Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MATAN_LECT

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
12.02.2016
Размер:
516.28 Кб
Скачать

Мiнiстерство освiти i науки Нацiональний унiверситет ”Львiвська полiтехнiка”

Клапчук М.I., Понедiлок Г.В.

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛIЗ

Рекомендовано Науково-методичною радою Нацiонального унiверситету ”Львiвська полiтехнiка” як навчальний посiбник для студентiв напряму 6.040204 ”Прикладна фiзика”

Львiв

Видавництво Нацiонального унiверситету ”Львiвська полiтехнiка” 2014

ББК 22.161.5 П56

УДК 517.52

Рецензенти:

П56 Математичний аналiз. – Львiв: Видавництво Нацiонального унiверситету ”Львiвська полiтехнiка”, 2014. - 300 с.

ББК 22.161.5

c , 2014

c

 

Нацiональний унiверситет

ISBN 000-000-00-0

”Львiвська полiтехнiка”

Змiст

Передмова

7

Вступ

 

10

0.1

Основнi вiдомостi з математичної логiки . . . . . . . . .

10

0.2

Основi вiдомостi з теорiї множин . . . . . . . . . . . . .

15

0.3

Дiї над множинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

0.4

Математичнi доведення . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1. Числовi множини

21

1.1

Множина дiйсних чисел та її пiдмножини . . . . . . . .

21

1.2

Пiдмножини множини дiйсних чисел . . . . . . . . . . .

25

1.3

Межi числових множин . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4

Метрична структура множини R . . . . . . . . . . . . .

29

2. Функцiя дiйсної змiнної

32

2.1

Сталi та змiннi величини . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2

Означення функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3

Способи задання функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4

Вiдображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.5

Елементи поведiнки функцiї . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.6

Елементарнi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3. Числовi послiдовностi. Границi послiдовностей

53

3.1

Числовi послiдовностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.2

Нескiнченно малi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3

Монотоннi послiдовностi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.4Критерiй Кошi збiжностi числової послiдовностi . . . . 65

4. Числовi ряди

68

4.1

Означення числового pяду та його збiжностi . . . . . .

68

4.2

Залишок числового pяду . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.3

Hеобхiдна умова збiжностi pяду . . . . . . . . . . . . . .

72

4.4

Властивостi збiжних pядiв . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4.5Ряди з додатними членами. Ознаки поpiвняння . . . . 76

4.6 Достатнi ознаки збiжностi . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.7 Знакозмiннi числовi ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.8 Абсолютна i умовна збiжнiсть знакозмiнних рядiв . . . 87

4

Змiст

4.9 Ознаки Абеля та Дiрiхле . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.10 Властивостi абсолютно i умовно збiжних pядiв . . . . . 90

5. Границя. Неперервнiсть функцiї

94

5.1 Границя функцiї та її властивостi . . . . . . . . . . . . .

94

5.2Елементарнi прийоми розкриття невизначеностей . . . 97

5.3

Важливi границi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

5.4

Порiвняння нескiнченно малих . . . . . . . . . . . . . .

103

5.5

Неперервнiсть функцiї в точцi . . . . . . . . . . . . . . .

106

5.6

Одностороннi границi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

5.7

Класифiкацiя точок розриву функцiї . . . . . . . . . . .

111

5.8

Теореми про функцiї, неперервнi на сегментi . . . . . .

113

5.9

Поняття рiвномiрної неперервностi функцiї . . . . . . .

117

6. Похiдна функцiї однiєї змiнної

120

6.1

Задачi, що проводять до поняття похiдної . . . . . . . .

120

6.2

Означення похiдної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

6.3

Основнi правила диференцiювання . . . . . . . . . . . .

127

6.4

Похiднi вищих порядкiв. Формула Лейбнiца . . . . . . .

133

6.5Рiвняння дотичної i нормалi до плоскої кривої . . . . . 136

6.6 Диференцiал функцiї однiєї змiнної . . . . . . . . . . . . 138 6.7 Диференцiали вищих порядкiв . . . . . . . . . . . . . . 140 6.8 Основнi теореми диференцiального числення . . . . . . 141

7. Функцiональнi ряди

147

7.1

Основнi поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

7.2

Достатня ознака рiвномiрної збiжностi . . . . . . . . . .

152

7.3

Властивостi функцiональних рядiв . . . . . . . . . . . .

154

7.4

Степеневi ряди. Теорема Абеля . . . . . . . . . . . . . .

156

7.5

Iнтервал i радiус збiжностi степеневого ряду . . . . . .

157

7.6

Рiвномiрна збiжнiсть степеневого ряду . . . . . . . . . .

160

7.7

Властивостi степеневих рядiв . . . . . . . . . . . . . . .

