Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

matanaliz

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
12.02.2016
Размер:
1.22 Mб
Скачать

 

 

 

1

 

 

ÇÌIÑÒ

 

Частина 1. Вступ

6

Роздiл 1. Вступ до математичного аналiзу

7

1.1.

Логiчна символiка

7

1.2.

Елементи теорi¨ множин

8

1.3.

Пiдмножини дiйсних чисел

9

Ðîçäië 2.

Комплекснi числа

11

2.1. Алгебра¨чнi операцi¨ над комплексними числами

11

2.2.

Комплексна площина

12

2.3. Теорема про модуль i аргумент

13

2.4. Корiнь з комплексного числа

14

2.5.

Коренi многочленiв

15

Частина 2. Границi та похiднi

17

Роздiл 3. Збiжнiсть числових послiдовностей

18

3.1.

Основнi означення

18

3.2.

Властивостi збiжних послiдовностей

21

3.3.

Монотоннi послiдовностi

23

3.4.

Поняття про пiдпослiдовнiсть

23

3.5.

Важливi приклади

24

3.6.

Число e. Натуральнi логарифми

25

Роздiл 4. Границя функцi¨ в точцi

27

4.1.

Означення границi функцi¨

27

4.2.

Властивостi границi функцi¨

29

4.3.

Однобiчнi границi

30

4.4. Перша та друга важливi границi

31

Ðîçäië 5.

Неперервнiсть функцiй

33

5.1.

Основнi означення

33

 

 

2

5.2.

Властивостi неперервних функцiй

34

5.3.

Неперервнiсть елементарних функцiй

34

5.4.

Важливi приклади

35

5.5.

Точки розриву функцi¨

36

5.6. Нескiнченно малi i нескiнченно великi функцi¨

38

5.7. Властивостi функцiй, неперервних на вiдрiзку

40

5.8.

Рiвномiрна неперервнiсть

41

Границi, якi потрiбно пам'ятати

42

Ðîçäië 6. Ïîõiäíà

43

6.1.

Означення i приклади

43

6.2.

Правила обчислення похiдних

44

6.3. Диференцiювання функцi¨, задано¨ параметрично

46

6.4. Похiдна неявно задано¨ функцi¨. Степенево-показникова функцiя.

47

6.5.

Однобiчнi похiднi

48

6.6. Фiзична та геометрична iнтерпретацiя похiдно¨

48

6.7.

Диференцiйовнiсть та диференцiал

49

6.8. Похiднi i диференцiали вищих порядкiв

51

6.9. Теореми про диференцiйовнi функцi¨

52

6.10.

Формула Тейлора

54

6.11.

Розкриття невизначеностей

55

Роздiл 7. Дослiдження функцiй за допомогою границь i похiдних

58

7.1. Дослiдження за допомогою першо¨ похiдно¨

58

7.2. Дослiдження за допомогою друго¨ похiдно¨

59

7.3.

Знаходження асимптот

60

7.4. Схема дослiдження графiкiв функцiй

61

7.5.

Гiперболiчнi функцi¨

62

7.6.

Функцiя Гауса

67

Частина 3. Функцi¨ багатьох змiнних

68

Роздiл 8. Поняття про функцi¨ багатьох змiнних

69

 

 

3

8.1.

m-вимiрний евклiдовий простiр

69

8.2.

Пiдмножини евклiдового простору Rm

70

8.3. Функцi¨ вiд m çìiííèõ

71

8.4.

Послiдовностi точок простору Rm

71

8.5. Границя та неперервнiсть функцiй m çìiííèõ

72

Роздiл 9. Диференцiювання функцiй декiлькох змiнних

76

9.1. Повний та частинний прирости функцi¨

76

9.2.

Частиннi похiднi

77

9.3.

Диференцiйовнiсть функцiй m çìiííèõ

77

9.4. Застосування повного диференцiала до наближених обчислень

79

9.5. Геометричний змiст умови диференцiйовностi функцiй двох змiнних

79

9.6.

Диференцiювання складно¨ функцi¨

80

9.7. Iнварiантнiсть форми запису першого диференцiала

82

9.8. Похiдна вiд функцi¨, задано¨ неявно

82

Роздiл 10. Поверхнi рiвня, похiдна за напрямком, градi¹нт

84

10.1. Поверхнi (лiнi¨) рiвня функцiй трьох (двох) змiнних

84

10.2. Похiдна за напрямком та градi¹нт

85

10.3.

Властивостi градi¹нта

86

Роздiл 11. Похiднi та диференцiали вищих порядкiв

87

11.1.

