1. Основні положення з розрахунку згинальних елементів

Розрахунок згинальних елементів, найбільш розповсюдженими з яких є балки, виконують за граничними станами двох груп.

За першою групою виконують розрахунки:

1. втрати міцності за нормальними, дотичними та зведеними напруженнями (відповідно , , _red);

2. втрати загальної та місцевої стійкості.

За граничними станами другої групи виконують розрахунок балки за деформаціями.

1.1. Розрахунок на міцність

Як приклад розглянемо однопролітну балку довжиною l, яка завантажена рівномірно розподіленим погонним навантаженням q (рис. 1) і яка має форму поперечного перерізу у вигляді двотавра (рис. 2, а).

Рис. 1. Розрахункова схема балки де

За дії невеликих навантажень, тобто, якщо напруження в балці знаходяться в межах пружної роботи матеріалу, епюра нормальних напружень  має трикутну форму (рис. 2, б). Із збільшенням зовнішнього навантаження  також збільшуються і у разі досягнення напруженнями в крайових (фібрових) волокнах значень у настає граничний стан пружної роботи матеріалу (рис. 2, в). У цьому випадку міцність балки перевіряють за формулами для визначення нормальних і дотичних напружень: ; (1) , (2)

Тобто, граничний стан досягається, якщо (3)

і (або) (4)

а) б) в)

Рис. 2. Граничні стани за згину

а) форма поперечного перерізу;

б) епюри напружень в умовах пружної роботи матеріалу;

в) епюри напружень в умовах пружно-пластичної роботи матеріалу

Якщо значення напружень у фібрових волокнах досягли значень межі текучості, то несуча здатність перерізу ще не вичерпана, тому що всі внутрішні волокна знаходяться в пружному стані і здатні сприймати збільшення зовнішнього навантаження. Дійсно, граничний стан пружно-пластичної роботи матеріалу настає тоді, коли під впливом навантаження напруження текучості поширюються вглиб перерізу і охоплюють всі його волокна (див. рис. 2, в).

Рис. 3. Розвиток шарніру пластичності

При цьому на рівні нейтральної осі балки в перерізі з максимальним згинаючим моментом з’являється так званий шарнір пластичності 1, в якому ліва та права частини балки ніби повертаються одна відносно одної, та зони текучості матеріалу 2 (рис. 3), виникнення яких обумовлене видовженням та укороченням волокон, які знаходяться відповідно у розтягнутій та стиснутій зонах, без збільшення зовнішнього навантаження.

Норми [9] дозволяють враховувати пружно-пластичну роботу матеріалу, якщо виконуються такі умови:

1. балка є розрізною; 2) елемент має суцільний переріз; 3) межа текучості сталі R_yМПа; 4) навантаження тільки статичне; 5) елемент закріплений від втрати загальної стійкості; 6) задовільняється місцева стійкість, тобто_loc = 0; 7) значення дотичних напружень   0,9R_s (крім опорних перерізів) за згину в одній з головних площин і   0,5R_s (крім опорних перерізів) за згину в двох головних площинах.

Якщо всі перераховані умови виконуються, то

, (5)

де W_pl - момент опору, який враховує розвиток пластичних деформацій у перерізі (він відбиває стан, коли напруження у всіх волокнах перерізу досягли значення межі текучості); W_pl = bh²/4, і оскільки статичний момент половини перерізу балки відносно нейтральної осі S = =bh²/8, то W_pl = 2S; с₁ - коефіцієнт, який враховує розвиток пластичних деформацій, (тобто збільшення несучої здатності перерізу) від дії нормальних, дотичних та сумарних напружень.

Якщо стінка згинального елемента має послаблення (рис. 4), то  необхідно помножити на коефіцієнт , який враховує наявність цих послаблень.

Рис.4. Послаблення стінки балки отворами

Розраховуючи міцність стінки балки у місцях прикладання навантаження до верхнього поясу, а також в опорних перерізах балки, не зміцнених ребрами жорсткості (рис. 5), необхідно визначати місцеві напруження

, (6)

де F - розрахункове значення зовнішнього навантаження (сили);

l_ef - умовна довжина розподілення навантаження, яка визначається залежно від умов опирання, l_ef = b_f + 2t_f ; тут b_f - ширина полиці вищерозташованого елемента; t_f - товщина верхнього поясу балки, якщо нижня балка складеного перерізу (рис. 5, а), або відстань від зовнішньої грані полиці до початку внутрішнього заокруглення стінки, якщо балка прокатна (рис. 5, б).

У деяких випадках необхідно перевірити міцність на краях стінки в тих перерізах балки, де , _loc i  діють разом і одночасно досягають достатньо великих значень. Тому перевірку необхідно виконувати у місцях зміни перерізу балки, у перерізах під зосередженими силами та над проміжними опорами нерозрізних балок за формулою

, (7)

де ; (8) ; (9)

. (10)

Для уникнення небажаних напружень _loc необхідно безпосередньо під зосередженою силою F встановити ребро жорсткості. Тоді

_loc = 0 і (11)

а) б)

Рис. 5. Виникнення місцевих напружень

а) у зварній балці; б) у прокатній балці

Розрахунок міцності перерізів в умовах косого згину, тобто елементів, що згинаються у двох головних площинах, виконують за формулою

, (12)

де х і у - координати точки, в якій визначаються напруження, відносно головних осей.

У балках, які розраховують за формулою (12), значення напружень у стінці повинні бути перевірені за формулами (2) і (7) у двох головних площинах згину. Якщо у балці, що згинається у двох головних площинах, дозволяється враховувати пружно-пластичну роботу матеріалу, то її розрахунок виконують за формулою

, (13)

де М_x, M_y - абсолютні значення згинаючих моментів;

с_х і с_у - коефіцієнти, що приймаються згідно з табл. 5 дод. 1.