Елементи теорії поля Тема 15.1. Основні поняття теорії поля

Теорія поля – великий розділ фізики, механіки, у якому вивчаються скалярні, векторні, тензорні поля.

До розгляду скалярних і векторних полів приводить багато задач фізики електротехніки, математики, механіки й інших технічних дисциплін. Вивчення одних фізичних полів сприяє вивченню й інших. Так, наприклад, сили всесвітнього тяжіння, магнітні, електричні сили – усі вони змінюються обернено пропорційно квадрату відстані від свого джерела; дифузія в розчинах відбувається за законами, спільними з поширенням тепла в різних середовищах; вигляд силових магнітних ліній нагадує картину обтікання перешкод рідиною та ін.

Математичним ядром теорії поля є такі поняття, як градієнт, потік, потенціал, дивергенція, ротор, циркуляція й інші. Ці поняття важливі й у засвоєнні основних ідей математичного аналізу функцій багатьох змінних.

Полем називається область простору, у кожній точці якої визначено значення деякої величини. Якщо кожній точціцієї області відповідає певне число, кажуть що в області задано (визначено)скалярне поле (або функція точки). Інакше кажучи, скалярне поле – це скалярна функція разом з її областю визначення. Якщо ж кожній точціобласті простору відповідає деякий вектор, то кажуть, що задановекторне поле (або векторну функцію точки).

Прикладами скалярних полів можуть бути поля температури (повітря, тіла, …), атмосферного тиску, густини (маси, повітря, …), електричного потенціалу і т.д. Прикладами векторних полів є поле сили тяжіння, поле швидкостей частинок рідини, що тече (вітру), магнітне поле, поле густини електричного струму і т.д.

Якщо функція не залежить від часу, то скалярне (векторне) поле називається стаціонарним (або тим, що встановилося); поле, що змінюється з часом (змінюється, наприклад, скалярне поле температури при охолодженні тіла), називається нестаціонарним (або тим, що не встановилося). Далі будемо розглядати лише стаціонарні поля. Якщо – область тривимірного простору, то скалярне поле можна розглядати як функцію трьох змінних (координат точки ):

(1.1)

(Поряд з позначеннями , , використовують запис , де - радіус-вектор точкиМ.)

Якщо скалярна функція залежить тільки від двох змінних, наприкладі, то відповідне скалярне поле називають плоским.

Аналогічно: вектор , що визначає векторне поле, можна розглядати як векторну функцію трьох скалярних аргументів і:(або ).

Вектор можна подати (розклавши його по ортах координатних осей) у вигляді

,

де , , – проекції вектора на осі координат. Якщо в вибраній системі координат одна з проекцій вектора дорівнює нулю, а дві інші залежать тільки від двох змінних, то векторне поле називається плоским. Наприклад:.

Векторне поле називається однорідним, якщо – постійний вектор, тобто і – сталі величини. Таким полем є полетяжіння. Тут , , , –прискорення сили ваги, – маса точки.

Надалі будемо припускати, що скалярні функції (– визначають скалярне поле,, і – які задають векторне поле) неперервні разом з своїми частинними похідними.

_{Приклад 1.1.} а)Функція визначає скалярне поле в точках простору, обмеженого сферою з центром в початку координат (в кулі) і радіусом_.

б)Скалярне поле визначене у всьому просторі, за винятком точок осі(на ній).

Приклад 1.2. Знайти поле лінійної швидкості матеріальної точки , що обертається проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю навколо осі .

Кутову швидкість подамо у вигляді вектора , що лежить на осі ,напрямленого вгору. Маємо: .

Побудуємо радіус вектор точкиМ (див. рис.1)

Числове значення лінійної швидкості (модуль), як відомо з курсу фізики, дорівнює, де- відстань точки обертаннявід осі обертання (осі). Але(- кут між векторомі віссю ). Отже, , тобто.

Вектор швидкості направлений убік обертання, збігаєтьсяз напрямком векторного добутку (, векториутворять праву трійку). Отже,, тобто

або .

Поле лінійних швидкостей тіла, що обертається навколо нерухомої осі, є плоске векторне поле. ●