Міністерство освіти і науки України Національний університет водного господарства та природокористування

О.Л. Брушковський

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Інтегральне числення функції однієї змінної. Звичайні диференціальні рівняння

Частина ІІ

Інтерактивний комплекс навчально­методичного забезпечення дисципліни

Кредитно­модульна система організації навчального процесу

Для студентів напряму підготовки 6.060101 “Будівництво”

Рівне 2008

УДК 510.6 (073) ББК 22.11 (Я7­6)

Б 89

Затверджено вченою радою Національного університету водного господарства та природокористування

(Протокол №10 від 26 вересня 2008 р.)

Рецензенти:

Мізюк В.Г., кандидат фізико­математичних наук, доцент Національного університету водного господарства та природокористування; Гордієнко І.З., кандидат технічних наук, доцент Національного універси­ тету водного господарства та природокористування.

Брушковський О.Л.

Б 89 Вища математика. Інтегральне числення функції однієї змінної. Звичайні диференціальні рівняння. Частина ІІ. Інтерактивний комплекс навчально­методичного забезпечення. — Рівне: НУВГП, 2008. ­266 с.

Інтерактивний комплекс навчально­методичного забезпечення дисцип­ ліни “Вища математика” містить тематичний план та розподіл навчального часу за структурою дисципліни, робочу програму, методичні рекомендації до вивчення курсу, питання для самоконтролю за окремими блоками робочої програми, зразки модульних контрольних робіт, методичні поради і завдання до їх виконання, завдання для індивідуальної роботи за темою “Невизначений інтеграл”, тексти контрольних робіт для студентів заочної форми навчання, методичні поради до їх виконання, питання і тестові завдання для підготовки до іспиту та список рекомендованої літератури. Для студентів І курсу напряму підготовки 6.060101 “Будівництво” (ІІ семестр).

УДК 510.6 (073) ББК 22.11 (Я7­6)

©Брушковський О.Л., 2008

©Національний університет водного господарства та природокористування, 2008

1.Зміст навчальної дисципліни

1.1Структура програми курсу “Вища математика”

ІІСЕМЕСТР

Опис предмета навчальної дисципліни

Денна форма навчання

Призначення:	Напрям, спеціаль­	Характеристика
підготовка бака­	ність, освітньо­	навчальної дисцип­
лаврів	кваліфікаційний	ліни
	рівень
Кількість	Напрям: 6.060101	Обов'язкова,
кредитів,відповідних	“Будівництво”	нормативна
ECTS­4	Освітньо­	Рік підготовки: 1
Модулів ­2	кваліфікаційний	Семестр: 2
Змістових	рівень – бакалавр	Лекції: 30 год.
модулів – 3		Практичні: 36 год.
		Самостійна та
Загальна кількість		індивідуальна робота:
годин: 135		69 год.
Тижневих годин:		Вид контролю:
аудиторних – 4		іспит
Самостійної
роботи ­ 5

3

Заочна форма навчання

Призначення:	Напрям, спеціаль­	Характеристика
підготовка бака­	ність, освітньо­	навчальної дисцип­
лаврів	кваліфікаційний	ліни
	рівень
Кількість	Напрям: 6.060101	Обов'язкова,
кредитів,відповідних	“Будівництво”	нормативна
ECTS­4		Рік підготовки: 1
Модулів ­2	Освітньо­	Семестр: 2.
Змістових	кваліфікаційний	Лекції: 6 год.
модулів – 3	рівень – бакалавр	Практичні: 8 год.
Контрольних ро­		Самостійна робота:
біт ­ 1		121 год.
Загальна кількість
годин: 135		КР­2 «Інтегральне
		числення функції
		однієї змінної.
		Диференціальні
		рівняння».
		Види контролю:
		іспит

4

1.2 Робоча програма Лекції

Змістовий модуль №1. Невизначений інтеграл

Тема 1. Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.

Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла. Означення невизначеного інтеграла, теорема існування, геометричний зміст, основні властивості. Таблиця основних невизначених інтегралів. Приклади інтегралів, що не являються елементарними функціями. Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала.

Інтегрування підстановкою. Інтегрування частинами. Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний тричлен.

Тема 2. Інтегрування раціональних, тригонометричних та ірраціональних функцій.