Похiднi вищих порядкiв

87

11.2.

Диференцiали вищих порядкiв

88

11.3. Формула Тейлора для функцiй багатьох змiнних

88

Роздiл 12. Локальнi екстремуми функцiй

89

Частина 4. Iнтегрування

91

Роздiл 13. Первiсна та невизначений iнтеграл

92

13.1. Первiсна та невизначений iнтеграл

92

13.2.

Таблиця iнтегралiв

93

13.3. Основнi властивостi невизначеного iнтеграла

94

13.4.

Iнтегрування методом замiни змiнно¨ чи способом пiдстановки

95

 

 

4

13.5.

Iнтегрування частинами

95

13.6. Деякi класи функцiй, якi iнтегруються частинами

96

Роздiл 14. Iнтегрування рацiональних функцiй

97

14.1.

Один важливий iнтеграл

97

14.2.

Iнтегрування елементарних дробiв

97

14.3.

Розклад рацiонально¨ функцi¨ на елементарнi дроби

98

Роздiл 15. Iнтегрування деяких класiв тригонометричних та iррацiональних

функцiй

 

101

15.1. Iнтегрування деяких класiв тригонометричних функцiй

101

15.2.

Iнтегрування iррацiональних функцiй

103

15.3.

Тригонометричнi пiдстановки

105

15.4.

Пiдстановки Ейлера

105

15.5. Iнтеграли, якi не беруться в квадратурах

106

Ðîçäië 16.

Визначений iнтеграл

107

16.1.

Означення визначеного iнтеграла

107

16.2. Геометричний змiст визначеного iнтеграла

108

16.3. Основнi властивостi визначеного iнтеграла

109

16.4. Властивостi iнтеграла як функцi¨ верхньо¨ межi

109

16.5.

Формула Ньютона-Лейбнiца

110

16.6. Замiна змiнно¨ та iнтегрування частинами у визначених iнтегралах

111

Ðîçäië 17.

Застосування iнтегралiв

112

17.1.

Обчислення площ

112

17.2. Обчислення довжини дуги криво¨

113

17.3. Обчислення об'¹мiв тiл за площами поперечних перерiзiв

116

17.4.

Об'¹м тiла обертання

116

Роздiл 18. Невласнi iнтеграли та iнтеграли, залежнi вiд параметра

117

18.1. Iнтеграли по безмежному промiжку

117

18.2.

Властивостi невласних iнтегралiв

118

18.3.

Iнтеграли вiд необмежених функцiй

119

 

5

18.4. Iнтеграли, залежнi вiд параметра

119

Таблиця iнтегралiв

122

Формули для застосування iнтегралiв

123

Частина 1

Вступ

7

ÐÎÇÄIË 1

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛIЗУ

1.Логiчна символiка.

2.Елементи теорi¨ множин.

3.Пiдмножини дiйсних чисел.

1.1. Логiчна символiка

Для спрощення запису математичних текстiв будемо використовувати такi

позначення:

)

слiду¹ , виплива¹ , iмплiку¹ , . . .

,

тодi i тiльки тодi , необхiдно i достатньо

^

i

_

àáî

9

iñíó¹ (Exist)

9!

iсну¹ ¹диний

8

äëÿ âñiõ (All)

def= , =df, := дорiвню¹ за означенням

Приклад 1.1.

1.

0 < a < b ) a2 < b2;

2.

a < b , a3 < b3;

3.

(a < b) ^ (0 < a) ) a2 < b2;

4.

x2 ¡ 3x + 2 = 0 ) (x = 1) _ (x = 2);

5.

9x : x2 = 1;

6.

9!x : 2x = 1;

7.

n! def= 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ ¢ ¢ n.

множина цiлих чисел,
множина рацiональних чисел,множина дiйсних чисел,

8

1.2.Елементи теорi¨ множин

1.2.1.Поняття множини. Поняття множини ¹ первiсне i тому не озна- ча¹ться, а тiльки опису¹ться.

Пiд множиною будемо розумiти сукупнiсть об'¹ктiв (елементiв множини), об'¹днаних за спiльною властивiстю чи для яко¨сь цiлi. Множина повинна бути задана так, щоб про кожний об'¹кт можна було сказати однозначно, належить вiн данiй множинi чи нi.

Умовно можна видiлити два способи задати множину. Перший спосiб перелiчити всi ¨¨ елементи. Елементи множини записуються через кому у фi-

гурних дужках. Наприклад, B = f1; 2; 3g: Другий спосiб - вказати правило,

закон чи властивiсть, за якими однозначно можна сказати, належить даний елемент множинi чи нi. Наприклад:

B= fx j (x ¡ 1)(x ¡ 2)(x ¡ 3) = 0g:

1.2.2.Позначення стандартних множин.