161

8. Застосування диференцiального числення

163

8.1

Правило Лопiталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

8.2

Формули Тейлора i Маклорена . . . . . . . . . . . . . .

167

8.3

Умови розвинення функцiї в ряд Тейлора . . . . . . . .

174

8.4

Розвинення деяких функцiй у ряд Тейлора . . . . . . .

177

9. Дослiдження функцiй

182

9.1

Зростання та спадання функцiй . . . . . . . . . . . . . .

182

9.2Необхiдня i достатня умови екстремуму функцiї . . . . 183

9.3 Найбiльше i найменше значення функцiї на вiдрiзку . . 187

Змiст

5

9.4Випуклiсть i вгнутiсть кривої. Точка перегину . . . . . 189

9.5

Асимптоти графiка функцiї . . . . . . . . . . .

. . . .

. 190

9.6

Схема дослiдження функцiй . . . . . . . . . . .

. . . .

. 192

9.7

Нерiвностi Йєнсена . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. 195

9.8

Cереднi та нерiвностi мiж середнiми величинами . . .

. 197

9.9

Деякi застосування похiдної . . . . . . . . . .

. . . .

. 198

10. Параметрично заданi функцiї

 

209

10.1

Означення функцiї, заданої параметрично . . .

. . . .

. 209

10.2

Параметризацiя кривої . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. 212

10.3

Похiдна функцiї, заданої параметрично . . . .

. . . .

. 213

10.4

Кривина лiнiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. 215

10.5

Полярнi координати . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. 219

11. Невизначений iнтеграл

 

224

11.1

Означення та властивостi невизначеного iнтеграла . .

. 224

11.2

Основнi методи iнтегрування . . . . . . . . . .

. . . .

. 228

11.3

Метод iнтегрування частинами . . . . . . . . .

. . . .

. 233

11.4

Iнтегрування квадратних тричленiв . . . . . .

. . . .

. 235

11.5

Iнтегрування рацiональних дробiв . . . . . . .

. . . .

. 239

11.6

Iнтегрування простих дробiв . . . . . . . . . .

. . . .

. 240

11.7

Iнтегрування рацiональних дробiв . . . . . . .

. . . .

. 241

11.8

Iнтегрування тригонометричних функцiй . . .

. . . .

. 245

11.9

Iнтегрування деяких iррацiональних функцiй

. . . . . 248

12. Визначений iнтеграл

 

253

12.1

Задача про знаходження площi криволiнiйної трапецiї

253

12.2

Означення визначеного iнтеграла (iнтеграла Рiмана)

. 254

12.3

Суми Дарбу та їх властивостi . . . . . . . . . .

. . . .

. 256

12.4

Основнi властивостi визначеного iнтеграла . .

. . . .

. 258

12.5

Обчислення визначених iнтегралiв . . . . . . .

. . . .

. 262

12.6

Формула Ньютона-Лейбнiца . . . . . . . . . . .

. . . .

. 263

12.7

Наближене обчислення визначених iнтегралiв

. . . . . 266

13. Застосування визначеного iнтеграла

 

272

13.1

Обчислення площ плоских фiгур . . . . . . . .

. . . .

. 272

13.2

Обчислення об’єму тiла . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. 278

13.3

Обчислення довжини дуги кривої . . . . . . .

. . . .

. 282

13.4

Площа поверхнi тiла обертання . . . . . . . . .

. . . .

. 287

13.5

Обчислення статичних моментiв тiла . . . . . .

. . . .

. 291

13.6

Центр мас. Формули Гульдена. . . . . . . . . . . . . .

. 293

13.7

Деякi задачi фiзики . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. 295

6

Змiст

 

14. Невласнi iнтеграли

301

14.1

Iнтеграли з необмеженими границями . . . . . . .

. . . 301

14.2

Iнтеграли вiд розривної функцiї . . . . . . . . . . .

. . . 307

14.3

Iнтеграли, залежнi вiд параметра. Гамма-функцiя

. . . 311

15. Iнтеграл Стiлтьєса

313

15.1

Означення iнтеграла Стiлтьєса . . . . . . . . . . .

. . . 313

15.2

Властивостi iнтеграла Стiлтьєса . . . . . . . . . . .

. . 316

15.3

Загальна теорiя iнтеграла Стiлтьєса . . . . . . . . .

. . 317

15.4

Обчислення iнтеграла Стiлтьєса . . . . . . . . . . .

. . 320

Вступ

Математика – це мистецтво називати рiзнi речi одним i тим самим iм’ям.

