Кузнецов. Вышмат / Л.А. Кузнецов - Сборник задач по высшей математике / 2-Дифференцирование
.docПри необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
www.otlichka.ru
§ 2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
-
Понятие производной. Производная функции
. -
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
-
Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.
-
Геометрический смысл дифференциала.
-
Непрерывность дифференцируемой функции.
-
Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
-
Производная сложной функции.
-
Инвариантность формы дифференциала.
-
Производная обратной функции.
-
Производные обратных тригонометрических функций.
-
Гиперболические функции, их производные.
-
Производные высших порядков. Формула Лейбница. 13) Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого.
-
Дифференцирование функций, заданных параметрически.
$ 2.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Исходя из определения производной, доказать, что:
а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая;
б) производной четной дифференцируемой функции есть функция нечетная;
в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.
-
Доказать, что если функция
дифференцируема
в точке
х
= 0
и
,
то
-
Доказать, что производная
не существует, если
-
Доказать, что производная от функции
разрывна в точке х = 0.
5) Доказать приближенную формулу
6)
Что можно сказать о дифференцируемости
суммы
в
точке
,
если в этой точке:
а) функция
дифференцируема,
а функция
недифференцируема;
б) обе
функции
и
недифференцируемы.
-
Пусть функция
дифференцируема
в точке
и
,
а функция
недифференцируема
в этой точке. Доказать,
что произведение
является
недифференцируемым
в точке
-
Что можно сказать о дифференцируемости произведения
в
предположениях задачи 6?
Рассмотреть примеры:
9)
Найти
,
если
10)
Выразить дифференциал
от
сложной функции
через
производные от функции
и
дифференциалы
от функции
.
-
Пусть
и
дважды
дифференцируемые взаимно обратные
функции. Выразить
через
и
.
§ 2.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача
1. Исходя
из определения производной, найти
.
1.
.
2.
3.
.
4.
5.
6.
7.
8.
.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача
2. Составить
уравнение нормали (в вариантах 1-12) или
уравнение касательной (в вариантах
13-31) к данной кривой в точке с абсциссой
.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
Задача
3. Найти
дифференциал
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
1.
,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 5. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 6. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 7. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 8. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 9. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 10. Найти производную.
1.
2.
3.
4.
5.
