elementarna_matematyka / _ндив_дуальн_ завдання / 6 ᥬ

Тема 8. Декартові координати на площині

141.На прямій 5x 2y 9 0 знайти точку А, рівновіддалену від точок В (–1;–3) і

С (4;1), та обчислити площу трикутника АВС.

142.Діагоналі ромба дорівнюють 15 і 8 см. Першу діагональ взято за вісь Ох,

другу – за вісь Оу. Скласти рівняння сторін ромба і знайти відстань від початку координат до сторони ромба.

143.Знайти довжину хорди, яка утворюється у результаті перетину прямої

x y 5 0 та кола x 1 2 y 2 2 40.

144.Дано координати двох вершин трикутника А (2; –1), В (–3; 5) та координати точки перетину медіан цього трикутника М (1; 1). Знайти координати вершини С.

145.Дано дві вершини ріностороннього трикутника: А (–2; 2), В (–2; –4). Знайти координати третьої вершини трикутника та його площу.

146.Дано координати середини сторін трикутника: М1 1;2 ,

М2 2; 3 ,

М3 3; 1 . Знайти координати точки перетину медіан цього трикутника.

147.Дано точки А (1; 1), В (6; 6), С (5; 4), D (2; 1). Визначити тип чотирикутника АВСD та знайти кут між його діагоналями.

148.Визначити тип трикутника з вершинами А (2; 1), В (3; 0), С (1; 5) та знайти косинус найбільшого кута.

149.Скласти рівняння кола, описаного навколо трикутника, утвореного прямою

3х у 6 0 та осями координат.

150.Скласти рівняння дотичних, проведених до кола х2 у2 9 з точки М (5; 0).

151.Дано координати вершин чотирикутника А (2; –2), В (–3; 1), С (7; 7),

D

(7; 1). Довести, що АВСD – трапеція, та знайти довжину її середньої лінії.

152.Дано три точки: А (2; 1), В (3; –1), С (–4; 0), які є вершинами рівнобічної трапеції АВСD. Знайти координати точки D, якщо AB kCD.

21

153.Дано вершини трикутника: А (–2; –3), В (–1; 2), С (4; 1). Визначити тип трикутника АВС і скласти рівняння прямої, яка містить висоту, проведену з вершини А.

154.У прямокутній системі координат у першій координатній чверті розміщено рівнобічну трапецію з основами 6 і 10 та кутом 60 при основі так, що більша основа трапеції лежить на вісі абсцис, а одна з вершин збігається з початком координат. Скласти рівняння сторін трапеції.

155.Скласти рівняння кола, що проходить через точки А (2; 0), В (5; 0) і

дотикається до осі Оy.

156.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (2; 3) і утворює з віссю

Ох кут 120 . Знайти площу трикутниика, утвореного цією прямою та осями координат.

157.У коло х2 у2 R2 вписано квадрат АВСD. Знайти R і координати вершин В,

С, D, якщо (5; –12) – координати вершини А.

158.Дано коло х2 у2 9. Скласти рівняння кола, що проходить через початок координат і точку А (1; 0) та дотикається до даного кола.

159.Скласти рівняння кола, що проходить через точку А (2; 1) і дотикається до осей координат.

160.Нехай А – точка перетину прямих 2x 5y 8 0 та x 3y 4 0; О – початок координат. Знайти відстань ОА і скласти рівняння прямої ОА.

22

Тема 9. Вектори на площині

161.Знайти кут між векторами a і b , якщо відомо, що векторa 3b

перпендикулярний до вектора 7a 5b, а вектор a 4b перпендикулярний до

вектора 7a 2b.
162.У рівнобічній трапеції АВСD відомі нижня основа	AB а, бічна сторона
AD b і кут між ними A 60 . Розкласти по a	та b усі вектори, що
складають інші сторони і діагоналі трапеції.

163.Навколо квадрата описане коло. Довести, що сума квадратів відстаней точок кола до вершин квадрата не залежить від вибору цих точок. Знайти цю суму, якщо сторона квадрата дорівнює а.

164.У трикутнику АВС АВ=с, ВС=а, АС=b. Знайти довжину медіани АD.

165.Вектори a і b взаємно перпендикулярні, вектор c утворює з ними кути .

3

Обчислити 3a 2b b 3c , якщо відомо, що a 3, b 5, c 8.

166.Визначте, який кут утворюють одиничні вектори m і n, якщо відомо, що вектори p m 2n і q 5m 4n взаємно перпендикулярні.

167.На сторонах трикутника АВС зовні нього побудовані рівносторонні трикутники АВС1,ВСА1,САВ1 . Знайти суму векторів AА1 ВB1 СС1 .

