Мат. аналіз (лекції)

61

ÐÎÇÄIË 7

ДОСЛIДЖЕННЯ ФУНКЦIЙ ЗА ДОПОМОГОЮ ГРАНИЦЬ I ПОХIДНИХ

1.Дослiдження за допомогою першо¨ похiдно¨.

2.Дослiдження за допомогою друго¨ похiдно¨.

3.Знаходження асимптот.

4.Схема дослiдження графiкiв функцiй.

5.Гiперболiчнi функцi¨.

6.Функцiя Гауса.

7.1. Дослiдження за допомогою першо¨ похiдно¨

Нехай ма¹мо функцiю f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · 1.

Означення 7.1. Точки x0 2 (a; b), â ÿêèõ ïîõiäíà àáî íå iñíó¹, àáî ðiâíà

нулю називаються критичними, ÷è стацiонарними, ÷è точками, пiдозрiлими на екстремум.

Теорема 7.1. Нехай функцiя f : (a; b) ! R диференцiйовна всюди i x0 критична точка. Тодi якщо

1. f0(x) > 0 лiворуч вiд x0, а праворуч f0(x) < 0, òî x0 точка локаль-

ного максимуму;

2. f0(x) < 0 лiворуч вiд x0, а праворуч f0(x) > 0, òî x0 точка локаль- íîãî ìiíiìóìó;

3. однаковий знак похiдно¨ з обох бокiв x0 в цiй точцi екстремуму

íåìà.

f : (a; b) ! R

62

x < x0	x0	x0 < x	f
f0(x) > 0	f0(x) = 0	f0(x) < 0	локальний максимум
f0(x) < 0	àáî	f0(x) > 0	локальний мiнiмум
f0(x) < 0	íå	f0(x) > 0	екстремуму нема
f0(x) > 0	iñíó¹	f0(x) < 0	екстремуму нема

Про iнтервали зростання i спадання функцi¨ говорилося ранiше в теоремах 6.16-6.18.

7.2. Дослiдження за допомогою друго¨ похiдно¨

Означення 7.2. Функцiя f : (a; b) ! R строго опукла вниз, якщо для всяких x1; x2 2 (a; b), x1 < x2, частина графiка мiж точками

M1(x1; f(x1)) i M2(x2; f(x2)) лежить пiд вiдрiзком M1M2.

Вiдрiзки задаються таким чином:

[x1; x2] = f(1 ¡ ®)x1 + ®x2 j ® 2 [0; 1]g,

[f(x1); f(x2)] = f(1 ¡ ®)f(x1) + ®f(x2) j ® 2 [0; 1]g. Тому ми можемо дати також таке означення:

Функцiя f : (a; b) ! R строго опукла вниз, ÿêùî

(8x1; x2 2 (a; b))(8® 2 [0; 1]): ff((1 ¡ ®)x1 + ®x2) < (1 ¡ ®)f(x1) + ®f(x2)g:

ßêùî çíàê < çàìiíèòè íà ·, то отрима¹мо означення опуклостi вниз, ÿêùî íà > строго¨ опуклостi вверх, ÿêùî íà ¸ опуклостi вверх.

Теорема 7.2. Всюди диференцiйовна функцiя опукла вниз на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f0 монотонно не спада¹ на (a; b).

Всюди диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R опукла вверх на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f0 монотонно не зроста¹ на (a; b).

Враховуючи теореми з попередньо¨ лекцi¨, ми можемо цю теорему переформулювати так:

Теорема 7.3. Всюди два рази диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R опукла вниз на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f00(x) ¸ 0 всюди на (a; b).

63

Всюди два рази диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R опукла вверх на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f00(x) · 0 всюди на (a; b).

Теорема 7.4. Всюди два рази диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R cтрого опукла вниз на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f00(x) ¸ 0 всюди на (a; b) i íå iсну¹ iнтервала (®; ¯) 2 (a; b) äå f00 перетворю¹ться в тотожнiй нуль.

Всюди два рази диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R cтрого опукла вверх на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f00(x) · 0 всюди на (a; b) i не iсну¹ iнтервала (®; ¯) 2 (a; b) äå f00 перетворю¹ться в тотожнiй нуль.

