Задачи ОТСУ

3

Задача на тему:

«Методы исследования операций: элементы теории игр»

Альтернативы – то, что мы выбираем (пути или варианты решения проблемы). А то, к чему мы приходим в результате реализации альтернатив, называют исходами.

Различают 3 основных типа зависимости исходов от альтернатив (3 типа связей между ними):

1. Простейший тип связи, когда каждая альтернатива приводит к единственному исходу. В этом случае имеет место функциональная зависимость исходов от альтернатив, и решение принимается в условиях определенности.

2. Более сложный тип связи, когда каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, каждый из которых может произойти с определенной вероятностью. В этом случае имеет место стохастическая зависимость исходов от альтернатив, и решение принимается в условиях риска.

3. Самый сложный тип связи, когда каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, а количественная мера возможности появления последних отсутствует (нет количественной информации). В этом случае имеет место неопределенный тип связи исходов с альтернативами, и решение принимается в условиях неопределенности.

При управлении производством принимать решения очень часто приходится, не имея достаточной информации, то есть в условиях неопределенности и риска.

Методами обоснования решений в условиях неопределенности и риска занимается математическая теория игр. В теории игр рассматриваются такие ситуации, когда имеются 2 участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели. В качестве участников могут выступать коллективы, конкурирующие предприятия и т.д. Во всех случаях предполагается, что операция проводится против разумного противника (конкурента), преследующего свои собственные цели и сознательно противодействующего достижению цели другим участником.

Цель теории игр – выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, то есть выбор оптимальной стратегии поведения для каждого из них.

Теория игр (оценка риска в «играх с природой»).

В случае, когда между сторонами (участниками) отсутствует «антагонизм¹» (например, в процессе работы предприятий и торговых посредников), такие ситуации называют «играми с природой».

Здесь первая сторона принимает решение, а вторая сторона – «природа» – не оказывает первой стороне сознательного, агрессивного противодействия, но ее реальное поведение неизвестно.

Пусть торговое предприятие имеет m стратегий: Т₁, Т₂, …, Т_m и имеется n возможных состояний природы: П₁, П₂, …, П_n. Так как природа не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышем первой стороны для каждой пары стратегий T_i и П_j. Все показатели игры заданы платежной матрицей .

По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш

, (3)

то есть наименьшая из величин в каждой i-й строке как пессимистическая оценка; максимальный выигрыш – то наилучшее, что дает выбор i-го варианта

. (4)

При анализе “игры с природой” вводится показатель, по которому оценивают, насколько то или иное состояние «природы» влияет на исход ситуации. Этот показатель называют риском.

Риск при пользовании стратегией T_i и состоянии «природы» П_j оценивается разностью между максимально возможным выигрышем при данном состоянии «природы» и выигрышем при выбранной стратегии T_i:

(5)

Исходя из этого определения, можно оценить максимальный риск каждого решения:

. (6)

Решения могут приниматься по результатам анализа ряда критериев.

1. Критерий, основанный на известных вероятностных состояниях «природы».

Если известны вероятности состояний «природы» (например, спроса по данным анализа за прошлые годы):

Р₁ = Р(П₁); Р₂ = Р(П₂); … ; Р_n = Р(П_n),

полагая, что Р₁ + Р₂ + …+ Р_j +…+ P_n = 1.

Тогда в качестве показателя эффективности (рациональности, обоснованности) стратегии T_i берется среднее (математическое ожидание) – выигрыш применения этой стратегии:

(7)

а оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значение, то есть

. (8)

Если каждому решению T_i соответствует множество возможных результатов с вероятностями , то среднее значение выигрыша определится

а оптимальная стратегия выбирается по условию .

В этом случае можно воспользоваться и стратегией минимального среднего риска для каждого i-го состояния «природы»:

(9)

2. Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение, например, торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «природы»):

(10)

3. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Здесь представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимизм – пессимизм) придерживаться некоторого компромисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы». В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения будет линейная комбинация минимального и максимального выигрышей и выбирается тот, для которого эта величина окажется наибольшей:

, (11)

где х – показатель пессимизма – оптимизма (чаще всего 0,5).

4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Здесь выбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:

, (12)

чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения.

Комплексный анализ всех этих критериев позволяет в какой-то мере оценить возможные последствия принимаемых решений.

Задание.

Известна матрица условных вероятностей Р_ij продажи старых товаров С₁, С₂, С₃ при наличии новых товаров Н₁, Н₂, Н₃ (см. табл.3).

Таблица 3

Старые товары	Новые товары
	Н1	Н2	Н3
С1	0,6 9	0,3 6	0,6 4
С2	0,2 8	0,7 3	0,2 7
С3	0,1 5	0,4 5	0,5 8

Определить наиболее выигрышную политику продаж.

Решение.

Минимальный выигрыш: .

Минимальный выигрыш при продаже старого товара:

С₁:

С₂:

С₃:

где В₁₂, В₂₂, В₃₁, В₃₂ образуют систему пессимистических оценок выигрыша от продаж старых товаров.

Максимальный выигрыш:.

Максимальный выигрыш при продаже старых товаров:

С₁:

С₂:

С₃:

где В₁₁, В₂₁, В₃₃ образуют систему оптимистических оценок выигрыша от продаж старых товаров.

При анализе «игры с природой» вводится показатель влияния какого-либо состояния «природы» на исход продаж, то есть показатель риска:

каждый из которых составит матрицу рисков (см.табл.4).

Таблица 4

Товары	Н1	Н2	Н3
С1	0	3	5
С2	0	5	1
С3	3	3	0

Максимальное значение риска для каждого решения:

,

то есть при продаже товаров:

С₁:

С₂:

С₃:

Решение о плане продаж принимается, исходя из анализа системы критериев.

Критерий по известным вероятностным состояниям «природы» P_ij: оптимальным считают стратегию, для которой этот показатель наибольший, то есть:

,

где - математическое ожидание выигрыша при i-й стратегии:

где B_ij – результат (выигрыш при применении ij-й стратегии):

=

=

=

Тогда то есть оптимальной стратегией по этому критерию будет продажа изделия С₁.

Максиминный критерий Вальда:

то есть при продаже изделия С₃ гарантируется выигрыш даже в наихудших условиях.

Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица:

,

где х – доля оптимизма – пессимизма (0,5).

,

то есть, исходя из уравновешенной точки зрения, принимается решение о продажах С₁, С₃.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа, по которому принимают решение минимальным значением риска в самой неблагоприятной ситуации:

,

где вычислена по матрице рисков.

что соответствует целесообразности в смысле этого критерия продажам изделия С₃.

Комплексный анализ всех критериев позволяет предположить, что наилучшей стратегией продаж будет продажа изделий Н₁, Н₂, Н₃, С₁, С₃. Изделие С₂ должно быть снято с продаж.

[Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. – Спб.: Издательство «Лань», 2005. – с.128-137]

1 Антагонизм (от греч. antagonisma – спор, борьба) – противоречие, характеризующееся острой борьбой враждебных сил, тенденций.

3