Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

кафедра М и Ф

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Часть V

Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных

Кратные интегралы

Криволинейные интегралы второго рода

Минск 2007

Составитель А.В. Петрович

Рецензент Л.А. Рябенкова

Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф

«20» марта 2007 г., протокол №8

Зав. кафедрой Л.Л. Гладков

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

 — знак логического следования

 — знак равносильности (эквивалентности)

— знак тождественного равенства

 — знак принадлежности

 — знак соответствия (стремления)

 — квантор общности (синонимы – каждый, любой, всякий )

 — квантор существования ( синоним – существует )

{а,b,с, ...} — множество, состоящее из элементов а,b, с, ...

 — пустое множество

— объединение множестви

— пересечение множестви

\— разность множестви,

— множество А является подмножеством множества В.

— множество А является собственным подмножеством множества.

— множество элементов, удовлетворяющих условию

— точная верхняя грань множества

— точная нижняя грань множества

— функция, отображающая множествов (на) множество

— функция, обратная к функции, отображающая множествов (на) множество

D() — область определения функции

E— множество значений функции

— композиция функцийи, т. е. сложная функция, составленная из функцийи

— бесконечно малая функция более высокого порядка, чем

—-окрестность точки

— проколотая-окрестность точки

— мнимая единица,

N — множество натуральных чисел

Z — множество целых чисел

Q — множество рациональных чисел

R — множество действительных чисел

Rⁿ —– мерное арифметическое пространство

С — множество комплексных чисел

Содержание

Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных………………………….……..5

Поверхности (линии) уровня……………………………….…………...…...8

Предел функции нескольких переменных…………………………….……10

Непрерывность функций нескольких переменных…………………….….12

Дифференцирование функций нескольких переменных……………….…13

Дифференцируемость функций нескольких переменных………………...17

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости

Полный дифференциал функции нескольких переменных……..……..….21

Дифференцирование сложной функции……………………..……….….…23

Дифференцирование функции, заданной неявно……………………...…..25

Частные производные и дифференциалы высших порядков……………..27

Локальные экстремумы функции двух переменных……………………….30

Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………………..…35

Производная по направлению………………………………………………..37

Градиент функции………………………………….…………………….…...39

Кратные интегралы

Задачи, приводящие к двойным интегралам. Определение

двойного интеграла………………………………………………..……..…..41

Свойства двойного интеграла……………………………………………..…44

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных

декартовых координатах……………………………………..………………45

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат…..…….52

Тройной интеграл…………………………………………………….………55

Криволинейные интегралы второго рода

Задача о вычислении работы переменной силы.

Определение криволинейного интеграла второго рода…………….……..59

Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме….………61

Вычисление криволинейных интегралов второго рода…………….…..…62

Формула Грина……………………………………………………….………67

Условия независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования…………………...………………………….……..70

Литература……………………………………………………………..……..73

Понятие функции нескольких переменных

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.

Пример.Площадьпрямоугольника со сторонами, длины которых равныи , выражается формулой

.

Каждой паре значений и соответствует определенное значение площади.есть функция двух переменных.

Пример.Объемпрямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны,,, выражается формулой

.

Здесь есть функция трех переменных,,.

Пример.

Здесь есть функция четырех переменных, , ,.

Определение. Множество всех упорядоченных наборов действительных чисел называется-мерным арифметическим пространством и обозначаетсяRⁿ, а его элементы – точками пространстваRⁿ (мерными точками). Числа при этом называют координатами точки . Точкуназывают началом координат.

Пусть DRⁿ— произвольное множество точекn-мерного арифметического пространства.

Определение. Числовой функцией (или отображением)отпеременных, определенной на множествеDназывается закон, по которому каждой точкеDставится в соответствие некоторое вполне определенное действительное число.

Обозначения: : RⁿRили.

Множество D при этом называют областью определения, а множество

R,D}— множеством значений функции=.

В частном случае при функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точек плоскости.

Частное значение функции при,обозначают,, и т.д.

Функция двух переменных иможет быть задана аналитическим, табличным, графическим, программным (алгоритмом вычисленияпо значениями) и другими способами.

Функцию двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве при выбранной декартовой системе координаткак множество точек пространстваR³, координаты которых удовлетворяют уравнению, которое, вообще говоря, есть уравнение некоторой поверхности в R³. Проекцией этой поверхности на плоскостьявляется область определенияD. Каждый перпендикуляр к плоскостипересекает поверхностьне более чем в одной точке (в силу однозначности функции).

Замечание. Функцию трех и более переменных изобразить графически невозможно.

Пример.Найти область определения функции.

Решение. Аналитическое выражениеимеет смысл при любых действительных значенияхи. Следовательно, областью определения является вся числовая плоскостьт.е.D= R².

Пример.Найти область определения функции.

Решение. Аналитическое выражениеимеет смысл при, следовательно, областью определения этой функции являютсяIиIIIчетверти плоскости, включая осии, т.е. область, заштрихованная на рисунке.

Пример.Найти область определения функции.

Решение. Для того, чтобыимело действительное значение, необходимо, чтобы под корнем было неотрицательное число, т.е.идолжны удовлетворять неравенствуили.

Все точки , координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга, т.е. область, заштрихованная на рисунке.

Пример.Найти область определения, множество значений функции, построить график.

Решение. Область определения этой функцииD= R², множество значений Е. Графиком данной функции в пространствеR³ является параболоид вращения.

Пример.Найти область определения и множество значений функции.

Решение. Данная функция определена, еслиили, откудаD{R³ }, т. е. областью определенияDданной функции является множество точек открытого трёхмерного шара радиуса, а Е(.