elementarna_matematyka / _ндив_дуальн_ завдання / 7 ᥬ

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Полтавський національний педагогічний університет імені В.Г. Короленка

Фізико-математичний факультет Кафедра математики

ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИКА Індивідуальні завдання

МОДУЛЬ А (7 семестр)

для студентів ІV курсу напряму підготовки 6.040201 „Математика”

Полтава – 2011

2

Варіант	Тема 1	Тема 2	Тема 3	Тема 4	Тема 5
1	1, 20	21, 40	41, 60	61, 80	81, 100
2	2, 19	22, 39	42, 59	62, 79	82, 99
3	3, 18	23, 38	43, 58	63, 78	83, 98
4	4, 17	24, 37	44, 57	64, 77	84, 97
5	5, 16	25, 36	45, 56	65, 76	85, 96
6	6, 15	26, 35	46, 55	66, 75	86, 95
7	7, 14	27, 34	47, 54	67, 74	87, 94
8	8,13	28, 33	48, 53	68, 73	88, 93
9	9, 12	29, 32	49, 52	69, 72	89, 92
10	10, 11	30, 31	50, 51	70, 71	90, 91
11	11, 1	31, 21	51, 41	71, 61	91, 81
12	12, 2	32, 22	52, 42	72, 62	92, 82
13	13, 3	33, 23	53, 43	73, 63	93, 83
14	14, 4	34, 24	54, 44	74, 64	94, 84
15	15, 5	35, 25	55, 45	75, 65	95, 85
16	16, 6	36, 26	56, 46	76, 66	96, 86
17	17, 7	37, 27	57, 47	77, 67	97, 87
18	18, 8	38, 28	58, 48	78, 68	98, 88
19	19, 9	39, 29	59, 49	79, 69	99, 89
20	20, 10	40, 30	60, 50	80, 70	100, 90

3

Тема 1. Многокутники

1.Точки Е, F, M розміщені відповідно на сторонах AB, BC, AC трикутника

	ABC. Відрізок AE складає	1		сторони AB, відрізок BF всладає		1	сторони
	3				6
	BC, відрізок AM складає			2	сторони AC. Знайти відношення площі
			5

трикутника EFM до площі трикутника ABC.

2.На продовженнях медіан AK, BL, CM трикутника ABC узято точки P, Q, R

так, що KP	1	AK,LQ	1	BL,MR	1	CM . Знайти площу трикутника PQR,
2		2		2

якщо площа трикутника ABC дорівнює одиниці.

3.У трикутнику проведено дві прямі, які паралельні його основі і поділяють бічну сторону у відношенні k : l : m (від вершини до основи). У якому відношенні ці прямі поділяють площу трикутника ?

4.Дві сторони трикутника дорівнюють a і b. Через точку третьої сторони проведено прямі, які паралельні двом даним сторонам трикутника і поділяють його на ромб і два трикутники. У якому відношенні ці прямі поділяють площу даного трикутника ?

5.Знайти відношення площі трикутника до площі іншого трикутника,

утвореного з медіан даного трикутника.

6.У трикутнику АВС сторона ВС = а. Точка О поділяє медіану AA1 у

відношенні m:n (від вершини до сторони). Знайти довжину відрізка BC1 1 ,

де B1 і C1 – точки перетину прямих ВО і СО з двома іншими сторонами трикутника.

7.Через точку, взяту вередині трикутника, проведені прямі, паралельні сторонам трикутника. Ці прямі поділяють трикутник на шість частин, три з яких є трикутники, площі яких дорівнюють a, b і с. Знайти площу даного трикутника.

4

8. За стороною а і двома медіанами mb і mc знайти третю медіану m

a

трикутника АВС.

9.Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b. Знайти бісектрису прямого кута.

10.У трикутнику АВС бісектриса АD поділяє його на два трикутники АВD і

АСD, площі яких відносяться, як 1:3. Знайти кути ABC, якщо B 2 C.

11.Знайти довжину відрізка, обмеженого бічними сторонами трапеції, якщо цей відрізок паралельний до основ трапеції і ділить її площу на дві рівні частини.

