Нелінійні сау

Література по темі розділу — другі частини підручників Воронова і Нетушила, а також відповідні розділи нашої електронної книги (релейні САУ).

Ви пам’ятаєте з першої частими курсу, що лінійні системи складають десь 5-10% від усіх САУ, що зустрічаються в практиці інженера. Для лінійних систем є загальні методи аналізу і синтезу.

Сьогодні ми переходимо до вивчення нелінійних систем, що складають 90%. Для нелінійних систем таких загальних методів не існує. Ви можете заперечити - є другий метод Ляпунова аналізу стійкості нелінійних систем. Але цей метод не є вичерпним рецептом і алгоритмом - там треба спочатку винайти або сконструювати функцію Ляпунова. Загальних рутинних методів для нелінійних систем не існує.

Чому ми так пізно починаємо вивчати нелінійні САУ?

1. Тому, що це відповідає програмі курсу.

2. Тому, що це відповідає традиціям ТАУ

3. Тому що ми їх вже давно вивчаємо: перша частина почалась з лінеаризації. Потім на протязі семестру ми вивчали фактично поведінку нелінійних систем при малих відхиленнях від номінальних режимів.

Тепер переходимо до безпосереднього вивчення нелінійних систем.

Нелінійні системи. Визначення. Характеристики.

До нелінійних систем відносять всі системи, котрі не можуть бути описані лінійними диференціальними рівняннями. Множина нелінійних систем настільки широка і різноманітна, що практично не можна говорити про єдиний клас нелінійних систем, що протистоїть класу лінійних систем. Розглянемо більш вузький але широко розповсюджений в практиці управління, клас нелінійних систем, що характеризуються слідуючими особливостями: систему можна представити в вигляді з'єднання двох частин - лінійної частини ЛЧ, що описується лінійними звичайними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами, і нелінійного елементу НЕ.

Нелінійний елемент є безінерційним, і його вхіднаX і вихідна Y величини зв'язані між собою нелінійними алгебраїчними рівняннями. Таким чином нелінійність систем, що розглядаються обумовлена нелінійністю статистичної характеристики одного з її елементів.

Приклади нелінійних елементів

1. Двофазний асинхроний двигун;

2. Тріод;

3. Гідропривід;

4. Магнітній підсилювач;

5. Аеродинамічні рулі літаючих апаратів.

Класифікація нелінійностей

Нелінійності діляться на:

1. статичні: ;

2. динамічні:

Статичні нелінійності можна класифікувати по слідуючим показникам:

1) симетрія:

а) чітко симетричні (симетричні відносно осі ординат);

б) нечітко симетричні (симетричні відносно початку кординат);

в) несиметричні;

2) гладкість:

• гладкі;

• ломані (косочно-лінійні);

3) однозначність:

• однозначні;

• багатозначні.

Типові нелінійності

В першій частині для лінійних систем ми розглядали типові елементарні ланки - «алфавіт лінійних систем»

(хто може назвати усі елементарні ланки - 4бали?)

Аналогічний «алфавіт» існує і для статичних нелінійностей.

Довільну статичну нелінійність можна скласти з цих типових.

Вибір „типових” не лінійностей базується на практиці - типовими вважаються ті нелінійності, що найчастіше зустрічаються в інженерній практиці. Розглянемо послідовно ці типові нелінійності.

1) "Зона нечутливості"

Такими характеристиками володіють деякі схеми електричних, магнітних та гідравлічних підсилювачів в області малих вхідних сигналів.

2) "Обмеження" (або "насичення").

Подібними характеристиками володіють практично всі реальні підсилювачі, обмежені в області великих вхідних сигналів по потужності.

3) "Обмеження з зоною нечутливості".

При малих вхідних сигналах ланка поводить себе подібно до ланки типу "зони нечутливості", а при великих - ланки типу "обмеження".

4) "Гістерезис".

Двухпозиційне, трьохпозиційне реле з гістерезиса.

5) "Люфт".

Найбільш часто зустрічаються в механічних системах, пов'язана з наявністю зазорів в системі передачі (кермо автомашини).

6) "Упор"

В механічних системах переміщення однієї з частин обмежено в двох напрямках, при цьому ведуча частина може необмежено переміщуватися.

7) "Релейна характеристика"

Досконале поляризоване реле

8) "Релейна зона нечутливості"

Трьохпозиційне реле з зоною нечутливості.

9) "Релейна характеристика з гістерезисом"

Трьохпозиційне реле з зоною нечутливості і з гістерезисом

З’єднання нелінійних ланок

Типові нелінійні ланки і їх нормовані характеристики були введені Л.С. Гольдфарбом в 1947 році.

З типовими нелінійними ланками і їх характеристиками можна оперувати подібно тому, як ми це робили з елементарними лінійними ланками.

Згадаємо типові з’єднання для лінійних ланок:

1. Послідовне

2. Паралельне

3. Зворотній зв’язок

Спробуємо отримати вирази для характеристик таких же з’єднань нелінійних ланок

1. Послідовне з’єднання

Наприклад:

Між іншим, якщо для лінійних систем:

то для нелінійних систем

в загальному випадку!

2. Паралельне з’єднання

Наприклад:

Зрівняйте з лінійними системами:

3. З’єднання зі зворотнім зв’язком

Малюємо схему з’єднання зі зворотнім зв’язком.

f1, f2 – нелінійні оператори

Записуємо передаточну функцію для лінійної системи із ЗЗ:

Цю формулу Ви усі пам’ятаєте. Але чи пам’ятаєте, як виводиться ця формула? Виведіть формулу самостійно! За це можете отримати 5 балів.