточняют элементы орбиты ИСЗ. Таким образом применение любого спутникового метода требует зхнания теории движения ИСЗ.

Инерциальное движение спутника в околоземном пространстве определяется многими факторами: притяжением гравитационных полей Земли, Луны, Солнца и планет Солнечной системы, лунно-солнечными приливами, торможением в атмосфере, давлением солнечного света, воздействием магнитного поля Земли. Из названных факторов влияние гравитационного поля Земли является доминирующим, и в свою очередь достаточно сложным. Поэтому движение спутника рассчитывают с помощью приближений. Сначала рассматривают наипростейшую модель движения: 1) ИСЗ и Земля – материальные точки, т.е. тела, размерами которых пренебрегают, а реальная масса каждого тела сосредоточена в его центре масс (центре притяжения), или планету считают шаром с массой равномерно распределённой по его телу (в таком случае притяжение ею спутника соответствует притяжению материальной точкой, масса которой равна массе Земли). 2)Влиянием массы спутника на движение планеты как незначительной пренебрегают (т.е. спутник –пассивно действующая масса), 3)Рассчитывают движение спутника по инерции около Земли как неподвижного центра под влиянием только одной силы – силы их взаимного притяжения, которая определяется законом всемирного тяготения Ньютона, а направление направлено к центру масс Земли (поэтому её называют центральною). Все другие силы вызывают в движении ИСЗ значительно меньшие ускорения, чем центральное, их называют возмущающими и ними в этой модели пренебрегают. В небесной механике такую задачу называют ограниченной задачей двух тел, планета – притягивающее тело, спутник – притягиваемое, движение спутника называется невозмущённым или Кеплеровым, потому что оно строго подчиняется законам Кеплера, сформулированных ним эмпирично по наблюдениям за движением планет вокруг Солнца. Современная аналитическая теория невозмущённого движения основывается на законах небесной механики Ньютона, и включает в общих чертах такие части: вывод дифференциальных уравнений движения, методов их решения, анализа решений, и получение системы формул для расчёта элементов орбиты, координат и скоростей ИСЗ и параметров их движения.

Инерциальная система координат: начало – в центре масс Земли, ось ОZ совпадает со средней осью вращения Земли в пространстве, ось ОХ – направлена на среднюю точку весеннего равноденствия , ось ОУ – лежит в плоскости среднего экватора на 90˚ от оси ОХ так, чтобы система была правою.

Точка весеннего равноденствия  есть точка пересечения небесного экватора с эклиптикою.

Эклиптика – видимый годичный путь солнца по небесной сфере, или это приблизительно усреднённая орбита Земли вокруг Солнца.

Дифференциальные уравнения невозмущённого движения ИСЗ. На основе второго закона Ньютона вектор силы F равняется:

(1)

где вектор ускорения какого-либо космического аппарата, в частности ИСЗ, точками сверху принято обозначать производные по времени, в данном случае вторую; масса ИСЗ. Модуль силы согласно закону всемирного тяготения составляет

(2)

где универсальная гравитационная постоянная, М – масса Земли, масса спутника, расстояние между центрами масс Земли и космического аппарата. Силам притяжения принято приписывать знак минус, силам отталкивания – плюс. Тогда вектор силы взаимодействия между массою Земли и массою спутника, на основе закона (2) выразится так: (3)

где вектор положения ИСЗ (геоцентрический радиус-вектор), а его составляющими в принятой геоцентрической системе являются текущие координаты аппарата, то есть: (4)

Уравнивая правые части (1) и (3), получаем дифференциальное уравнение невозмущённого движения космического аппарата в векторной форме:

(5)

где гравитационный параметр Земли (геоцентрическая гравитационная постоянная). В координатной форме (5) даёт три дифференциальных уравнения такого вида:

(6)

где и составляющие вектора ускорения спутника. Интегрированием дифференциальных уравнений движения космического аппарата прогнозируют его положение, вектор (см.(4)), и составляющие вектора скорости на другие моменты времени от начального моменту .

Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Полное решение системы (5) или (6) должно состоять из шести независимых интегралов и иметь такой общий вид:

(7)

где текущее время, произвольные постоянные интегрирования, которые определяются начальными условиями движения – параметрами орбиты ИСЗ на начальный .