Означення 7.3. Точка x0 2 (a; b) назива¹ться точкою перегину функцi¨ f : (a; b) ! R, ÿêùî iñíó¹ òàêå ± > 0, ùî íà (x0 ¡ ±; x0) i (x0; x0 + ±) функцiя опукла в рiзнi боки.

Теорема 7.5. Якщо точка x0 2 (a; b) ¹ точкою перегину функцi¨ f : (a; b) ! R, то друга похiдна в цiй точцi або рiвна нулю, або не iсну¹.

Теорема 7.6. Нехай функцiя f : (a; b) ! R два рази диференцiйовна на (a; b) n fx0g. Òîäi:

1. якщо при переходi через точку x0 друга похiдна мiня¹ знак x0 ¹

точкою перегину;

2. якщо похiдна не мiня¹ знаку перегину нема.

Теорема 7.7. Нехай функцiя f : (a; b) ! R два рази диференцiйовна i x0 2 (a; b) критична точка: f0(x0) = 0. Òîäi ÿêùî

1. f00(x0) > 0, òî â òî÷öi x0 ма¹мо локальний мiнiмум; 2. f00(x0) < 0, òî â òî÷öi x0 ма¹мо локальний максимум.

7.3. Знаходження асимптот

Означення 7.4. Нехай f : A ! R i a гранична точка множини A. Пряма x = a назива¹ться вертикальною асимптотою графiка функцi¨ f, якщо викону¹ться принаймнi одне з спiввiдношень:

lim f(x) = §1 ÷è lim f(x) = §1:

x!a¡0

x!a+0

64

Означення 7.5. Нехай f : A ! R i +1 (¡1) ¹ граничною точкою множини A. Пряма y = kx + b назива¹ться (похилою) асимптотою графiка функцi¨ f ïðè x ! +1 (x ! ¡1), ÿêùî

x!+1	¡		¡	b) = 0	µx!¡1 (f(x) ¡ kx ¡ b) = 0¶	:
lim (f(x)		kx			lim

З означення знаходимо

b = lim (f(x) ¡ kx)

x!§1

Îñêiëüêè

			lim (f(x)		lim		f(x)
							x ¡ k¶;
	µ		b = x!§1	¡ kx) = x!§1 x µ
òî lim		f(x)	= 0; i òîìó
x!§1		x ¡ k¶
			k = lim		f(x)	:
					x
				x!§1
Зокрема, якщо k = 0, то пряму y = b =						lim f(x) називають
						x!§1

тальною асимптотою.

7.4. Схема дослiдження графiкiв функцiй

(7.3.1)

(7.3.2)

горизон-

1.Знаходимо область визначення функцi¨, тобто область допустимих зна- чень виразiв, якi визначають функцiю; область значень (якщо це не вимага¹ додаткових дослiджень); нулi функцi¨, iнтервали знакосталостi; парнiсть, непарнiсть, перiодичнiсть.

2.Дослiджу¹мо функцiю на неперервнiсть, знаходимо асимптоти.

3.Знаходимо точки локальних екстремумiв, iнтервали монотонного зростання i спадання.

4.Знаходимо точки перегину та iнтервали опуклостi вниз i вверх.

5.Схематично буду¹мо графiк функцi¨.

65

7.5. Гiперболiчнi функцi¨

Як приклад, побуду¹мо графiки гiперболiчних функцiй. Функцi¨

	ch x def=	ex + e¡x	;	sh x def=	ex ¡ e¡x
		2			2

називаються вiдповiдно косинусом i синусом гiперболiчним. Будемо дослiджувати ¨х паралельно.

1. Область визначення цих функцiй вся дiйсна вiсь, оскiльки вони ¹ лiнiйною комбiнацi¹ю двох показникових функцiй. Функцiя ch парна, а функцiя

sh непарна. Такi функцi¨ можна дослiджувати тiльки з одного боку вiд нуля, а далi продовжувати за вiдповiдною симетрi¹ю. Функцiя ch всюди додатна, як сума додатних функцiй. Функцiя sh ì๠íóëü òiëüêè ïðè x = 0, вiд'¹мна лiворуч вiд нуля i додатна праворуч.

x	(1; 0)	0	(0; 1)
sh x	¡	0	+

2. Данi функцi¨ неперервнi скрiзь на областi свого визначення як лiнiйна комбiнацiя двох показникових функцiй. Асимптот вони не мають, оскiльки

	k = lim	ex § e¡x	=		1	= lim	ex ¨ e¡x	= +		:
		2x		n	1o		2		1
	x!+1					x!+1

3. Знайдемо похiднi.

