Теорія_ймовірностей

91

Нормальний закон розподілу мають, наприклад, такі випадкові величини:

помилки вимірювань, величини зносу деталей в механізмах, зростання людини,

помилки стрілянини, величина шуму в радіоприймальному пристрої, коливання курсу акцій і таке інше

Приклад 12. Задана нормально розподілена випадкова величина	з
параметрами a 9 і 3. Потрібно:
а) написати щільність розподілу випадкової величини X і побудувати її графік;
б) знайти ймовірність того, що X набуде значення з інтервалу (7; 13) ;
в) знайти інтервал, симетричний відносно a , ймовірність попадання в який	даної
випадкової величини дорівнює 0,95 .

Розв’язання

Щільність розподілу випадкової величини X визначається за формулою (2.8) при a 9, 3:

f x	1					x 9 2
				e		18
							;
	3 2

крива нормального розподілу (графік щільності розподілу) побудована на рисунку

2.20 (побудова виконана в пакеті Mathcad).

0.1

f(x)

0.05

5		0	5			10			15			20
						x

Рисунок 2.20 – Крива нормального розподілу

Ймовірність того, що випадкова величина набуде значення з інтервалу 7;13

знаходимо за формулою (2.9).

92
	13 9			7 9
P 7 x 13						1,33 0,66
	3			3

1,33 0,66 0,40824 0,24537 0,65361.

Значення функції Лапласа 1,33 і 0,66 можна знайти в таблиці додатку Б.

Інтервал, симетричний щодо математичного сподівання									a ,	ймовірність
попадання	в який даної випадкової величини						X	дорівнює	визначаємо за
формулою	(2.10)	P		X a					Тут	відома
							2	.

ймовірність P X a , шуканий інтервал визначається величиною . З

формули виходить, що 2 ,

				. Знаючи		, за таблицею
			2		2

функції	Лапласа		(додаток	Б) визначаємо x			,	.	Шуканий		інтервал:
a ;	a .
Для	нашого	прикладу		0,95,	3,	a 9 .
								Тоді		0,475 ; у
									3
таблиці	додатку		Б цьому	значенню	функції		Лапласа		відповідає		значення
аргументу x			1,96,	5,88 ; шуканий інтервал (3,12;14,88) .
		3

Контрольні питання

1. Яка випадкова величина називається нормально розподіленою? Якими двома

параметрами визначається нормально розподілена випадкова величина? Що означають два цих параметри?

2.	Як впливають параметри a і на положення нормальної кривої щодо осі Ox
і на форму кривої?
3.	Який нормальний розподіл називається нормованим? Як розташована крива

нормованого розподілу щодо осей координат?

93

4.Дайте визначення функції Лапласа. Поясніть, як за допомогою таблиці значень функції Лапласа знайти ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина з параметрами a і набуває значення з даного інтервалу ( ; ) ?

5.У чому полягає «правило трьох сигм»?

Задачі

1. Задана нормально розподілена випадкова величина з параметрами

(математичне сподівання) і (середнє квадратичне відхилення). Потрібно:

а) написати щільність розподілу випадкової величини і побудувати її графік;

б) знайти ймовірність того, що набуде значення з інтервалу (x1, x2 ) ;

в) знайти інтервал, симетричний відносно , ймовірність попадання в який даної випадкової величини дорівнює .

1.1	a 10;	1;	x1 9;	x2 12;	0,9 ;
1.2	a 11;	2;	x1 10;	x2 13;	0,99 ;
1.3	a 12;	3;	x1 6;	x2 15;	0,95;
1.4	a 13;	4;	x1 10;	x2 17;	0,999 .

2. Математичне сподівання нормально розподіленої величини X дорівнює a 3 і середнє квадратичне відхилення у = 2. Написати щільність ймовірностей

X.

3.Нормально

розподілена

величина

X

задана

щільністю

f (x)

1

e

( x 1)

2

/ 50 . Знайти математичне сподівання і дисперсію X.

5

2

4.Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої величини X відповідно дорівнює 20 і 5. Знайти ймовірність того, що

врезультаті випробування X набуде значення в інтервалі (15, 25).