Интегрируют дифференциальные уравнения (5) или (6) разными способами. В результате интегрирования получают важные для теории невозмущённого движения выражения, которые называются первыми интегралами и кроме, того имеют собственные названия.

Интеграл площадей. Если уравнение движения (5) умножить векторно на , получаем (8)

Это уравнение тождественно такому: (9)

Интегрируя уравнение (9), получаем интеграл площадей в векторной форме:

(10)

где постоянная интегрирования является вектором интеграла площадей. Векторное произведение (10) в матричной форме имеет такой вид:

, (11)

. Вычёркивая первый ряд в матрице (11) и колонку соответствующего орта, получаем определители второго порядка, вычисляя которые, получаем три интеграла площадей в координатной форме: (12)

Название интеграла площадей происходит из сущности векторного произведения, результатом которого есть вектор , модуль которого равен площади параллелограмма со сторонами и . Направление вектора перпендикулярно к площади, в которой лежат вектора и .

Интеграл энергии. Векторное дифференциальное уравнение невозмущённого движения (5) умножим скалярно на 2 , получим:

(13)

Левая часть уравнения (13) тождественна выражению: (14)

Кроме того, справедливо тождество: (15)

Подставляя (14) и (14) в (13), получаем:

(16)

Известно, что: (17)

Подставив тождества (17) в (16) и проинтегрировав, имеем: (18)

где постоянная интегрирования. Умножив (18) на получаем запас кинетической энергии, потенциальная энергия полный запас механической энергии системы. Таким образом характеризует распределение энергии на кинетическую и потенциальную, в зависимости от положения спутника на орбите, а также постоянство общей алгебраической суммы кинетической и потенциальной энергии в системе Земля – спутник. Поэтому (18) называют интегралом энергии, а его постоянную постоянной энергии.

Интегралы Лапласа. Дифференциальные уравнения невозмущённого движения умножим векторно на интеграл площади получим:

(19)

Интеграл площадей с в соответствии с (10) является результатом векторного произведения векторов и В правой части (19), заменив вектор с, получим:

(20)

Векторное произведение трёх векторов можно заменить скалярным в соответствии с правилом:

Сделав эту замену в уравнении (20), имеем:

После преобразований имеем:

Это выражение тождественно такому:

(21)

Интегрируя (21), получаем интеграл Лапласа в векторной форме:

(22)

где постоянная интегрирования, которая называется вектором Лапласа. Обозначив его составляющие через (22) можно записать в виде, который раскрывает векторное произведение:

Записывая векторное произведение через определители, и приравнивая выражения при одинаковых ортах, получаем интегралы Лапласа в интегральной форме:

(23)

где составляющие вектора Лапласа являются постоянными этих интегралов или постоянными Лапласа. Формулами (12), (18) и (23) записаны семь первых интегралов невозмущённого движения ИСЗ. Но они не составляют общее решение системы (7), потому, что во-первых не являются независимыми и, во-вторых, не содержат в явном виде время Зависимость между этими интегралами можно выразить через произвольные постоянные уравнениями:

(24)

Что свидетельствует про взаимную перпендикулярность векторов и и

(25)

где

Исследования невозмущённого движения. Если векторные уравнения интеграла площадей (10) скалярно умножить на вектор и осуществить преобразования, получим выражение

(26)

которое оказывается уравнением плоскости, проходящей через начало координат. В координатной форме оно имеет такой вид:

(27)

Уравнения (26) или (27) показывают, что невозмущённое движение осуществляется в неизменной плоскости, которая определяется только начальными условиями задачи и, как следствие, орбита ИСЗ есть плоская кривая. Отсюда, невозмущённое движение происходит в плоскости, которая перпендикулярна (ортогональна) к вектору площади с. Из математики известно, что положение плоскости в пространстве определяется перпендикулярным (ортогональным) к ней вектором. Таким образом, вектор площади с определяет ориентацию плоскости орбиты спутника в пространстве.

