Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

duskretna_matematuka 3 курс / _ндив_дуальн_ завдання

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
11.02.2016
Размер:
977.43 Кб
Скачать

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України України Полтавський національний педагогічний університет імені В.Г. Короленка Фізико-математичний факультет

Кафедра загальної фізики і математики

ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА Індивідуальні завдання

МОДУЛЬ А

(1 семестр)

для студентів ІІІ курсу напряму підготовки 6.040201 „Математика”

Розробники: Красницький М.П. Редчук К.С.

Полтава – 2012

2

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ МОДУЛЬ А

(рік навчання 3, семестр 1)

ЗАВДАННЯ № 1

Елементи теорії множин. Комбінаторний аналіз

Нижче подано масив задач до окремих тем змістових модулів “Елементи теорії множин”, “Комбінаторний аналіз”. Розв’яжіть задачі варіанту, визначеного для Вас викладачем.

Варіант

 

 

Номери задач

 

 

1

1.1

2.1

3.1

4.1

5.1

2

1.2

2.2

3.2

4.2

5.2

3

1.3

2.3

3.3

4.3

5.3

4

1.4

2.4

3.4

4.4

5.4

5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6

1.6

2.6

3.6

4.6

5.6

7

1.7

2.7

3.7

4.7

5.7

8

1.8

2.8

3.8

4.8

5.8

9

1.9

2.9

3.9

4.9

5.9

10

1.10

2.10

3.10

4.10

5.10

11

1.11

2.11

3.11

4.11

5.11

12

1.12

2.12

3.12

4.12

5.12

13

1.13

2.13

3.13

4.13

5.13

14

1.14

2.14

3.14

4.14

5.14

15

1.15

2.15

3.15

4.15

5.15

16

1.16

2.16

3.16

4.16

5.16

17

1.17

2.17

3.17

4.17

5.17

18

1.18

2.18

3.18

4.18

5.18

19

1.19

2.19

3.19

4.19

5.19

20

1.20

2.20

3.20

4.20

5.20

21

1.21

2.21

3.21

4.21

5.21

22

1.22

2.22

3.22

4.22

5.22

23

1.23

2.23

3.23

4.1

5.23

24

1.1

2.24

3.1

4.9

5.2

25

1.8

2.25

3.8

4.17

5.9

26

1.15

2.1

3.15

4.3

5.16

27

1.22

2.6

3.22

4.11

5.22

28

1.3

2.11

3.6

4.19

5.6

29

1.10

2.16

3.13

4.5

5.13

30

1.17

2.21

3.20

4.13

5.20

3

1.Теорія множин

1.1.На одній з кафедр університету працюють 13 осіб, причому кожен з них знає принаймні одну іноземну мову. 10 осіб знають англійську мову, 7 – німецьку, 6 – французьку. 5 знають англійську і німецьку мову, 4 – англійську і французьку, 3 – німецьку і французьку.

а) Скільки осіб знають усі три мови?

б) Скільки осіб знають рівно дві мови?

в) Скільки осіб знають тільки англійську мову?

1.2. Протягом тижня, на якому проходив колоквіум з математичного аналізу, деканат проводив перевірку відвідування студентами групи М-3 занять з математичного аналізу, алгебри, програмування і дискретної математики. Виявилось, що 3 студенти пропускали математичний аналіз, 10 – алгебру, 11 – програмування і 15 – дискретну математику. Також виявилось, що 2 студенти пропускали заняття з усіх чотирьох предметів, 13 – принаймні з двох, і жоден студент не пропускав заняття рівно з трьох предметів. Скільки студентів не пропустило жодного заняття, якщо група складається з 25 студентів?

1.3.Під час екзаменаційної сесії з чотирьох екзаменів не менше 70 студентів успішно склали екзамен з дискретної математики, не менше 75 – з математичного аналізу, не менше 80 – з алгебри і не менше 85 – з програмування. Яка мінімальна кількість студентів, що склали одночасно всі чотири екзамени, якщо всього було 100 студентів?

1.4.У класі 30 учнів. Із них 15 відвідують математичний гурток, 20 — хімічний, 8 — математичний і хімічний, 7 — гурток з інформатики, 5 учнів відвідують усі три гуртки. Вкажіть скільки учнів не відвідує жодного гуртка.

1.5.Довести тотожність A B A B A.

1.6.Довести тотожність A B A B A.

1.7.Довести тотожність A B A B.

1.8.Довести тотожність A B C A B A C .

1.9.Довести тотожність A B C A B A C .

1.10.Довести тотожність A\ B A A B .

1.11.Довести тотожність A\ B C A C \ B C .

1.12.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={x (x – 2)2 2}, B={x x 0}.

4

1.13.Знайдіть А В, А В, А\В, якщо А={х | х2 – 1 >0}, В={х | –3х +3 <0}.

1.14.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={(x,y) x2+y2 16}, B={(x,y) x2+y2 9}.

1.15.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={(x,y) x2 y2 1}, B={(x,y)x2y2 9}.