5.Автомат штампує деталі. Контрольована довжина деталі X, яка розподілена нормально з математичним сподіванням (проектна довжина), що дорівнює 50 мм. Фактично довжина деталей, що виготовляються, не менше 32 і не більше 68 мм. Знайти ймовірність того, що довжина навмання взятої деталі: а)

більше 55 мм; б) менше 40 мм.

94

6. Випадкові помилки вимірювання підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням у = 20 мм і математичним сподіванням а = 0.

Знайти ймовірність того, що з трьох незалежних вимірювань помилка хоч би одного не перевершить за абсолютною величиною 4 мм.

7.Деталь, виготовлена автоматом, вважається придатною, якщо відхилення

їїконтрольованого розміру від проектного не перевищує 10 мм. Випадкові відхилення контрольованого розміру від проектного підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням у = 5 мм і математичним сподіванням а = 0. Скільки відсотків придатних деталей виготовляє автомат?

8.Бомбардувальник, що пролетів уздовж моста, довжина якого 30 м і ширина 8 м, скинув бомби. Випадкові величини і (відстані від вертикальної і горизонтальної осей симетрії моста до місця падіння бомби) незалежні та розподілені нормально з середніми квадратичними відхиленнями, що дорівнюють

5 і 4 м, і математичними сподіваннями, що дорівнюють нулю. Знайти: а)

ймовірність попадання в міст однієї скинутою бомбою; б) ймовірність руйнування моста, якщо скинуто дві бомби, причому відомо, що для руйнування моста достатньо одного попадання.

Відповіді: 2) f (x)	1			e ( x 3)	2	/ 8 ; 3)	M ( X ) 1; D( X ) 25 ;
	2 2

4) P(15 X 25) 0,6826 ; 5) а) P(55 X 68) 0,0823 ;

б) P(32 X 40) 0,0027 ; 6) P 0,41; 7) приблизно 95%;

8) а) P( X 15) P( Y 4) 2Ф(2,5) 2Ф(1) 0,6741;

б) P 1 (1 0,6741) 2 0,8938 .

2.8 Закон великих чисел і центральна гранична теорема

За деяких умов поведінка суми великого числа випадкових величин втрачає випадковий характер і стає закономірною. Ці умови вказуються в теоремах, які носять загальну назву закону великих чисел.

95

Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини

X від її математичного сподівання за абсолютною величиною менше додатного числа , не менше, ніж 1 D( X ) / 2 :

P( X M ( X ) ) 1 D( X ) .2

Якщо число достатньо мале, нерівність дозволяє оцінити ймовірність того,

що X набуде значення, близькі до свого математичного сподівання. Нерівність справедлива як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин.

Приклад 13. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що X M ( X ) 0,2 , якщо D( X ) 0,004.

Розв’язання За умовою завдання 0,2 . Підставимо в нерівність Чебишева:

P( X M ( X ) 0,2) 1 0,004 1 0,1 0,9. 0,22

Відповідь: P( X M ( X ) 0,2) 0,9 .

Примітка – оскільки події X M ( X ) і X M ( X ) - протилежні,

нерівність Чебишева має іншу форму:

P(		X M ( X )		)	D( X )	.	(*)
					2
Основною теоремою закону великих чисел є теорема Чебишева.
Теорема Чебишева. Якщо X1 , X 2 ,					..., X n - попарно		незалежні

випадкові величини, причому дисперсії їх не перевищують деякого постійного числа C , то, яким би малим не було додатне число , ймовірність нерівності

	X1 X 2 ... X n		M ( X1 ) M ( X 2 ) ... M ( X n )
	n		n

буде скільки завгодно близькою до одиниці, якщо число випадкових величин достатньо велике.

Суть теореми Чебишева полягає в тому, що середнє арифметичне достатньо великого числа незалежних випадкових величин втрачає характер випадкової

96

величини

–

воно

набуває

значення,

близьке

до

величини

(M ( X1 ) M ( X 2 ) ... M ( X n )) / n .