Через ; познача¹ться порожня множина множина, що не мiстить жо-

дного елемента (аналог нуля для множин).

N = f1; 2; 3; 4; : : : g множина натуральних чисел,

Z

Q

R

[a; b] = fx 2 R j a · x · bg сегмент або замкнений вiдрiзок, (a; b) = fx 2 R j a < x < bg iнтервал або вiдкритий вiдрiзок, (a; b] = fx 2 R j a < x · bg пiвiнтервал чи пiвсегмент.

1.2.3. Дi¨ над множинами.

Множина A назива¹ться пiдмножиною множини B (iнакше: множина A лежить в B, B мiстить A), ÿêùî A склада¹ться тiльки з елементiв множини B. Познача¹ться це так: A ½ B ÷è B ¾ A.

Множини A i B рiвнi, тодi i тiльки тодi, коли одночасно A ½ B i B ½ A.

9

Об'¹днанням множин A òà B назива¹ться така множина A[B, яка склада¹ться з тих i тiльки тих елементiв, якi належать або множинi A, або множинi B:

A [ B def= fx j x 2 A _ x 2 Bg:

Перетином множин A òà B назива¹ться така множина A \ B, яка склада¹ться з тих i тiльки тих елементiв, якi належать одночасно i множинi A, i множинi B:

A \ B def= fx j x 2 A ^ x 2 Bg:

Рiзницею множин A òà B назива¹ться така множина AnB, яка склада¹ться з тих i тiльки тих елементiв, якi належать множинi A i не належать множинi B. Познача¹ться це так:

A n B def= fx j x 2 A ^ x 2= Bg:

Доповненням до множини A

назива¹ться така множина

¹

 

A, яка склада¹-

ться з тих i тiльки тих елементiв, якi не належать множинi A:

 

¹

 

 

A def= fx j x 2= Ag:

 

Тут ма¹ться на увазi, що множина A ¹ пiдмножиною деякого унiверсального

простору U (наприклад, U = R ÷è U = C

). Òîìó ¹

 

A = U n A.

Приклад 1.2. Нехай A = [1; 3) i B = (2; 5]. Òîäi A[B = [1; 5], A\B = (2; 3),

A n B = [1; 2], B n A = [3; 5]

, ¹

 

, ¹

A = (¡1; 1) [ [3; 1)

B = (¡1; 2] [ (5; 1).

1.3. Пiдмножини дiйсних чисел

Означення 1.1. Пiдмножина A ½ R назива¹ться обмеженою зверху, якщо iсну¹ число C 2 R, таке що для всiх елементiв a з множини A викону¹ться нерiвнiсть: a · C. Символiчний запис:

A ½ R обмежена зверху def= (9C 2 R)(8a 2 A): fa · Cg

Означення 1.2. Пiдмножина A ½ R назива¹ться обмеженою знизу, якщо iсну¹ число c 2 R, таке що для всiх елементiв a з множини A викону¹ться нерiвнiсть: a ¸ C. Символiчний запис:

A ½ R обмежена знизу def= (9c 2 R)(8a 2 A): fa ¸ cg

точною верхньою гранню

10

Означення 1.3. Пiдмножина A ½ R обмежена, якщо вона обмежена зверху i обмежена знизу.

Означення 1.4. Число B 2 A назива¹ться максимальним елементом

множини A ½ R, якщо для всiх ¨¨ елементiв a 2 A викону¹ться: a · B.

Означення 1.5. Число b 2 A назива¹ться мiнiмальним елементом множини A ½ R, якщо для всiх ¨¨ елементiв a 2 A викону¹ться: a ¸ b.

Означення 1.6. Число B 2 R назива¹ться множини A ½ R, ÿêùî:

1. (8a 2 A): fa · Bg;

2. (8" > 0)(9a 2 A): fa > B ¡ "g.

Познача¹ться це так: B = sup A. Чита¹ться супремум (вiд латинського слова supremum найвищий)

Означення 1.7. Число b 2 R назива¹ться точною нижньою гранню множини A ½ R, ÿêùî:

1. (8a 2 A): fa ¸ Bg;

2. (8" > 0)(9a 2 A): fa < B + "g.

Познача¹ться це так: B = inf A. Чита¹ться iнфiмум вiд латинського in mum найнищий)

Приклад 1.3. Нехай A = [1; 5). Òîäi min A = inf A = 1, sup A = 5, максимального елемента ця множина на ма¹.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]