Одесский национальный морской университет

Кафедра «Техническая кибернетика»

Курсовой проект (робота)

по дисциплине « Численные методы»

на тему: «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка»

Студента: 3 курса 4 группы

Направление подготовки: 0501 – Информатика и вычислительная техника

Специальности: Компьютерные науки

Устича Артура Валентиновича

Руководители:

ст. преп. Тузова И.А.

ст. преп. проф. Челабчи В.Н.

Национальная шкала ________________

Количество балов: __________

Оценка: ECTS _____

Члени комиссии ________________ ___________________________

(подпись) (ФИО)

________________ ___________________________

(подпись) (ФИО)

________________ ___________________________

(подпись) (ФИО)

г. Одесса — 2012 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1 АППРОКСИМАЦИЯ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ А 11

1. 1 Аппроксимация

1. 1.1 Основы методики

В рассматриваемом случае функциональную зависимость Y=f(X) заданную таблично (табулированную) приближенно отражают (аппроксимируют) аналитической функцией, график которой проходит возможно ближе к точкам с координатами (x_i, y_i),но не требуют совпадения значений искомого полинома и табулированной функции в точках (x_i, y_i).При подобной аппроксимации чаще всего используется метод наименьших квадратов и надстройку «Поиск решения».

Последовательность действий:

1. Подлежащая обработке выборка экспериментальных данных представляется на диаграмме набором точек с координатами X,Y(строится точечная диаграмма);

2. Анализируя вид представленной на диаграмме зависимости, можно подобрать аналитическое выражение для аппроксимирующей функции Ya=f(X) и выбрать в первом приближении значения ее коэффициентов;

3. Для уточнения значений коэффициентов аппроксимирующей функции следует организовать таблицу, в колонках которой содержатся: экспериментальные значения X_i,Y_i; значения, полученные для аппроксимирующей функцииYa_iи квадраты невязок (Y_i–Ya_i)². В отдельных ячейках размещаются значения коэффициентов для аппроксимирующей функции и значение суммы квадратов невязок для всей выборки δ. ЗависимостьY =f(X) на диаграмме следует отображать маркерами, аYa =f(X) – сплошной линией;

4. При уточнении значений коэффициентов аппроксимирующей функции следует обратиться к пункту меню Сервис → Поиск решения. В открывшемся диалоговом окнеПоиск решенияв качестве целевой ячейки указывается ячейка содержащая значение δ, а переключательРавной: устанавливается наминимальному значению. В окнеИзменяя ячейкиуказывается перечень ячеек, в которых находятся значения коэффициентов аппроксимирующей функции. Если необходимо установить ограничения на значения коэффициентов следует обратиться к спискуограничения. Для проведения уточнения надо нажать кнопкуВыполнить.

Для оценки состоятельности проведенной аппроксимации можно использовать относительную оценку R²:

Таблица 1.1 – Аппроксимация МНК

i	X	Y	Ya	Y^2	(Y-Ya)^2		41,00	16,00	-0,21	-0,22	0,05	2,26E-06
1,00	0,00	0,50	0,50	0,25	2,14E-06		42,00	16,40	-1,15	-1,15	1,32	1,13E-05
2,00	0,40	0,70	0,70	0,50	4,53E-06		43,00	16,80	-1,89	-1,88	3,56	2,24E-05
3,00	0,80	0,88	0,89	0,78	3,42E-05		44,00	17,20	-2,28	-2,29	5,18	7,58E-05
4,00	1,20	1,01	1,03	1,03	0,000127		45,00	17,60	-2,27	-2,26	5,17	0,000232
5,00	1,60	1,10	1,09	1,21	0,000228		46,00	18,00	-1,78	-1,77	3,15	8,07E-06
6,00	2,00	1,04	1,06	1,09	0,000163		47,00	18,40	-0,87	-0,87	0,75	1,62E-05
7,00	2,40	0,94	0,93	0,88	6,14E-05		48,00	18,80	0,34	0,34	0,11	2,28E-06
8,00	2,80	0,71	0,72	0,51	5,81E-05		49,00	19,20	1,67	1,67	2,78	5,62E-07
9,00	3,20	0,46	0,46	0,21	2,41E-07		50,00	19,60	2,92	2,92	8,50	9,68E-06
10,00	3,60	0,18	0,18	0,03	1,62E-05		51,00	20,00	3,88	3,87	15,03	3,72E-05
11,00	4,00	-0,06	-0,07	0,00	6,15E-06		52,00	20,40	4,34	4,34	18,86	2,43E-07
12,00	4,40	-0,25	-0,24	0,06	2,46E-05		53,00	20,80	4,21	4,21	17,72	1,93E-05
13,00	4,80	-0,29	-0,31	0,08	0,000274		54,00	21,20	3,46	3,46	11,96	2,07E-06
14,00	5,20	-0,27	-0,25	0,07	0,000764		55,00	21,60	2,15	2,15	4,64	7,81E-06
15,00	5,60	-0,06	-0,05	0,00	3,75E-05		56,00	22,00	0,46	0,46	0,21	3,73E-06
16,00	6,00	0,25	0,24	0,06	1,26E-05		57,00	22,40	-1,37	-1,37	1,87	9,72E-07
17,00	6,40	0,62	0,61	0,38	6,6E-05		58,00	22,80	-3,04	-3,04	9,22	7,05E-09
18,00	6,80	0,99	0,99	0,99	3,95E-05		59,00	23,20	-4,26	-4,26	18,12	9,24E-09
19,00	7,20	1,30	1,31	1,70	0,000145		60,00	23,60	-4,79	-4,79	22,90	1,51E-05
20,00	7,60	1,54	1,53	2,37	1,65E-05				27,15		51,41	0,00445
21,00	8,00	1,59	1,60	2,51	0,000238
22,00	8,40	1,50	1,49	2,25	7,75E-05
23,00	8,80	1,21	1,20	1,47	8,67E-05			a=		0,499
24,00	9,20	0,77	0,78	0,59	9,11E-05			b=		0,501
25,00	9,60	0,28	0,27	0,08	0,000147			c=		1
26,00	10,00	-0,24	-0,24	0,06	2,29E-07			d=		0,1
27,00	10,40	-0,67	-0,67	0,45	3,53E-05
28,00	10,80	-0,93	-0,95	0,86	0,000402			R^2=		1
29,00	11,20	-1,00	-1,00	0,99	5,66E-05
30,00	11,60	-0,82	-0,81	0,68	6,09E-05
31,00	12,00	-0,40	-0,39	0,16	2,86E-05
32,00	12,40	0,22	0,21	0,05	1,11E-05
33,00	12,80	0,93	0,92	0,86	9,94E-05
34,00	13,20	1,59	1,61	2,53	0,000278
35,00	13,60	2,19	2,17	4,81	0,00035
36,00	14,00	2,51	2,51	6,30	7,16E-06
37,00	14,40	2,54	2,54	6,44	1,54E-08
38,00	14,80	2,22	2,23	4,95	4,08E-05
39,00	15,20	1,62	1,61	2,64	0,000172
40,00	15,60	0,74	0,75	0,55	0,000187

Результаты аппроксимации представлены на рис. 1.1.