Теорема Чебишева має велике практичне значення. На теоремі заснований вживаний у статистиці вибірковий метод, суть якого полягає в тому, що з порівняно невеликої випадкової вибірки роблять висновок про всю сукупність досліджуваних об'єктів. Наприклад, про якість зерна в багатотонній вантажівці на елеваторі роблять висновок з невеликої його проби. Адже якщо для проби відібраний кілограм зерна, то кількість зерен в ньому достатньо велика.

Іншою формою закону великих чисел є теорема Бернуллі.

Теорема Бернуллі. Якщо в кожному з n незалежних випробувань ймовірність p появи події A постійна, то як завгодно близька до одиниці ймовірність того,

що відхилення відносної частоти від ймовірностей p за абсолютною величиною буде скільки завгодно малим, якщо число випробувань достатньо велике, тобто при скільки завгодно малому 0

lim P m / n p 1.

n

	Остання рівність означає, що відносна частота	m	прагне до ймовірностей p ,
		n
	але не в значенні границі lim(m / n) p , оскільки нерівність				m / n p
	n

може при окремих значеннях n порушуватися. Теорема Бернуллі стверджує, що відносна частота при n прямує за ймовірністю до p . У теоремах

закону великих чисел не враховуються закони розподілу випадкових величин.

Граничні закони розподілу складають предмет центральної граничної теореми.

Всі форми центральної граничної теореми присвячені встановленню умов, за яких виникає нормальний закон розподілу.

Теорема.	Якщо	X1 ,	X 2 ,	..., X n	- незалежні випадкові величини, що
мають один	і той	же	закон	розподілу	з математичним сподіванням m і

97

дисперсією 2 , то при необмеженому збільшенні n закон розподілі суми

n

Yn X k необмежено наближається до нормального.

k1

Узагальному випадку, складові випадкові величини розподілені неоднаково.

Практично центральною граничною теоремою можна користуватися і тоді,

коли мова йде про суми порівняно невеликого числа випадкових величин. Коли число доданків близько десяти, закон розподілу суми вже може бути замінений нормальним.

Контрольні питання

1.Сформулюйте нерівність Чебишева. Що дозволяє оцінити нерівність?

2.Сформулюйте теорему Чебишева. У чому суть теореми?

3.Сформулюйте теорему Бернуллі. Що означає вираз «прямувати за ймовірністю»?

4.У чому суть центральної граничної теореми?

Задачі

1.Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що будь-яка випадкова величина відхилиться від свого математичного сподівання менш ніж на три середні квадратичні відхилення цієї величини.

2.Використовуючи нерівність Чебишева у формі (*), оцінити ймовірність того,

що випадкова величина X відхилиться від свого математичного сподівання не менше чим на два середні квадратичні відхилення.

3. Яким повинне бути значення величини в нерівності Чебишева, щоб

P( X a ) 0,99 , коли відомо, що D(X)= 4.

4. З якою надійністю середнє арифметичне вимірювання деякої величини відповідає дійсному розміру цієї величини, якщо було зроблено 500 вимірювань з точністю 0,1 і при цьому дисперсія випадкових величин – результатів вимірювань

– не перевищує 0,3.

5. Скільки необхідно провести вимірювань діаметра втулки, щоб середнє арифметичне цих вимірювань відрізнялося від дійсного розміру діаметра втулки

98

не більш ніж на 0,05 з надійністю 90%, якщо дисперсії випадкових величин

(результатів вимірювань) не перевищують 0,2.

6. Випадкова величина X – середнє арифметичне 10000 незалежних випадкових величин, які мають один і той же закон розподілу, і середнє квадратичне відхилення кожною з них дорівнює 2. Яке максимальне відхилення величини X

від його математичного сподівання можна чекати з ймовірністю 0,9544?

Відповіді: 3) = 20; 4) 0,94; 5) n = 800; 6) 0,04.

Розділ 3. Система випадкових величин

3.1 Система випадкових величин

Якщо результат досліду описується не однією, а декількома випадковими

величинами, вони утворюють систему випадкових величин.

