Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА

.pdf
Скачиваний:
107
Добавлен:
12.02.2016
Размер:
1.45 Mб
Скачать

Міністерство освіти і науки України Національний університет водного господарства та природокористування

О.Л. Брушковський

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Ряди. Основи теорії ймовірностей та математичної статистики

Частина ІV

Європейська кредитно­трансферна система

Для студентів напряму підготовки 6.060101 “Будівництво”

Рівне 2010

1

УДК 510.6 (073) ББК 22.11 (Я7­6)

Б89

Затверджено вченою радою Національного університету водного господарства та природокористування

(Протокол №5 від 28 травня 2010 р.)

Рецензенти:

Мізюк В.Г., кандидат фізико­математичних наук, доцент Національного університету водного господарства та природокористування; Гордієнко І.З., кандидат технічних наук, доцент Національного універси­ тету водного господарства та природокористування.

Брушковський О.Л.

Б89 Вища математика. Ряди. Основи теорії ймовірностей та математичної статистики. Частина ІV. Навчальний посібник. Рівне: НУВГП, 2010.

246 с.

Навчальний посібник містить тематичний план та розподіл навчального часу за структурою дисципліни, робочу програму, методичні рекомен­ дації до вивчення теоретичної частини курсу, стислі конспекти лекцій, питання для самоконтролю, зразки модульних контрольних робіт, методичні поради до виконання модульних контрольних робіт, завдання для індивідуальної роботи, тексти контрольних робіт для студентів заочної форми навчання (30 варіантів), методичні поради до їх виконання, необхідний довідковий матеріал, питання і тестові завдання для підготовки до захисту контрольної роботи та список рекомендованої літератури.

Для студентів ІІ курсу напряму підготовки 6.060101 “Будівництво” (ІV семестр).

УДК 510.6 (073) ББК 22.11 (Я7­6)

©Брушковський О.Л., 2010

©Національний університет водного господарства та природокористування, 2010

2

1.Зміст навчальної дисципліни

1.1Структура програми курсу “Вища математика”

IV СЕМЕСТР

Опис предмета навчальної дисципліни

Денна форма навчання

Призначення:

Напрям, спеціаль­

Характеристика

підготовка

ність, освітньо­

навчальної

бакалаврів

кваліфікаційний

дисципліни

 

рівень

 

 

 

 

Кількість

Напрям: 6.060101

Обов'язкова,

кредитів,відповідних

“Будівництво”

нормативна

ECTS – 4,5

 

Рік підготовки: 2

Модулів – 2

 

Семестр: 4

Змістових

Освітньо­

Лекції: 36 год.

модулів – 3

Практичні: 36 год.

кваліфікаційний

 

Самостійна та

 

рівень – бакалавр

Загальна кількість

індивідуальна

 

годин – 162

 

робота: 90 год.

Тижневих годин:

 

Види контролю:

аудиторних – 4

 

іспит

Самостійної

 

 

роботи – 5

 

 

 

 

 

3

Заочна форма навчання

Призначення:

Напрям, спеціаль­

Характеристика

підготовка

ність, освітньо­

навчальної

бакалаврів

кваліфікаційний

дисципліни

 

рівень

 

 

 

 

Кількість

Напрям: 6.060101

Обов'язкова,

кредитів,відповідних

“Будівництво”

нормативна

ECTS – 4

 

Рік підготовки: 2

Модулів – 2

Освітньо­

Семестри: 4.

Змістових

кваліфікаційний

Лекції: 0 год.

модулів – 3

рівень – бакалавр

Практичні: 4 год.

Контрольних

 

Самостійна робота:

робіт – 1

 

158 год.

Загальна кількість

 

КР­4 «Ряди. Теорія

годин – 162

 

ймовірностей».

 

 

Види контролю:

 

 

іспит

 

 

 

1.2 Робоча програма Лекції

Змістовий модуль 1. Ряди Тема 1.Числові ряди

Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні теореми про збіжні числові ряди. Необхідна ознака збіжності числових рядів, її недостатність.

Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Знакозмінні і знакопереміжні числові ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Теорема Лейбніца.