Теперь на вектор умножим скалярно вектор Лапласа (22), выполним преобразования и получим такое уравнение:

(28)

а в координатной форме оно имеет такой вид:

(28´)

Уравнения (28) или (28´) описывает поверхность на которой находится спутник во время движения. Эта поверхность является поверхностью второго порядка, образованная вращением вокруг оси, которая задана вектором один из фокусов которого совпадает началом координат. Это может быть эллипсоид, параболоид или гиперболоид вращения. Решение системы, составленной с уравнений (27) и (28´),

геометрически является сечение плоскостью поверхности вращения. В результате сечения получается плоская кривая второго порядка.

В соответствие с первым законом Кеплера невозмущённая орбита искусственного небесного тела является плоскою кривой второго порядка в одном из фокусов которой размещено центральное тело (для искусственных спутников Земли центральным телом является Земля). В зависимости от вида эксцентриситета орбита этого тела может принимать форму одной из таких плоских кривых второго порядка:

  • Круга, если эксцентриситет е = 0;

  • Эллипса, если эксцентриситет 0 < е < 1;

  • Параболы, если эксцентриситет е = 1;

  • Гиперболы, если эксцентриситет е > 1.

Орбита ИСЗ может быть также кругом. Форма, размеры, ориентация эллиптической орбиты спутника определяются 6-ю параметрами (элементами отбиты), а именно:

большей полуосью орбиты; эксцентриситетом орбиты,

долготой восходящего узла орбиты,

углом наклона плоскости орбиты,

аргументом перицентра,

моментом прохождения спутника через перицентр.

Рис.1. Угловые элементы орбиты

Размеры и форму орбиты задают большей полуосью и эксцентриситетом орбиты. Ориентацию плоскости орбиты в пространстве определяет долгота восходящего узла орбиты и угол наклона

Орбита спутника пересекает экватор в двух точках. Эти точки называются узлами: восходящий , в котором спутник пересекает экватор, двигаясь из южного полушария в северное; нисходящий , в котором спутник пересекает экватор, двигаясь из северного полушария в южное.

Долгота восходящего узла измеряется от точки весеннего равноденствия по экватору от 0˚ до 360˚, а угол наклона от плоскости экватора до плоскости орбиты от 0˚ до 180˚.

Аргумент перицентра (для ИСЗ – перигея) ориентирует большую полуось орбиты (линию аспид, которая соединяет точки апогея и перигея) в её плоскости, и измеряется от точки восходящего узла от 0˚ до 360˚. Апогей является наиболее удалённой точкой орбиты от Земли, а перигей – ближайшей.

Положение спутника на орбите определяется угловым параметром истинной аномалией – углом между направлением на перигей и положением спутника (см. рис.1).

Прямая, соединяющая фокусы – линия аспид, совпадает с направлением вектора Лапласа, а вектор площадей перпендикулярен к плоскости орбиты (рис.2)

Рис.2 Орбита ИСЗ и взаимное размещение векторов и

Движение спутника по орбите описывают второй и третий законы Кеплера. Во втором законе Кеплера говорится, что за равные промежутки времени радиус-вектор спутника описывает равные площади. Другими словами секториальная скорость является постоянной. Это можно вывести, если рассматривать движение ИСЗ в системе координат , жёстко связанной с плоскостью орбиты ( рис. 3). Две оси, и лежат в плоскости орбиты, третья направлена перпендикулярно к плоскости орбиты по вектору интеграла площадей Ось направлена в точку перигея.

Рис. 3. Связь систем координат и

В выбранной орбитальной системе координат (рис. 3) интегралы площадей получаем из выражения:

(30)

где орты соответствующих осей орбитальной системы координат. Раскрывая определитель и приравнивая выражения при одинаковых ортах, получаем:

(31)

Введём полярную систему координат в плоскости орбиты через радиус-вектор и угол и в этой системе координат выразим интеграл площадей (31). Для этого найдём выражения для координат и слагаемых вектора скорости спутника в плоскости орбиты:

(32)

Теперь подставим выражения (32) в (31) для вектора площадей и после преобразований получим:

(33)

Пусть положение спутника за небольшой промежуток изменится на угол Тогда площадь, которую опишет радиус-вектор спутника, будет площадью сектора

Производную от площади по времени называют секториальной скоростью, которая запишется таким образом:

(34)

Сравнивая формулы (33) и (34) имеем:

(35)

Формула (35) выражает второй закон Кеплера.