Наприклад, погода в кожен момент часу характеризується такими випадковими величинами, як температура (позначимо X ), вологість ( позначимо Y ), швидкість вітру (позначимо Z ). Три цих величини утворюють систему неперервних

випадкових величин, яку позначимо	X ,Y , Z . Систему випадкових величин
X ,Y , Z можна також розглядати	як одну тривимірну випадкову величину,

геометричний образ якої – випадкова точка в тривимірному просторі.

Якщо результат досвіду описується двома випадковими величинами X і Y , то маємо систему двох випадкових величин X ,Y , геометричний образ якої – випадкова точка на площині. Нехай випадкова величина X - зростання людини,

випадкова величина Y - вага людини. Для кожної конкретної людини двовимірна випадкова величина X ,Y набуває своє значення і фіксується двома числами.

99

Властивості двох, триабо багатовимірної випадкової величини не вичерпуються сумою властивостей окремих величин, але вміщують також взаємні залежності випадкових величин між собою.

Складові багатовимірної випадкової величини можуть бути дискретними або неперервними. Також і багатовимірна випадкова величина – дискретна або неперервна.

Контрольні питання

1.Наведіть приклад, коли результат випробування описується системою двох або трьох випадкових величин.

2.Який геометричний образ системи двох і трьох випадкових величин?

3.2Закон розподілу ймовірностей дискретної двовимірної випадкової величини

Законом розподілу дискретної двовимірної випадкової		величини		X ,Y
називають сукупність всіх можливих значень цієї величини,		тобто	пара чисел
(xi , y j ) і їх ймовірностей p(xi , y j ) .	Закон розподілу задається у вигляді
таблиці з подвійним входом (див. таблицю 3.1).
Перший рядок таблиці містить всі можливі значення складової			X ,	перший
стовпчик містить всі можливі значення складової Y . У клітинці, що стоїть на
перетині «стовпчика xi » і «рядка y j » вказана ймовірність		p(xi , y j )		того, що
двовимірна випадкова величина набуде значення (xi , y j ) .
Події ( X xi , Y y j ) , де i 1,2,..,n;	j 1,2,...,m , утворюють повну групу,

тобто при кожному досліді відбудеться одна з цих подій. Тому сума ймовірностей у клітинках таблиці дорівнює одиниці.

100

Таблиця 3.1 – Закон розподілу дискретної двовимірної величини

				X
Y	x1	x2	.	xi	.	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2 , y1)	.	p(xi , y1)	.	p(xn , y1)
.	.	.	.	.	.	.
y j	p(x1, y j )	p(x2 , y j )	.	p(xi , y j )	.	p(xn , y j )
.	.	.	.	.	.	.
ym	p(x1, ym )	p(x2 , ym )	.	p(xi , ym )	.	p(xn , ym )

За законом таблиці 3.1 можна знайти закон розподілу кожної складової випадкової величини.

Наприклад, події ( X x1,Y y1 ) , ( X x2 , Y y1 ) , ... , ( X xi ,Y yi ) , ... , ( X xn , Y y1 ) несумісні, тому ймовірність P( y1 ) того, що Y набуде

значення y1 , обчислюється за теоремою складання:

P( y1 ) p(x1, y1 ) + p(x2 , y1 ) +...+ p(xi , y1 ) +...+ p(xn , y1 ) .

Складаючи ймовірності одного рядка, отримаємо ймовірність одного значення випадкової величини Y . Якщо ж складати ймовірності одного стовпчика,

отримаємо ймовірність одного значення X .

Приклад 1. Закон розподілу дискретної двовимірної величини задається таблицею 3.2. Визначити закони розподілу випадкових величин X і Y .

Таблиця 3.2 – Розподіл

Y		X
	x1		x2
y1	0,1		0,15
y2	0,25		0,2
y3	0,2		0,1

Розв’язання

Склавши ймовірність у стовпчиках, отримаємо ймовірність можливих значень

X : P(x1 ) 0,1+0,25+0,2=0,55; P(x2 ) 0,45.