А. Пуанкаре

Математика, як дедуктивна наука, будується на прийняттi певної сукупностi початкових базових понять – означень, аксiом, постулатiв. Цi вихiднi положення математики, якi формулюються на основi iнтуїцiї, здогадок, емпiричного узагальнення спостережуваних фактiв, слугують для означення складнiших конструкцiй. Впродовж багатовiкової iсторiї розвитку математики у нiй склалася певна система специфiчних позначень, символiв, операцiй, якi дозволяють формалiзувати цю науку. Такий своєрiдний ”синтаксис” i ”семантику” математичної мови треба знати i розумiти, щоб вiльно читати навчальну i наукову лiтературу, лаконiчно i строго висловлювати свої думки. Саме з таких мiркувань цей роздiл присвячено короткому опису базових понять i означень з математичної логiки та теорiї множин. Не подаємо тут повної системи аксiом, постулатiв та основних теорем, що стосуються цих роздiлiв математики, а наводимо тiльки тi базовi положення, якi тою чи iншою мiрою використовуються у теорiї функцiй дiйсної змiнної.

0.1. Основнi вiдомостi з математичної логiки

Логiка– це наука, яка встановлює i вивчає закони мислення 2. Вiдмiннiсть мiж наукою про мислення та iншими науками, предметами дослiдження яких є об’єктивна дiйснiсть, виражається у тому, що у якостi предмета логiки виступають форми мислення. Пiд формами мислення, зазвичай, розумiють властивостi i ознаки мислення, якi типовi для будь-якого мислення, незалежно вiд його змiсту. Для всякого мислення характерне те, що ми мислимо поняттями та судженнями, незалежно вiд того, займаємося математикою, фiзикою, або просто ведемо побутову розмову.

2Питаннями про природу, форми та особливостi мислення людини ставили ще стародавнi фiлософи. Пiд рiзними ракурсами це одвiчне питання трактувалося у мiфологiях, вiруваннях, великих свiтових релiгiях. Але тiльки грецький фiлософ Арiстотель(384-322р. до н.е.), базуючись на досягненнях своїх попередникiв, заклав основи нової науки – логiки. Ним були сформульованi основнi закони науки про мислення, яка пiзнiше стала називатися формальною логiкою.

0.1. Основнi вiдомостi з математичної логiки

11

Поняття та судження є формами мислення. Наприклад, ”час”, ”трикутник”, ”число”, ”бiльше”, ”менше”, ”зелений” – типовi приклади понять, якi iснують у нашiй свiдомостi у формi iдей i виражаються словами мови. Пiд судженням у найширшому трактуваннi розумiють форму мислення, у якiй що-небудь стверджується або заперечується про предмет, його властивостях, вiдношеннях мiж предметами. Кожне судження оперує поняттями i встановлює вiдношення мiж поняттями. Щодо первинностi понять чи судження нiчого достаменного сказати не можемо 3. Судження синтезуються у свiдомостi людини i виражаються реченнями мови. З огляду на цю обставину логiка довший час розглядалася як наука про мови.

Предмет математичної логiки. Формальна логiка, започаткована Арiстотелем, вивчає акти мислення з погляду їх форми, логiчної структури, абстрагуючись вiд конкретного змiсту. Пiсля Аристотеля iстотний крок в розвитку логiки зроблений тiльки в 17 ст.

Г.Лейбнiцом (1646-1716), який розвинув iдею створення унiверсального логiчного числення. Першу завершену систему математичної логiки запропонував англiйський математик Дж. Буль (1815-1864).

Математична логiка по сутi є формальною логiкою, що використовує математичнi методи. Iншими словами, математична логiка вивчає зв’язки i вiдносини, якi лежать в основi логiчного (дедуктивного) виводу з використанням мови математики.

Застосування в логiцi математичних методiв стає можливим тодi, коли судження формулюються певною точному мовою. Такi точнi мови мають двi сторони: синтаксис i семантику. Пiд синтаксисом, розумiють сукупнiсть правил побудови об’єктiв мови (зазвичай званих формулами). Семантикою називається сукупнiсть угод, що описують наше розумiння формул (або деяких з них) i дозволяють вважати однi формули вiрними, а iншi - нi.

Висловлювання. У математичнiй логiцi судження називають висловлюванням. Елементарнi висловлювання - це судження, яке є або iстинним або хибним. Елементарнi висловлювання називають також пропозицiйними змiнними, оскiльки вони лежать в основi формування складних висловлювань.

Висловлювання у математичнiй логiцi позначають символами: A, B, C, D, F, . . . Наведемо приклади елементарних висловлювань

A :={Непарнi числа дiляться на два}; B :={Київ – столиця України};

C :={Сума внутрiшнiх кутiв трикутника дорiвнює 180}.

3Вiдношення мiж поняттям i судженням нагадує нам одвiчну проблему первинностi яйця чи курки. Адже поняття про щось може виникнути тiльки на пiдставi суджень, i навпаки, – судження вимагають iснування вже сформованих i осмислених понять.