4

Тема 2. Степеневі ряди і їх застосування до наближених обчислень

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Основні властивості степеневих рядів.

Ряди Тейлора і Маклорена. Необхідна і достатня умови розкладу

функції в ряд Тейлора.

Розклад в степеневий ряд функцій:

e x ;

ex ;

sh x;

ch x ;

sin x ;

cos x ,

логарифмічної

та

обернених тригонометричних функцій. Біноміальний ряд. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення значень функцій і визначених інтегралів та наближеного інтегрування диференціальних рівнянь.

Тема 3. Ряди Фур’є та основи рівнянь математичної фізики

Ортогональність системи тригонометричних функцій (без доведення). Поняття ряду Фур’є. Знаходження коефіцієнтів ряду

Фур’є для функції з періодом 2

. Поняття про теорему Діріхле.

Розклад в ряд Фур’є парних і

непарних функцій з періодом

2 . Приклади розкладу. Розклад в ряди Фур’є для функцій з

довільним періодом. Розклад в ряд Фур’є неперіодичних функцій, парне і непарне продовження.

Основні поняття про диференціальні рівняння в частинних похідних. Диференціальні рівняння ІІ­го порядку в частинних похідних і їх класифікація. Хвильове рівняння і його розв’язання методом Фур’є відокремлення змінних. Рівняння теплопровідності і його розв’язання методом Фур’є.

Змістовий модуль 2. Основи теорії ймовірностей Тема 4. Основні поняття і теореми

Масові випадкові явища. Предмет теорії ймовірностей. Події та їх класифікація. Алгебра подій. Частоти і їх властивості.

5

Ймовірність події. Аксіоми теорії ймовірностей

Класичний, геометричний і статистичний методи визначення базових ймовірностей. Елементи комбінаторики. Біном Ньютона. Властивості ймовірностей (ймовірність появи протилежної події, ймовірність появи неможливої події, теорема додавання ймовірностей будь­яких двох подій, умовна ймовірність, теорема добутку ймовірностей, теорема добутку ймовірностей для незалежних подій). Поняття про формулу повної ймовірності і формули Байєса.

Послідовність незалежних випробувань. Схема Бернуллі. Фор­ мула Бернуллі. Найімовірніша частота появи події в незалежних пробах. Граничні теореми Лапласа і Пуассона.

Тема 5. Випадкові величини

Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини. Функція розподілу та її властивості.

Розподіл дискретних випадкових величин. Типові розподіли дискретних випадкових величин: біноміальний і пуассонівський. Неперервний і абсолютно неперервний розподіли. Функція розподілу і щільність розподілу абсолютно неперервних випадкових величин. Властивості щільності розподілу. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини у заданий інтервал. Типові розподіли неперервних випадкових величин: рівномірний, нормаль­ ний. Крива Гауса.

Ймовірність попадання у заданий інтервал і ймовірність заданого відхилення для нормально розподіленої випадкової величини. Правило трьох сигм.

6

Математичне сподівання і дисперсія випадкових величин та їх властивості. Математичне сподівання і дисперсія при типових розподілах випадкових величин. Початкові і центральні моменти.

Нерівність Чебишова. Закон великих чисел для послідовності незалежних випадкових величин. Теореми Чебишова і Бернуллі. Поняття про центральну граничну теорему.

Змістовий модуль 3. Основи математичної статистики Тема 6. Основи математичної статистики

Генеральна сукупність і вибірка. Репрезентативність вибірки. Таблиця випадкових чисел. Задачі математичної статистики. Групування вибіркових даних. Емпіричні ряди розподілу, їх графічне зображення. Числові характеристики одномірної вибірки (вибіркові середні, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення).

Статистичні оцінки параметрів розподілу. Вимоги до статистич­ них оцінок. Точкові оцінки. Інтервальні оцінки. Надійний інтервал. Знаходження надійного інтервалу для математичного сподівання і середнього квадратичного відхилення.

Тема 7. Статистичні гіпотези. Елементи теорії кореляції

Статистичні гіпотези. Перевірка статистичних гіпотез. Поняття про критерії узгодження. Критерій Пірсона.

Елементи теорії кореляції. Системи випадкових величин. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції.

