Высшая Математика / Справочники / Справ_2013_08

Міністерство освіти і науки України Одеський національний політехнічний університет

МАТЕМАТИКА

Стислий довідник

для студентів технічних вузів

(на російській мові)

частина I

Затверджено на засіданні кафедри ВММС

Протокол № 10 від 07.05.13

Одеса Наука і техніка

2013

Стислий довідник з математики для студентів технічних вузів/ Укладачі: Л.І. Малигіна, Н.В. Крапива, І.Б. Тостановська.

— Одеса: Наука і техніка, 2013. — 76 с.

Укладачі: Л.І. Малигіна, Н.В. Крапива, І.Б. Тостановська

Під редакцією проф. А.В. Усова

Арифметика и алгебра

Множества

Множество – это совокупность объектов одной и той же природы, объединенных между собой по какому-либо признаку

	Обозначения	Основные операции
	Произвольное множество	Пересечение	Объединение
	А, В,С, …	А Ç В	А È В
	Элементы (объекты) множества
	a, b, c, …	Включение	Разность
	Пустое множество
		A Ì B	A \ B
	Æ

Числовые множества

N = {1,2,3, ...} – множество натуральных чисел

Z0 = {0, 1,2,3,...} – множество целых неотрицательных чисел

Z = {0,±1,± 2,± 3, ...} – множество целых чисел

ì	p			ü
Q = í				p Î Z , q Î N ý	– множество рациональных чисел
î q				þ

Рациональное число – это такое число, которое можно представить в виде обыкновенной несократимой

дроби

Рациональное число – это такое число, которое можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби

Q ( или I ) – множество иррациональных чисел

Иррациональное число нельзя	Иррациональное число – это такое
представить в виде обыкновенной	число, которое можно представить
несократимой дроби или в виде	только в виде бесконечной
бесконечной периодической	непериодической десятичной дроби
десятичной дроби
p = 3,141592... e = 2,718281...	2 =1,414213...	3 = 1,732050...

3

Арифметика и алгебра

R = Q ÈQ − множество действительных чисел

N Ì Z0 Ì Z Ì Q Ì R

X = {x} – произвольное множество действительных чисел x Î X – число х принадлежит множеству Х

Ограниченные множества действительных чисел

Отрезок [a ; b]= {x			a £ x £ b}	Полуоткрытый промежуток
Интервал (a; b)= {x			a < x < b}	[a ; b)= {x		a £ x < b}

Геометрическое изображение действительных чисел

Действительные числа изображаются точками на числовой прямой. Числовая прямая – это прямая с выбранным направлением, началом отсчета и единицей измерения.

Числу ноль ставится в соответствие точка 0, положительные числа изображают точками, расположенными правее т.0, а отрицательные числа

– точками, расположенными левее т.0.

Из двух действительных чисел больше то, которому соответствует точка, расположенная правее на числовой прямой.

-1 0 1 2 x

Модуль действительного числа

Определение

Свойства:

ì

x ,

x > 0

1.

x

³ 0

2.

- x

=

x

3.

x

2 = x2

ï

4.

xy

=

x

×

y

5.

x + y

£

x

+

y

x

= í- x , x < 0

ï

0,

x = 0

x

î

6.

x

=

y

y

Геометрическое

7.

x

< a ,

a > 0

Û

- a < x < a

x

истолкование

− расстояние от

8.

x

> a,

a > 0

Û

éx > a

точки x до точки 0 на

ê

ëx < -a

числовой прямой

4

Арифметика и алгебра

Действия над числами

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

a +b = c

a - b = c

a ×b = c

a : b = c

a ,b – слагаемые

a – уменьшаемое

a, b – сомножители

a – делимое

c – сумма

b – вычитаемое

с – произведение

b – делитель

с – разность

с – частное

a + 0 = a

a – 0 = a

a × 0 = 0

a ×1 = a

Деление с

остатком

Натуральное число а делится на натуральное число b с остатком, если

существуют такие числа m и r, для которых выполняется равенство

a=b×m+r , где r – остаток, 0 < r <b, m – неполное частное

Правило знаков при умножении и делении чисел

(+)×(+) = (+)

(-) ×(-) = (+)

(+) ×(-) = (-)

(+)

= (+)

(-)

= (+)

(-)

(+)

= (-)

(+)

(-)