25 16

1.16.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={(x,y) x2 y2 1}, B={(x,y)x2+y2 9}.

25 16

1.17.Знайти А В, А В, А\В, якщо А={(x,y)x2+y2 16}, А={(x,y) x2 y2 1},

25 16

1.18.Знайдіть А В, А В, А\В, якщо А = {х х + x – 2 0},

В= {х lg(5 – x) 0}.

1.19.Порівняти множини: А (В\С) і (А В)\С.

1.20.Порівняти множини: А\(В С) і (А\В)\С.

1.21.Порівняти множини: А (В\С) і (А В)\(А С).

1.22.Довести, що існують такі множини А, В і С, що А (В С) (А В) С.

1.23.Довести, що (А В) С=(А В) (В С).

2.Комбінаторні сполуки

2.1.На площині дано n точок, з яких t точок лежать на одній прямій; з решти точок ніякі три не лежать на одній прямій. Скільки прямих можна провести через ці точки? Скільки існує різних трикутників з вершинами в цих точках?

2.2.Скільки сигналів можна подати п'ятьма різними прапорцями, піднімаючи їх в будь-якій кількості і в довільному порядку?

2.3.Для відвідин театру куплено 2n квитків в один ряд партеру. Скількома способами можна розподілити ці квитки між n чоловіками і n жінками так, щоб два чоловіки або дві жінки не сиділи поряд.

2.4.Скільки можна утворити різних тризначних додатних цілих чисел в десятковій системі числення?

2.5.У суб'єкта А 5 червоних і 7 білих фішок, а у В – 7 червоних і 5 білих. А і B викладають по 6 фішок. Скількома способами можна у викладених 12 фішках отримати по 6 червоних і білих?

2.6.Є 5 різнокольорових фішок, які викидаються по 3 в ряд. Скільки існує різних комбінацій з трьох послідовно викладених фішок? Скільки буде комбінацій, якщо одна з фішок має вже певний (один з п'яти) колір?

5

2.7.Скількома способами можна розподілити уроки в шести класах між трьома вчителями, якщо кожен вчитель викладатиме в двох класах?

2.8.Скільки існує натуральних додатних чисел, які є квадратом, кубом або п’ятим степенем деякого натурального числа, і які менші 10000?

2.9.Довести, що кількість натуральних додатних чисел, які діляться на n і не перевищують x, дорівнює [x/n].

2.10.Знайти кількість натуральних чисел, які не перевищують 10000 і не діляться на жодне з чисел 2, 5, 7, але діляться на 11.

2.11. Нехай n = p1a1p2a2...prar – канонічний розклад натурального числа n (n 2) на прості множники. Знайти кількість усіх дільників числа n, які не діляться на квадрат жодного натурального числа, відмінного від 1.

2.12.Скільки існує n-значних натуральних чисел?

2.13.Скільки існує n-значних натуральних чисел (n 3), які діляться на 5 і в запису яких немає цифр 2, 4, 6 і 8?

2.14.Скільки існує n-значних натуральних чисел (n 3), у запису яких є рівно одна цифра 7 і хоча б одна цифра 8?

2.15.Скільки існує n-значних натуральних чисел (n 2), в запису яких є принаймні дві однакові цифри?

2.16.При перевертанні на 180 запису десяткових чисел цифри 0, 1 і 8 не змінюються, цифри 6 і 9 перетворюються одна в одну, а всі інші цифри втрачають смисл. Скільки існує n-значних чисел, які при перевертанні на

180 не втрачають смислу?

2.17.Скільки існує двійкових матриць розміру n m з попарно різними рядками?

2.18.Скільки існує двійкових векторів довжини n, k (k n) координат яких є фіксованими?

2.19.Скількома способами деканат може розподілити 75 студентів по трьох групах так, щоб у кожній групі було 25 студентів?

2.20.Скільки існує послідовностей з n нулів і m одиниць, у яких жодні дві одиниці не стоять поруч?

2.21.Скільки існує послідовностей з n нулів і m одиниць, у яких між кожними двома одиницями є принаймні два нулі?

2.22.Скількома способами 12 однакових куль можна розкласти по п ятьох різних пакетах, щоб жоден пакет не був порожнім?

2.23.У скількох точках перетинаються діагоналі опуклого n-кутника (n 4), якщо жодні три не перетинаються в одній точці.

6

2.24.На клітчастому папері зі стороною клітинки 1 см намальовано коло радіуса r см (r N), що не проходить через вершини клітинок і не дотикається їх сторін. Скільки клітинок перетинає це коло?

2.25.На прямій розташовано n, n 1, точок. Скількома способами їх можна розфарбувати в m, m 2, кольорів так, щоб сусідні точки мали різний колір?

3.Біном Ньютона

3.1.Обчислити :

3.2.Знайти коефіцієнт при х5 у многочлені

3.3.Знайдіть раціональні доданки в розкладі біному:

3.4.Знайдіть раціональні доданки в розкладі біному:

3.5.Знайдіть раціональні доданки в розкладі біному:

3

 

 

 

 

5 .

