Конспект лекций по

высшей математике

Часть I

Пределы

Непрерывность

Дифференциальное

исчисление функций

одной переменной

Исследование функций

с помощью производных

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

 — знак логического следования

 — знак равносильности (эквивалентности)

 — знак принадлежности

 — знак соответствия (стремления)

 — квантор общности (синонимы – каждый, любой, всякий )

 — квантор существования ( синоним – существует )

{а,Ь,с, ...} — множество, состоящее из элементов а, Ь, с, ...

 — пустое множество

 — объединение множеств и

 — пересечение множеств и

\ — разность множеств и ,

 — множество А является подмножеством множества В.

 — множество А является собственным подмножеством множества .

— множество элементов , удовлетворяющих условию

— точная верхняя грань множества

— точная нижняя грань множества

— функция , отображающая множество в (на) множество

— функция, обратная к функции , отображающая множество в (на) множество

D() — область определения функции

E — множество значений функции

— композиция функций и , т. е. сложная функция, составленная из функций и

— бесконечно малая функция более высокого порядка, чем

— -окрестность точки

— проколотая -окрестность точки

— мнимая единица,

N — множество натуральных чисел

Z — множество целых чисел

Q — множество рациональных чисел

R — множество действительных чисел

R₊ — множество положительных действительных чисел

R_ — множество отрицательных действительных чисел

С — множество комплексных чисел

⊠ — обозначение окончания доказательства

СОДЕРЖАНИЕ

Числовые функции. Пределы. Непрерывность

Понятие числовых функций…….…………………………………………4

Предел числовой функции…………………………………………………5

Основные теоремы о пределах…………………………………………….8

Бесконечно малые и бесконечно большие функции……………………..9

Сравнение асимптотического поведения функций……………………..11

Непрерывность функции в точке и на множестве………………………13

Точки разрыва функции и их классификация их………………………..15

Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных

элементарных функций…………………………………………………. .16

Свойства функций, непрерывных на отрезке……………………………18

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной. Механический и геометрический смысл

производной……………………………………………………………… 22

Дифференцируемость функции…………………………………………..28

Дифференциал функции……….………………………………………….30

Производная сложной функции …………………………………………32

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы

дифференциала…………………………………………………………… 33

Правила дифференцирования …………………………………………… 34

Логарифмическое дифференцирование………………………………….36

Производная обратной функции…………………………………………. 37

Производные высших порядков…………………………………………..38

Дифференцирование неявно заданных функций…………………………39

Дифференцирование функций, заданных параметрически……………. 40

Дифференциалы высших порядков……………………………………….42

Теоремы о среднем значении……………………………………………..44

Правило Лопиталя…………………………………………………………49

Исследование функций с помощью производных

Возрастание и убывание функции………………………………………..51

Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные

условия существования экстремума функции………............................ 53

Необходимое условие существования экстремума функции………….. 54

Достаточные условия существования экстремума………………………55

Исследование функции на выпуклость и вогнутость

Точки перегиба функции…………………………………………………. 58

Асимптоты графика функции……………………………………………..60

Общая схема исследования функции……………………………………. 63

Литература………………………………………………………..…………68

Числовые функции

Определение. Пусть произвольной подмножество действительных чисел. Однозначной числовой функцией , определенной на множестве называется закон, по которому каждому числу поставлено в соответствие одно действительное число .

Множество при этом называется областью определения функции, а множество — множеством значений функции.

В дальнейшем мы будем рассматривать только однозначные функции.

Пусть на некотором множестве определена числовая функция и — множеством значений функции. Пусть на множестве задана функция ( ). Тогда функция отображает элементы в элементы , а функция отображает элементы в элементы ,

.

Таким образом, в конечном итоге каждому значению ставится в соответствие ( посредством промежуточной переменной ) одно определенное значение , где — множеством значений функции .

В этом случае называют сложной функцией аргумента или функцией от функции ( записывают ) или композицией функций и (записывают ). При этом функцию называют промежуточным аргументом, — независимой переменной.

Например, функция является сложной. Ее можно записать в виде цепочки равенств:

, .

Аналогично можно составить сложную функцию с двумя и более промежуточными аргументами. являющуюся композицией более трех функций.