=

(+)

(-)

Простые и составные числа

Четные и нечетные числа

Если натуральное число p делится

Если натуральное число делится на

только само на себя и на 1, то его

2 нацело, то его называют четным

называют простым

* 2, 4, 6 ,8,10,12, … − четные числа

* 2, 3, 5, 7, 11, …– простые числа

Если натуральное число не делится

Если натуральное число p делится

на 2 нацело, то его называют

само на себя, на 1 и еще на какое-то

нечетным

натуральное число, то его называют

* 3, 5,7, 9,11,13… – нечетные числа

составным

2n, n Î N

– четное число

* 4, 6, 8, 9, 10, … – составные числа

2n -1, n Î N – нечетное число

Основная теорема арифметики

Любое составное натуральное число можно представить единственным

образом в виде произведения простых чисел

5

Арифметика и алгебра

Основные законы сложения и умножения

1. a + b = b + a	– переместительный (коммутативный) закон
a×b = b ×a

2.a +(b +с)= (a +b)+c – сочетательный (ассоциативный) закон a ×(b ×с)= (a ×b)×c

3.(a + b)×c = a × c + b ×c – распределительный (дистрибутивный) закон

Делимость суммы и произведения

(a + b): c = a : c + b : c

(a ×b): c = (a : c)×b = a ×(b : c)

или

a + b

=

a

+

b

или

a×b

=

a

×b =a×

b

c

c

c c

c c

Признаки делимости натуральных чисел

делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулем

На 2

или четным числом.

*

6,

200, 1278

На 3

(9)

делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится

на 3 (9).

*

19002 (сумма цифр 12),

4041 (сумма цифр 9)

делятся те и только те числа, у которых две последние цифры

На 4

(25)

есть нули или выражают число, делящееся на 4 (25).

*

7300, 2216 (16M4),

275 (75M25)

делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулем

На 5

или цифрой 5.

*

330,

1265

На 10

делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулем.

*

60,

51300

НОК (наименьшее общее кратное) – это наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел.

НОД (наибольший общий делитель) – это наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.

* 12 = 22 × 3 , 18 = 32 × 2 , 30=2×3×5

НОК(12, 18, 30) = 22 ×32 × 3×5 = 180, НОД(12, 18, 30) = 2 × 3 = 6

6

Арифметика и алгебра

Названия больших чисел

Для удобства чтения и запоминания больших чисел их цифры разбивают на классы: справа отделяют три цифры (первый класс), следующие три – второй класс и т.д. Последний класс может иметь три, две или одну цифру. Например, в числе 21 365 423 первый класс (423) обозначает число единиц, второй класс (365) обозначает число тысяч, третий класс (21) – число миллионов.

Единицы 4-го, 5-го, 6-го и т.д. классов называют:

миллиард (биллион) – 109					квинтиллион – 1018
триллион –		1012			секстиллион – 10 21
квадриллион – 1015					септиллион –			10 24
			Римская система счисления
I = 1	V = 5		X = 10	L = 50		C = 100		D = 500	M = 1000

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бóльшей, то меньшая вычитается из бóльшей.

* VI = 6		(5+1)	LX = 60 (50+10)
* IV = 4		(5 – 1)	XL = 40 (50-10)
Подряд одна и та же цифра ставится не более 3-х раз.
*	LXX = 70 ,		LXXX = 80 ,	XC = 90 (но не LXXXX)
*	XXVIII = 28 ,		CCCXCVII = 397 ,	MDCCCXVIII = 1818

Двоичная система счисления

Двоичная (или бинарная) система счисления, основанием которой есть число 2, оперирует только с цифрами 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда.

Недостаток двоичной системы состоит в том, что поскольку основание системы мало, для записи даже не очень больших чисел приходится использовать много знаков.