= µ

x

¡ e¡

x

¶

0

e

x + e

¡

x

(ch x)0

e

=

= sh x;

2

2

= µ

x

+ e

¡

x

¶

0

e

x

¡ e¡

x

(sh x)0

e

=

= ch x:

2

2

Враховуючи данi попереднього пункту, робимо висновок, що функцiя sh всюди строго монотонно зроста¹, а функцiя ch âåäå ñåáå òàê:

x	(1; 0)	0	(0; 1)
(ch x)0	¡	0	+
ch x	#	min; ch(0) = 1	"

66

4. Другi похiднi вiд наших функцiй рiвнi ¨м самим. Тому функцiя ch всюди опукла вниз, а функцiя sh âåäå ñåáå òàê:

x	(1; 0)	0	(0; 1)
(sh x)00	¡	0	+
sh x	_	точка перегину, sh(0) = 0	^

5. Враховуючи всi отриманi данi, буду¹мо графiк наших функцiй.

6	6

y = ch x

y = sh x

1q

-

1 q

-

q

Îñêiëüêè

x2

x3

xn

ex = 1 + x +

+

+ ¢ ¢ ¢ +

+ o(xn);

2!

3!

n!

e¡x = 1

x +

x2

x3

+

+ ( 1)n

xn

+ o(xn);

¡

¡

3!

¢ ¢ ¢

n!

2!

¡

67

то додаючи i вiднiмаючи цi формули i дiлячи на 2, отрима¹мо ще двi формули Маклорена:

6:

sh x = x +

x3

+

x5

+

x7

+ ¢ ¢ ¢ +

x2n¡1

+ o(x

2n

);

(7.5.1)

3!

5!

7!

(2n¡1)!

2

4

6

2n

7:

ch x = 1 +

x

+

x

+

x

+ ¢ ¢ ¢ +

x

+ o(x2n+1):

2!

4!

6!

(2n)!

Тепер пояснимо, звiдки взялась назва гiперболiчнi . Нагада¹мо, що коло x2 + y2 = 1 в параметричному виглядi зобража¹ться так:

x = cos t; y = sin t; t 2 [¡¼; ¼]:

Виявля¹ться, гiперболу x2 ¡y2 = 1 у параметричному виглядi можна зобразити так:

x = ch t; y = sh t:

Це справдi так, оскiльки ма¹ мiсце рiвнiсть:

x ¡ sh

x = ³e

´

¡ ³

ch2 x ¡ sh2 x = 1:

(7.5.2)

(ch

2

¡2

´

=

4

¡

e2x

¡ 4

= 1:)

2

2

x+e¡x

2

ex

e¡x

2

e2x+2+e¡2x

2+e¡2x

Тангенс i котангенс гiперболiчнi визначаються аналогiчно до звичайних:

th x def=

sh x

=

ex ¡ e¡x

;

cth x def=

ch x

=

ex + e¡x

:

ch x

ex + e¡x

sh x

ex ¡ e¡x

Знайдемо ¨х похiднi:

(th x)0 = µsh x¶0 ch x

(cth x)0 = µch x¶0 sh x

=		ch2 x ¡ sh2 x		=	1			;
		ch2 x				ch2 x
=	sh2 x ¡ ch2 x			=	1				:
		sh2 x			¡sh2 x

Тут ма¹мо повну аналогiю зi звичайними тангенсом i котангенсом. Спочатку побуду¹мо графiк функцi¨ y = th x.