12.Відстань між основами двох висот ромба, проведених з однієї вершини,

удвоє менша від діагоналі ромба. Обчислити кути ромба.

13.В опуклому чотирикутнику ABCD бісектриса кута АВС перетинає сторону

AD в точці М, а перпендикуляр, опущений з вершини А на сторону ВС,

перетинає ВС у точці N так, що ВN=NС і АМ=2МD. Знайти сторони і

площу чотирикутника ABCD, якщо периметр його дорівнює 5+3,

BAD 90 , ABC 60 .

14.В опуклому чотирикутнику ABCD бісектриса кута BAD перетинає сторону

ВС у точці М, а бісектриса кута АВС перетинає сторону АD у точці N так,

що ВМ=МС, 2АN=ND і АМ ВN. Знайти сторони і площу чотирикутника

ABCD, якщо його периметр дорівнює т. а BAD 60 .

15.У паралелограмі дано гострий кут і відстані т і р від точки перетину діагоналей до нерівних сторін. Визначити діагоналі і площу паралелограма.

16.Дано прямокутну трапецію з основами а, b і меншою бічною стороною с.

Визначити відстані точки перетину діагоналей трапеції від основи а і від меншої бічної сторони.

17.З вершини тупого кута ромба опущено перпендикуляри на його сторони.

Довжина кожного перпендикуляра дорівнює а, відстань між їх основами дорівнює b. Визначити площу ромба.

18.За основами а і b та бічними сторонами с і d трапеції визначити її діагоналі

т і п.

5

19.Дано паралелограм, у якому гострий кут 60 . Визначити відношення довжин сторін, якщо відношення квадратів довжин діагоналей

паралелограма дорівнює 19 .

7

20.Визначити кути паралелограма, якщо дано дві його висоти h1 і h2 і

периметр 2р.

6

Тема 2. Комбінації многокутників. Коло, круг. Вписані кути

21.Обчислити площу спільної частини двох ромбів, діагоналі першого з яких дорівнюють 4 і 6 см, а другий утворено поворотом першого на 90 навколо його центра.

22.Опуклий чотирикутник розділено діагоналями на чотири трикутники; площі трьох із них дорівнюють 10, 20 і 30 см2 , і кожна менша за площу четвертого трикутника. Знайти площу даного чотирикутника.

23.Площа рівностороннього трикутника, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, удвоє більша за площу цього прямокутного трикутника. Знайти відношеннякатетів.

24.На кожній медіані трикутника взято точку, яка ділить медіану у відношенні

1:3, починаючи від вершини. У скільки разів площа трикутника з вершинами в цих точках менша за площу початкового трикутника ?

25.У рівнобедрений трикутник вписано квадрат одиничної площі, одна сторона якого лежить на основі трикутника. Знайти площу трикутника, якщо відомо,

що центроїд трикутника іцентр квадрата збігаються.

26.Площа рівнобедреного трикутника дорівнює третині площі квадрата,

побудованого на основі даного трикутника. Бічна сторона трикутника коротша за його основу на 1 см. Знайти сторони і висоту трикутника, проведену до основи.

27.Рівносторонній шестикутник ABCDEF складено з двох трапецій, що мають спільну основу CF. Відомо, що AC=13 см, AE=10 см. Знайти площу шестикутника.

28.На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з гіпотенузою с зовні цього трикутника побудовано квадрати. Центри цих квадратів сполучено між собою. Знайти площу утвореного трикутника.

29.Даний квадрат із стороною а зрізано по кутах так, що утворився правильний восьмикутник. Визначити площу цього восьмикутника.

7

30.Дано два правильні трикутники площею S, з яких другий утворено поворотом першого трикутника навколо його центра на кут 30 . Обчислити площу перетину цих трикутників.

31.У колі радіуса r проведена хорда довжиною 0,5 r. Через один кінець хорди проведена дотична до кола, а через інший – січна, яка паралельна дотичній.

Знайти відстань між дотичною ісічною.

32.У більшому з двох концентричних кіл проведена хорда довжиною 32 см, яка дотикається до меншого кола. Визначити радіуси обох кіл, якщо ширина утвореного кільця рівна 8 см.