3

2

3.6. У біноміальному розкладі 3

 

 

1

 

знайдіть доданок, який не містить а.

a2

a

 

 

 

 

 

 

 

3.7.Сума коефіцієнтів першого, другого й третього членів біноміального розкладу (а+b)n дорівнює 46. Знайдіть n.

3.8.Коефіцієнти другого, третього й четвертого членів біноміального розкладу (a b)n утворюють арифметичну прогресію. Визначити n.

3.9. Коефіцієнти четвертого й шостого членів біноміального розкладу (1 x)n 1 рівні між собою. Визначити п.

3.10.Довести, що сума коефіцієнтів у біноміальному розкладі(Зх – 2у)n при будь-якому п дорівнює 1.

3.11.У розкладі бінома 3x 2 n знайти член, що містить х4, якщо коефіцієнт третього члена дорівнює 90.

7

 

 

 

 

1

 

n

3

2

3.12. Знайти показник степеня бінома

 

 

 

 

, якщо відношення

 

 

 

 

3 3

 

 

 

 

 

 

сьомого члена його розкладу від початку до сьомого члена від кінця дорівнює 0,1(6).

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

3.13. У розкладі бінома

 

 

 

z

коефіцієнт четвертого члена відноситься

 

 

z

 

 

 

 

до коефіцієнта шостого члена, як 5:18. Знайти в цьому розкладі доданок, що не залежить від z.

 

 

 

1

6

 

5

 

x

 

 

3.14. Знайти х, якщо п'ятий член розкладу бінома

 

 

дорівнює

.

x

 

 

 

 

 

9

 

3.15.У розкладі бінома a 4a 20 знайти доданок , що містить а7 .

3.16.Коефіцієнти п'ятого, шостого і сьомого членів розкладу бінома (1 + х)п утворюють арифметичну прогресію. Знайти п.

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

6

 

 

1

 

 

 

3.17. При якому значенні х третій доданок розкладу бінома

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4 x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дорівнює 240?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 n

 

 

3.18. Який доданок розкладу бінома z

z

 

 

 

 

містить z5 , якщо сума

 

 

 

 

 

 

 

 

3 z

 

біноміальних коефіцієнтів цього розкладу дорівнює 128?

3.19.Знайти х, у і z, якщо відомо, що другий, третій і четвертий члени розкладу (х + у)z відповідно дорівнюють 240, 720 і 1080.

3.20.Знайти найбільший член розкладу бінома 1 2 50 .

3.21.Коефіцієнти четвертого і шостого членів розкладу бінома (1+х)n+1 рівні між собою. Знайти п.

a

 

3b n

3.22. Знайти показник бінома

 

 

 

, якщо в його розкладі сума всіх

4

5

 

 

 

 

показників степенів числа b дорівнює 36.

3.23. Сума біномінальних коефіцієнтів розкладу (1+х)n+(1+x)n+1 дорівнює 1536. Знайти коефіцієнт при х6.

8

4. Комбінаторні тотожності

n

4.1. Довести, що ( 1)k Cnk = ( 1)mCnm 11 для 1 m n.

km

4.2.Виходячи з комбінаторних міркувань довести, що

для 0 m < n.

 

2009

 

4.3.

Знайти значення суми

( 1)k (C2009k )2009 .

 

k 0

 

 

m

 

= (Cnm)2 для m n.

4.4.

Довести, що CnkCnm kkCnm mk

 

k 0

 

 

 

 

n

 

4.5.

Довести, що n(n+1)n-1 =

Cnkkk 1(n k 1)n k .

k 1

n

4.6.Довести, що (-1)n n! = ( 1)k Cnkkn .

k 1

n

4.7.Обчислити суму ( 1)k (Cnk )2 .

k 0

nCnk

4.8.Обчислити суму k 2 .k 0

4.9.Обчислити суму

4.10.Обчислити суму

n

k2Cnk .

k0 n

(3k 2k )Cnk .

k 0

4.11.Довести тотожність:

4.12.Довести тотожність:

4.13.Довести тотожність:

4.14.Довести тотожність:

9

m m k mCn k 1 = Cn k 0

4.15.Довести тотожність:

4.16.Обчислити суму :

4.17.Обчислити суму :

4.18.Обчислити суму :

4.19.Довести тотожність:

4.20.Довести тотожність:

4.21.Довести тотожність:

4.22.Довести тотожність:

5.Рекурентні співвідношення

5.1.Знайти аналітичну формулу для обчислення суми

n

k3 .

k 1

5.2.Знайти послідовність (an)n N0 за рекурентним співвідношенням та початковими умовами an+3+3an+2-4an+1-12an = 0, a0 = 0, a1 = 10, a2 = 10

5.3.Знайти послідовність (an)n N0 за рекурентним співвідношенням та

початковими умовами: an+3-5an+2-2an+1+24an = 0,

a0 = 13, a1 = 13,

a2 = 115

 

10