Регресія. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Емпірична лінія регресії і вибіркове рівняння прямої регресії.

7

Практичні заняття

Теми практичних занять

Кількість годин

 

 

 

 

 

п/п

 

 

Денна

Заочна

 

 

 

форма

форма

 

 

 

 

 

1

2

 

3

4

 

 

 

 

1

Необхідна ознака збіжності числових

2

1

 

рядів, її недостатність.

 

 

 

 

Достатні ознаки збіжності

числових

 

 

 

рядів з додатними членами.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Достатні ознаки збіжності

числових

2

 

 

рядів з додатними членами.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Достатні ознаки збіжності

числових

2

1

 

рядів з додатними членами.

 

 

 

 

 

 

 

4

Знакозмінні і знакопереміжні числові

2

 

 

ряди. Абсолютна і умовна збіжність.

 

 

 

Теорема Лейбніца.

 

 

 

 

 

 

 

5

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Зна­

2

 

 

ходження радіуса збіжності та області

 

 

 

збіжності степеневого ряду.

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Застосування степеневих

рядів до

2

1

 

наближених обчислень.

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Елементи комбінаторики.

Події і їх

2

 

 

класифікація. Математична і статистич­

 

 

 

на ймовірність події.

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Теореми додавання і

множення

2

 

 

ймовірностей та їх застосування.

 

 

 

 

 

 

 

8

9

Формула

 

повної

ймовірності.

2

 

 

Формули Байєса.

Формула Бернуллі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Локальна

 

та

інтегральна

теореми

2

 

 

Лапласа.

 

Формула

 

Пуассона.

 

 

 

Найімовірніша частота появи події в

 

 

 

незалежних пробах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Дискретні випадкові величини, ряд

2

1

 

розподілу.

Знаходження

числових

 

 

 

характеристик.

Закони

розподілу:

 

 

 

біноміальний і Пуассона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Неперервні

 

випадкові

величини:

2

 

 

функція розподілу і щільність розпо­

 

 

 

ділу, ймовірність попадання у заданий

 

 

 

інтервал, числові характеристики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

Рівномірний

і

нормальний

закони

2

1

 

розподілу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

Основи математичної статистики.

2

 

 

Групування вибіркових даних.

 

 

 

 

 

 

15

Емпіричні ряди розподілу, їх графічне

2

 

 

зображення.

Числові

характеристики

 

 

 

одномірної вибірки. Статистичні оцінки

 

 

 

параметрів розподілу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

Перевірка

статистичних

гіпотез.

2

 

 

Критерій Пірсона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

Числові

характеристики

 

системи

2

 

 

двох випадкових величин.

 

 

 

 

 

 

 

 

18

Коефіцієнт кореляції. Регресія.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Всього:

 

 

 

36

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

1.3 Структура залікового кредиту

 

 

 

Кількість годин

 

 

 

 

 

 

 

Назви тем, змістових модулів

Лекцій

Практич­

Самос­

Разом

 

них

тійна і

 

 

 

 

 

індиві­

 

 

 

 

 

дуальна

 

 

 

 

 

робота

 

 

 

 

 

 

 

Змістовий модуль 1.

Ряди.

12/0

12/2

40/62

64/64

 

 

 

 

 

 

Тема 1.

 

6/0

6/1

8/19

20/20

 

 

 

 

 

 

Тема 2.

 

6/0

6/1

8/19

20/20

 

 

 

 

 

 

Тема 3.

 

 

 

24/24

24/24

 

 

 

 

 

Змістовий модуль 2. Основи

12/0

14/2

22/46

48/48

теорії ймовірностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 4.

 

6/0

8/1

10/23

24/24

 

 

 

 

 

 

Тема 5.

 

6/0

6/1

12/23

24/24

 

 

 

 

 

 

Змістовий модуль 3.

Основи

12/0

10/0

28/50

50/50

математичної статистики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 6.

 

6/0

4/0

15/25

25/25

 

 

 

 

 

 

Тема 7.

 

6/0

6/0

13/25

25/25

 

 

 

 

 

 

Всього годин

 

36/0

36/4

90/158

162/162

 

 

 

 

 

 

10