Уравнение орбиты в полярных координатах. Решение системы уравнений (29) является уравнением орбиты. В орбитальной системе координат система (29) преобразовывается в такую:

(36)

В полярных координатах второе уравнение (36) после подстановки получает вид:

Если обозначить

(37)

получим уравнение кривой второго порядка в полярных координатах:

(38)

где фокальный параметр кривой, эксцентриситет кривой. Фокальный параметр орбиты можно выразить через большую полуось орбиты:

(39)

В зависимости от эксцентриситета е плоская кривая второго порядка может приобретать разные формы и значения интегралов и также изменяются. Рассмотрим, какие значения приобретает интеграл энергии при различных эксцентриситетах е. Для этого воспользуемся уравнением связи первых семи интегралов (25), в котором, учитывая обозначения (37), получаем:

(40)

При эллиптическом движении 0 < e < 1, тогда на основании (40) и из интеграла энергии следует, что:

Это означает, что кинетическая энергия движения меньше его потенциальной энергии. Если е = 0 , из (40) имеем:

(41)

Во время кругового движения радиус орбиты Учитывая это и подставляя (41) в интеграл энергии, получаем

(42)

Если принять, что Земля имеет сферическую форму с радиусом 6371,1 км и , то

При параболическом движении е = 1, поэтому и, соответственно:

(43)

Таким образом при параболическом движении кинетическая и потенциальная энергии искусственного небесного тела одинаковы, а для Земли это выполняется при скорости спутника 11,2 км/с.

В теории движения ИСЗ принято круговую скорость космического аппарата называть первой космической скоростью, а параболическую – второй космической скоростью.

При гиперболическом движении е > 1 и поєтому:

(44)

В этом выражении определяющую роль играет кинетическая энергия спутника, она больше потенциальной энергии.

Динамический интеграл. Все полученные ранее интегралы (12), (18) и (23) не являются общим решением системы дифференциальных уравнений невозмущённого движения (6), потому, что не содержат время в явном виде. Интеграл, который даёт в явном виде зависимость положения ИСЗ на орбите от времени получаем интегрированием выражения для интеграла площадей (33). Подставляя уравнение орбитальной кривой (38), имеем:

(45)

Интеграл в левой части выражения (45) зависит от того, какое значение имеет эксцентриситет орбиты е.

Поскольку ИСЗ, как правило, имеет эллиптическую орбиту поэтому рассмотрим только этот случай. Чтобы вычислить интеграл (45), вводят новую переменную на основе тангенса половинного угла по формуле:

(46)

После дифференцирования (46), подстановки в (45) и интегрирования получаем:

(47)

Введём среднее движение и среднюю аномалию М по формулам:

(48)

(49)

Уравнение (47) с учётом (48) и (49) приобретает вид:

(50)

Это уравнение называется уравнением Кеплера. Оно связывает вспомогательную переменную, какой является эксцентрическая аномалия Е, среднюю аномалию М, момент прохождения спутника через перигей и текущее время

В соответствии с (49) средняя аномалия М возрастает прямо пропорционально времени и определяет положение некоторого фиктивного спутника, который равномерно движется по кругу радиуса большей полуоси а с периодом Т, который равен периоду реального ИСЗ. Реальный спутник движется по эллипсу и в соответствии со вторым законом Кеплера имеет максимальную скорость в перигее и минимальную скорость в апогее.

Пусть спутник имеет период обращения Т. Тогда из (49) и (50) следует, что при полном обороте спутника получаем отсюда:

(51)

где, средняя угловая скорость движущейся точки. В небесной механике её называют средним движением.

Подставим в (51) вместо выражение (48), после преобразований получаем:

(52)

Это формула отображает третий закон Кеплера, согласно с которого в эллиптическом невозмущённом движении отношение квадрата периода Т обращения спутника по орбите к кубу её большой полуоси есть постоянным для данной планеты.

Движение ИСЗ по законам Кеплера являются наипростейшей моделью орбитального движения спутника и называется кеплеровским или невозмущённым движением. Необходимым условием выполнения законов Кеплера является допущение, что Земля (центральное тело) и спутник – это материальные точки с массами, равными массам Земли и спутника соответственно. В таком случае спутник движется по инерции, под действием приданного ему начального импульса и только одной силы – силы гравитационного притяжения Земли.

Соседние файлы в папке спутниковая геодезия