Введение

Данное пособие включает разделы из линейной алгебры, теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Оно предназначено для широкого круга читателей – учащихся школ, лицеев и гимназий, студентов техникумов, колледжей и вузов. Пособие может быть полезным для студентов заочной и ускоренной форм обучения.

В пособии кратко излагаются основные теоретические сведения (необходимые определения, теоремы, свойства и формулы). Даются разнообразные примеры и задачи, охватывающие данные темы, которые сопровождаются подробными решениями. Также включены вопросы и примеры для самопроверки.

В настоящем издании пособия

I. Линейная алгебра

1.Матрицы и определители

1.1. Основные сведения о матрицах

Прямоугольная таблица чисел.

Состоящая из m строк и n столбцов таблица, называется матрицей размера mхn, числа а₁₁, а_12, ... а_mn - называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (A, B, C,…). Часто вместо подробной записи используют сокращенную: А=(а_ij) где i-номер строки, j-номер столбца.

Если число строк матрицы равно числу его столбцов (m=n), то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов, - порядком квадратной матрицы.

Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на от­резке, соединяющим левый верхний угол с правым нижним углом, называется главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, - побочной диагональю.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали равны нулю.

Две матрицы А=(а_ij) и В=(в_ij) называются равными, если число строк и столбцов у них равны и равны элементы, стоящие на соответствую­щих местах этих матриц: а_ij = в_ij при любых i=1…m и j=1…n.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой

Единичной матрицей называется квадратная матрица, элементы главной диагонали которой =1, а все остальные =0 и обозначается буквой E

Матрица , состоящая из одного столбца, называется матрицей столбцом.

1.2. Операции над матрицами

1) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число k (где k0) называется матрица B=k*A

По определению, чтобы умножить матрицу на число к, нужно каждый элемент матрицы А умножить на к.

2). Сложение и вычитание матриц. Складывать и вычитать можно только однотипные матрицы, т.е. матрицы одинакового размера.

Суммой двух матриц A и B одинакового размера mxn называется матрица С=А+В:

, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij, где i=1..m, j=1..n

Разность двух матриц А и В одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1)*В

Пример 1.

, , найти С=А+2*В

Решение:

3) Умножение матриц. Умножение матриц не коммутативно, т.е. А*BB*A.

Так как умножение матриц не коммутативно, то для нас важно, какая матрица является первым сомножителем, а какая - вторым.

Умножение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матриц А_mxn*B_nxk называется такая матрица C_mxk, каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_j2+…+a_inb_nj где i=1..m, j=1..k.

Пример 2. Найти произведения матриц А*В и В*А:

Решение: А_2х3*В_3х3=С_2х3

с₁₁=1*1+0*(-2)+2*3=7 с₁₂=1*2+0*1+2*(-1)=0 с₁₃=1*0+0*3+2*2=4 с₂₁=3*1+1*(-2)+0*3=1 с₂₂=3*2+1*1+0*(-1)=7 с₂₃=3*0+1*3+0*2=3

В_3х3*А_2х3= , матрицу В нельзя умножить на матрицу А, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А (32).