Поняття комплексних чисел; дії над ними. Розв’язування квадратного рівняння в комплексній області. Поняття про тригонометричну і показникову форми комплексного числа. Формули Ейлера.

Многочлени. Ділення многочленів. Основна теорема алгебри про розклад многочлена на множники. Теорема Безу. Раціональні дроби, їх види. Розклад правильного раціонального дробу на суму найпростіших. Методи знаходження коефіцієнтів розкладу. Інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтегрування дробово­раціональних функцій.

Інтегрування деяких тригонометричних виразів за допомогою універсальної та інших тригонометричних підстановок. Інтегру­ вання добутків тригонометричних функцій.

5

Інтегрування ірраціональних виразів, які виражаються через аргумент, лінійну або дробово­лінійну функцію з дробовими показ­ никами. Раціоналізація інтегралів за допомогою тригонометричних підстановок.

Змістовий модуль №2. Визначений інтеграл

Тема 3. Означення, властивості та обчислення визначеного інтеграла. Невласні інтеграли.

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Означення, теорема існування, геометричний і фізичний зміст та основні властивості визначеного інтеграла. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею, теорема про похідну такого інтеграла. Формула Ньютона­Лейбніца. Заміна змінної і інтегрування части­ нами у визначеному інтегралі.

Невласні інтеграли першого і другого роду. Дослідження збіжності невласних інтегралів.

Тема 4. Геометричні та деякі фізичні застосування визначеного інтеграла.

Довжина дуги кривої. Обчислення довжини дуги кривої в декартових і полярних координатах.

Площа криволінійної трапеції в декартових координатах. Площа плоскої фігури при параметричному заданні границі. Обчислення площі плоскої фігури в полярних координатах.

Обчислення об’ємів тіл. Обчислення площі поверхні тіла обертання. Деякі фізичні застосування визначеного інтегралу (обчислення шляху, роботи, сили тиску).

6

Змістовий модуль №3. Звичайні диференціальні рівняння

Тема 5. Диференціальні рівняння І порядку.

Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші.

Рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

Тема 6. Диференціальні рівняння вищих порядків. Системи дифе­ ренціальних рівнянь.

Основні поняття. Задача Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші. Поняття про крайові задачі. Рівняння вищих порядків, що допускають пониження порядку.

Основні поняття теорії лінійних диференціальних рівнянь. Лінійний диференціальний оператор і його властивості. Лінійні однорідні диференціальні рівняння, основна властивість їх розв’язків. Лінійна залежність функцій. Визначник Вронського. Необхідна умова лінійної залежності довільної системи функцій.

Необхідна і достатня умови лінійної незалежності системи функцій, що є розв’язками лінійного однорідного диференціального рівняння. Фундаментальна система розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Теорема про структуру його загального розв’язку. Формула Остроградського­Ліувілля.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Знаходження загального розв’язку за допомогою характеристичного рівняння. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n­го порядку із сталими коефіцієнтами.

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння, Теорема про структуру загального розв’язку. Знаходження загального розв’язку неоднорідних рівнянь другого порядку з сталими коефіцієнтами у

7

випадку, коли права частина має спеціальний вид. Принцип суперпозиції часткових розв’язків. Лінійні неоднорідні дифе­ ренціальні рівняння n­го порядку із сталими коефіцієнтами. Метод Лагранжа варіації довільних сталих.

Тема 7. Системи диференціальних рівнянь.

Поняття про систему диференціальних рівнянь та її розв’язки. Задача Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Розв'язування задачі Коші методом виключення.

Практичні заняття

№		Теми практичних занять					Кількість
п/п							годин
							Денна	Заочна
							форма	форма
1				2			3	4
1	Невизначений інтеграл. Безпосереднє інтегрування.						2
2	Інтегрування підведенням під знак диференціала						2
3	Заміна	змінної	і	інтегрування	частинами		2	1
	невизначеного інтегралу.
4	Інтегрування деяких функцій, що містять
	квадратний тричлен.
5	Інтегрування найпростіших раціональних дробів					.	2
	Розклад правильних раціональних дробів на
	найпростіші.
6	Інтегрування дробово­раціональних функцій						2	1
7	Інтегрування тригонометричних виразів.						2	1

8