33.Всерединікола радіуса 15 см взято точкуМ на відстані13 см від центра. Через точку М проведена хорда довжиною 18 см. Визначити довжини відрізків, на якіточка М поділяє хорду.

34.У круговий сектор з центральним кутом 120 вписано коло. Знайти його радіус, якщо радіус даного кола дорівнюєR.

35.З точки поза колом проведені дві січні. Внутрішній відрізок першої дорівнює

47 м, а зовнішній – 9 м. Внутрішній відрізок другої січної на 72 м більший, ніж їїзовнішній відрізок. Знайтидовжину другоїсічної.

36.З точки поза колом проведені січна довжиною 20 см і дотична. Знайти довжину дотичної, якщо відношення її зовнішньої частини до внутрішньої рівне 4:5.

37.У колі з центром у точці О проведена хорда АВ, яка перетинає діаметр в точці

М іутворює з діаметром кут, рівний 60 . Знайти ОМ, якщо АМ = 10 см, а ВМ

= 4см.

38.Сторона квадрата, вписаного в коло, рівна а. Знайти площу сегмента, який вона відтинає.

39.Круг радіуса R обкладений чотирма рівними кругами так, що кожні два сусідні круга дотикаються одиндо одного. Знайти площу одного з цих кругів.

40.У точках перетину двох кіл радіусів 4 см і 8 см дотичні до них взаємно перпендикулярні. Визначити площу фігури O1ABO2 , де АВ – спільна дотична до кіл, а O1 і O2 – їх центри.

8

Тема 3. Трикутники, вписані в коло. Трикутники, описані

навколо кола

41.Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, поділяє гіпотенузу на частини, що дорівнюють 5 см і 7 см. Знайти площу трикутника.

42.Знайти сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 24, радіус описаного кола 5, а вписаного – 2.

43.Знайти сторони трикутника, якщо вони є членами арифметичної прогресії,

різниця якої дорівнює 0,25 r, де r – радіус вписаного в трикутник кола.

44.Навколо кола радіуса R описано рівнобедрений трикутник з кутом 120 .

Знайти його сторони.

45.У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює . Знайти основу,

якщо висота трикутника більша від радіуса вписаного в нього кола на т.

46.Висоти трикутника дорівнюють ha,hb і hc . Визначити радіус кола,

вписаного в цей трикутник.

47.У трикутник, сторони якого дорівнюють 5, 6, 7, вписано коло. Знайти відрізки, на які сторони трикутника поділяються точками дотику.

48.У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює . Визначити відношення радіусів описаного та вписаного кіл.

49.Знайти радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник з основою 2а і

висотою h.

50.Визначити площу круга, вписаного в прямокутний трикутник, якщо висота,

опущена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, рівні 25,6 см та 14,4 см.

51.Сторони трикутника рівні 25 см, 24 см і 7 см. Визначити радіуси вписаного та описаного кіл.

52.У прямокутному трикутнику дані катет а і радіус r вписаного кола. Знайти гіпотенузу та інший катет.

9

53.Знайти сторони рівнобедреного трикутника за висотою h та радіусом вписаного кола r.

54.Обчислити сторони рівнобедреного трикутника, якщо радіуси вписаного і описаного кіл рівні 3 см і 8 см відповідно.

55.Катети прямокутного трикутника рівні 3 см і 4 см. Знайти відстань між центрами вписаного і описаного кіл.

56.Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а проекція другого катета на гіпотенузу рівна 16 см. Знайти радіус кола, вписаного в цей трикутник.

57.У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику з колом ділить один з катетів трикутника на відрізки довжиною 6 см і 10 см, рахуючи від вершини прямого кута. Знайти площу трикутника.

58.Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює а, а радіус описаного навколо цього кола трикутника дорівнює r. Знайти довжину бісектриси кута, утвореного цим катетом і гіпотенузою.

59.Радіус описаного навколо прямокутного трикутника кола дорівнює R, а

радіус вписаного в цей трикутник кола – r. Знайти довжину катетів.

60.У трикутнику АВС BC a, AB c, а висота, опущена на сторону АС, рівна h. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника АВС.

10