12

Вступ

Символом ”:=” у математичнiй логiцi вводиться означення i замiнює у розповiдному реченнi словосполучення: ”... за означенням дорiвнює ... ”. Це позначення використовується скрiзь далi i його не треба плутати iз символом ”=”, який у визначає рiвнiсть правої та лiвої частини.

Дiї над висловлюваннями. З простих висловлювань можна утворювати складнi висловлювання за допомогою так званих логiчних операцiй.

1.Протилежне висловлювання. За означенням елементарне висловлювання є або iстинним, або хибним. У класичнiй математичнiй логiцi третього варiанту не iснує. Якщо певне висловлювання A є iстинним, то протилежне до нього висловлювання, яке позначається символом ¬A, має бути обов’язково хибним. У наведених вище прикладах елементарне висловлювання A є хибним, а протилежне висловлювання ¬A :={Непарнi числа не дiляться на два} – iстинне.

2.Iмплiкацiя висловлювань означає, що одне з них випливає з другого i позначається символом ” ”. Символьний запис

A B

(0.1.1)

означає, що з висловлювання B є наслiдком висловлювання A. Висловлювання, що знаходиться лiворуч вiд логiчної зв’язки ” ” називається умовою, а праворуч – наслiдком.

Логiчна iмплiкацiя замiнює мовне висловлювання: ”Якщо A, то B”. А ось ще декiлька прикладiв еквiвалентних формулювань iмплiкацiї українською мовою:

1.Якщо виконується A, то виконується також B.

2.B, слiдує (випливає) з A.

3.A є достатньою умовою для B.

4.B є необхiдною умовою для A.

5.Якщо B хибне, то A також хибне.

5. B iстинне (вiрне), якщо iстинне (вiрне) A.

Якщо читачевi видається, що наведенi речення не виражають одного i того самого змiсту, то причина криється тiльки у персональнiй звичцi кожного з нас вживати у повсякденнiй розмовi iншi форми мовного вираження iмплiкацiї, властивi для нацiональної мови, її дiалекту чи усталеного професiйного жаргону. Наведенi мовнi формулювання iмплiкацiї якраз i типовi для математичної мови.

Розглянемо простий приклад iмплiкацiй висловлювань. Нехай A :={Числа n та m - парнi}

B :={Добуток чисел n та m - парне число}.

Цi висловлювання пiдпорядкованi iмплiкацiї A B, що словесно можна сказати так: ”якщо n та m парнi числа, то їх добуток n · m

0.1. Основнi вiдомостi з математичної логiки

13

парне число”. Разом з тим зауважуємо, що B ; A, бо парне число можна отримати як добуток парного на непарне 4.

3. Еквiвалентнiсть. Може трапитися випадок, коли iмплiкацiя висловлювань справджується в обидва боки. У такому випадку маємо справу iз еквiвалентнiстю висловлювань.

Означення 0.1 Еквiвалентнiстю двох висловлювань A та B називається нове висловлювання

A B,

(0.1.2)

яке вважається:

iстинним, коли A та B або одночасно iстиннi, або одночасно хибнi;

хибним у iнших випадках.

Висловлювання, що стоять по рiзнi боки логiчної зв’язки ” ” називаються членами еквiвалентностi.

Українською мовою еквiвалентнiсть висловлювань у математичнiй логiцi виражається однiєю iз таких еквiвалентних форм:

1.A iстинне (хибне) тодi i тiльки тодi, коли B iстинне (хибне).

2.B iстинне (хибне) тодi i тiльки тодi, коли A iстинне (хибне).

3.Якщо A то B i навпаки.

4.B є необхiдною i достатньою умовою для A.

5.A є необхiдною i достатньою умовою для B.

6.A та B еквiвалентнi.

Усi цi висловлювання рiвносильнi i мають один i той самий змiст. 4. Диз’юнкцiя. До бiнарної операцiї над двома висловлювання-

ми вiдноситься диз’юнкцiя, яку українською мовою можемо умовно назвати як ’логiчне об’єднання”

Означення 0.2 Диз’юнкцiя двох висловлювань A та B називається нове висловлювання

A B

(0.1.3)

(читається A або B), яке вважається:

4Розглянемо наведенi на початку параграфу приклади висловлювання B та C. Для них справджуються iмплiкацiї B ) C та C ) B. Почекайте, – обуриться читач, – яке вiдношення має мiсто Київ до трикутники? У математичнiй логiцi природа об’єктiв, щодо яких формулюються висловлювання, несуттєва, важливо тiльки, що обидва висловлювання є iстинними. А справдi, можливо хтось колись шляхом доволi складних i довгих дедуктивних мiркувань зможе i довести, що з того, що Київ столиця України випливає властивiсть внутрiшнiх кутiв трикутника на евклiдовiй площинi. I ми змушенi будемо прийняти це доведення як незаперечний факт.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]