*(38)10 = 3 ×101 + 8 ×100

* (38)2 = 1× 25 + 0 × 24 + 0 × 23 +1× 22 +1× 21 + 0 × 20

*(38)10 = (100110)2

Основные правила сложения и умножения для двоичной системы имеют вид:

0 + 0 = 0	0 + 1 = 1 + 0 = 1	1 +1 = (10)2
0 · 0 = 0	0 · 1 = 1 · 0 = 0	1 · 1 = 1
	7

Арифметика и алгебра

Дроби

a – обыкновенная дробь,																	а – числитель, b – знаменатель, a, b Î N
b
Если a < b , то															Если a ³ b , то дробь													a	a
дробь правильная															неправильная													A b	= A + b (a < b)
																												– смешанное число
*	1	,	3	,				7			– правильные дроби										*	3	,	7		,	5	– неправильные дроби
			4		10																			5			5
2																					2
													Преобразование неправильной дроби
*							27			=		24 + 3		= 6 +		3	= 6	3			– смешанное число
					4
											4		4				4
*						18			= 18 : 3 = 6 – целое число
					3

Основное свойство дроби

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель этой дроби умножить или разделить на одно и то же число не равное нулю.

m	=	m × p	или	m	=	m : p
n n × p				n n : p

p ¹ 0

Сложение и вычитание дробей

с одинаковыми

с разными знаменателями

знаменателями

Используя основное свойство дроби привести

слагаемые к наименьшему общему

a

b

a + b

знаменателю, а затем сложить полученные

+

=

дроби

c

c

c

a

±

c

=

ad ± cb

a

-

b

=

a - b

b

d

bd

c

c

c

*

2

+

5

= [НОК(12,15)= 2 × 2 ×3×5 = 60]=

15

12

=

8

+

25

=

33

=

11

60

60

60

20

8

Арифметика и алгебра

Умножение и деление дробей

a

×

c

=

a × c

a

×c =

a ×c

b d b × d

b

b

a

c

a

d

a × d

a

a

1

a

a

a

1.

:

=

×

=

2.

: c =

×

=

или

b

=

b d b c b × с

b

b c b ×c

c

b × c

3. c :

a

=

c

×

b

=

c ×b

или

c

=

c × b

b 1 a

a

a

a

b

Специальная форма записи десятичной дроби

состоит в том, что сначала записывается целая часть числа, справа от нее ставится запятая, первая цифра после запятой означает число десятых,

	вторая – сотых и т. д. долей единицы. Цифры, стоящие после запятой,
	называются десятичными знаками.
	*	3		73			= 3,73 – десятичная дробь
		100
							Обращение обыкновенной дроби в десятичную
	*			1	=	1				=			125	= 0,125 – конечная десятичная дробь
		8
					2 ×2 ×2 1000
	*	7			= 2,33K = 2, (3 )										– чистая периодическая дробь с периодом 3
		3
	*		5		= 0,833... = 0,8(3 )										– смешанная периодическая дробь с периодом 3
		6
							Обращение периодической дроби в обыкновенную
	*	0, (54) =						54							*	0,2(13) =	213- 2		=			211
								99														990
																990
	*	2, (7) = 2							7						*	5,11(3) = 5		113-11			= 5		102			= 5		17
								9																			150
																900					900
							Стандартный вид положительного числа

Пусть aÎ R+ . Тогда a = a ×10n , где a Î [1;10), n – целое число, называют
	1	1
стандартным видом числа а.
*	3,8×10-2 − стандартный вид числа 0,038
*	2,73×102 − стандартный вид числа 273
		9

Арифметика и алгебра

Отношения и пропорции

Отношением числа a к числу b			Пропорцией называется равенство двух
называется частное чисел a и b			отношений.
Обозначение:			Обозначение:
	a	или a : b		a	=	c	или a : b = c : d
	b			b d
			a и d – крайние члены пропорции
			b и c – средние члены пропорции
		Свойства пропорции
1. Произведение крайних членов			2. Величина пропорции не изменится,

пропорции равно произведению ее если поменять местами ее крайние или

средних членов

средние члены или те и другие

a ×d = b ×c

одновременно

(основное свойство)

a

=

c

Þ

a

=

b

,

d

=

c

,

b

=

d

d

c

b d

c

b

a

a

Деление числа на части прямо и обратно

пропорционально данным числам

Чтобы разделить число А

Чтобы разделить число А

на части x1 и x2 прямо

на части

x1 и x2

обратно

пропорционально данным числам

пропорционально данным числам

а1 и

а1 и а2 , надо воспользоваться

а 2 , надо воспользоваться формулами

формулами

А

х1

=

А

×

1

х

=

× а

1

+

1

а1

1

а1

+

а2

1

а1

а2

А

х2

=

А

×

1

х2

=

× а2

1

+

1

а2

а1

+

а2

а1

а2

10