168.	Дано три ненульових вектори a, b і c, кожні два з яких неколінеарні.
	Знайти їх суму, якщо а b ||c і b c ||a.
169.	На сторонах ВС, СА і АВ трикутника АВС дано відповідно точки A1, B1 і C1
	такі, що AC1 kAB,	BA1 kBC ,		CB1 kCA. Обчислити суму векторів
	AА1 ВB1 СС1 .
170.	Дано трикутник АВС,	AB BC 8,		AB		10,		BC		6. Знайти довжину висоти
	BD, опущеної з вершини В. Визначити, є кут ABC гострим чи тупим.
171.	До кола з центром О проведені з точки М дві дотичні; А і В – точки дотику.
	Розкласти вектор МО за векторами МA і МB , якщо кут АМВ .
			23

172.	У колі проведені радіуси ОА, ОВ, ОС. Знайти величину кута АОВ, якщо
	ОA ОB ОС .
173.	У трикутнику АВС дано: AB 4і 2j, AC 3і 4j , де i і	j – одиничні
	взаємно перпендикулярні вектори. Визначити тип трикутника АВС та
	знайти його площу.
174.	Знайти скалярний добуток векторів AK і BL, якщо AK і BL – медіани
	рівнобедреного трикутника АВС, площа якого дорівнює S, а кут A 120 .
175.	Знайти косинус кута між діагоналями паралелограма	ABCD, якщо

AB a b 3c, AD 4a b c, де a,b,c – одиничні попарно перпендикулярні

вектори.

176.Знайти кут між медіанами катетів рівнобедреного прямокутного трикутника, розташований навпроти гіпотенузи.

177.Нехай a 5m 3n, b 7m 4n, де вектори m і n – неколінеарні. Розкласти вектори m і n за векторами a і b .

178.Дано два вектори OA 1;2 і OB 4; 2 , де О – початок координат. Знайти

довжину відрізка АВ, площу трикутника ОАВ і довжину медіани ОМ.

179.Нехай К і М – середини сторін ВС і СD паралелограма ABCD і

AK a, AM b. Виразити вектори BD і AD через a і b .

180.У колі з центром О проведено дві перепндикулярні хорди АВ і СD, які перетинаються у точці М. Виразити вектор OM через OA,OB,OC і OD.

24

Тема 10. Геометричні перетворнння на площині

181.Протилежні сторони шестикутника ABCDEF попарно паралельні і рівні.

Яку частину площі шестикутника складає трикутник ACE ?

182.Дано трикутник ABC та деяку точку X Побудувати паралелограм BXCY ,

потім інший паралелограм YXAZ . Довести, що існує гомотетія, яка переводить точку X в точку Z , знайти її коефіцієнт і центр.

183.Навколо кола з центром O описано чотирикутник ABCD. Довести, що

AOB COD =180o .

184.Довести, що точка перетину прямих, що містять бічні сторони рівнобічної трапеції, точка перетину її діагоналей та середини основ трапеції належать одній прямій.

185.На сторонах BC, CA, AB правильного трикутника ABC дано відповідно

точки M , N , P . Відомо, що BM :MC = CN : NA = AP:PB = k . Довести, що

MNP – правильний трикутник, знайти MN , якщо BC = a, k = 2.

186.На сторонах AB, AC трикутника ABC зовні побудовано квадрати ABNM та

ACQP. Довести, що MC BP.

187.Довести, що якщо пряма, яка проходить через середини основ трапеції утворює рівні кути з бічними сторонами, то трапеція рівнобічна.

188.Відстань між центрами двох рівних кіл дорівнює a. Пряма, паралельна до лінії центрів перетинає перше коло в точках A та B, друге – в точках C та

D. Знайти довжину відрізка AC .

189.Через точку M дотику кіл R та S проведено січні h і l, що перетинають

коло R (крім точки M ) в точках A та B, а коло S – в точках C і D.

Довести, що прямі AB і CD паралельні.

190.Дано три паралельних, попарно різних відрізка MN , PQ та RS , причому промені MN , PQ та RS співнаправлені. Довести, що три точки перетину пар прямих MP і NQ, MR і NS , RS і QS належать одній прямій; точки

25

перетину пар прямих MQ і NP, QR і PS , RM і NS також належать одній

прямій.

191.Два кола дотикаються в точці A внутрішньо. Січна a перетинає кола в точках M , N , P , Q, розміщених послідовно. Довести, що MAN = PAQ.

192.Довести, що точка перетину медіан трикутника, точка перетину його висот і центр описаного кола лежать на одній прямій.

193.З кінців діаметра BC кола з центром O проведено хорди BA і CD так, що прямі BA і CD не перетинаються. Довести, що AD – діаметр.

194.На стороні AB прямокутника ABCD побудовано трикутник ABE. Довести,

що перпендикуляри (або їх продовження), опущені з точки D на пряму BE,

з точки C на пряму AE та з точки E на пряму AB перетинаються в одній точці.

195.Довести, що якщо в трикутнику дві медіани рівні, то цей трикутник рівнобедрениий.

196.На прямих y = 3x 2 та y = 5x 5 знайти дві точки, що лежать на прямій,

паралельній до Ox . Відстань між точками дорівнює 5.

197.Фігура утворена двома півколами радіуса 2 см, одне з яких одержане з іншого в результаті паралельного перенесення на 1 см у напрямку,

перпендикулярному до діаметра, що сполучає кінці півкола, та двома паралельними відрізками, що сполучають відповідні кінці двох півкіл.

Знайти площу фігури.

198.На прямих y = 3x 1 та

y = 2x 3 знайти відповідно точки A і B, що

знаходяться на однаковій відстані від початку координат O і AOB = 90o .

199.Земельна ділянка квадратної форми була обгороджена. Від огорожі залишилось чотири стовпа на сторонах квадрата. Відтворити межі ділянки.

200.На сторонах CA та CB рівностороннього трикутника ABC відкладено відрізки CM та CN , сума довжин яких дорівнює стороні трикутника.

Знайти MON , де O – точка перетину медіан трикутника.

26

27

28