1. Область визначення цi¹¨ функцi¨ вся дiйсна вiсь. Функцiя непарна i не перiодична. Функцiя th ì๠íóëü òiëüêè ïðè x = 0, вiд'¹мна лiворуч вiд нуля

i додатна праворуч.

x	(1; 0)	0	(0; 1)
th x	¡	0	+

68

2. Дана функцiя неперервна всюди як частка неперервних функцiй.

		ex ¡ e¡x					1 ¡	1			= 1;
	lim		=	lim				e2x
		ex + e¡x				1 +
x	+			x +	1				1
	! 1			!				e

i тому пряма y = 1 ¹ горизонтальною асимптотою при x ! +1, а з непарностi функцi¨ робимо висновок, що i пряма y = ¡1 ¹ горизонтальною асимптотою при

x ! ¡1.

3.

Îñêiëüêè (th x)0 =

1

> 0 всюди, то tg x всюди монотонно зроста¹.

2

x

ch

4.

Знайдемо другу похiдну:

(th x)00

=

1

= ¡2

sh x

:

ch

2

x

ch

3

x

Iнформацiю, яку вона да¹ про нашу функцiю подамо таблицею:

x	(1; 0)	0	(0; 1)
(th x)00	+	0	¡
th x	^	точка перегину; th(0) = 0	_

5. А ось графiк цi¹¨ функцi¨.

6
1 q	y = th x
	-
-1 q

Тепер побуду¹мо графiк функцi¨ y = cth x.

1. Область визначення цi¹¨ функцi¨ R n f0g. Функцiя непарна i не перiодична. Вкажемо iнтервали знакосталостi.

x	(1; 0)	0	(0; 1)
cth x	¡	@	+

69

2. Дана функцiя неперервна всюди на областi свого визначення як частка неперервних функцiй.

	ex + e¡x		1 +		1
lim		= lim			e2x		= 1;
			1 ¡			1
x!+1 ex ¡ e¡x		x!+1
						e2x

i тому пряма y = 1 ¹ горизонтальною асимптотою при x ! +1, i пряма y = ¡1 ¹ горизонтальною асимптотою при x ! ¡1.

lim

ex

+ e¡x

ex

+ e¡x

e

¡

x = +1;

xlim0 ex

e

x = ¡1;

x

!

+0 ex

¡

¡

!¡

¡

i пряма x = 0 ¹ вертикальною асимптотою.

3.Îñêiëüêè (cth x)0 = ¡sh12 x < 0 всюди на областi визначення, то ctg x всюди монотонно спада¹.

4.Знайдемо другу похiдну: µ 1 ¶0 ch x00

(cth x) =					= 2				:
		2	x			sh	3
ch								x

Iнформацiю, яку вона да¹ про нашу функцiю, подамо таблицею:

x	(1; 0)	0	(0; 1)
(cth x)00	¡	0	+
cth x	_	@	^

5. А ось графiк цi¹¨ функцi¨.

6

1 q	y = cth x
	-

-1 q

70

7.6. Функцiя Гауса

Функцi¹ю Гауса називають функцiю

'(x) = p12¼ e¡x22 :

1. Функцiя визначена на всiй дiйснiй осi i прийма¹ тiльки додатнi значення. Парна i неперiодична.

2.

Неперервна як суперпозицiя неперервних функцiй x òà

x2

¡ 2 . Îñêiëüêè

2

e

lim

p

1

e¡

x

= 0, то пряма y = 0 ¹ горизонтальною асимптотою.

2

2¼

x!+1

2

3.

'0(x) = ¡

p

x

e¡

x

, i '0(x) = 0 òiëüêè ïðè x = 0. Для додатних значень

2

2¼

x похiдна вiд'¹мна, а для вiд'¹мних додатна i тому функцiя строго монотонно зроста¹ при вiд'¹мних значеннях аргумента i спада¹ при додатних.

4. '00(x) =

p

1

e¡x22

¡x2 ¡ 1¢, i данi про поведiнку функцi¨ задамо табли-

öåþ.

2¼

x

(1; ¡1)

¡1

(-1,1)

1

(1; 1)

('(x))00

+

0

¡

0

+

'(x)

^

точка перегину,

_

точка перегину,

^

'(

1) =

p

1

'(1) =

p

1

¡

2¼e

2¼e

5. Тепер все отримане вiдобразимо на графiку.

1

6

x2

q

'(x) =

p

1

e¡

2

-

2¼

Або трохи збiльшимо масштаб:

6

p1

r 2¼

r

-1q

r
1q	-