Документ Microsoft Office Word (6)

Вступ

У 18 ст. були створені всі класичні розділи геометрії: аналітична (завершена), диференціальна, нарисна, за винятком неевклідової, де також проводились дослідження. Загальними рисами цих дисциплін були: розвиток в рамках і на основі гео­метрії Евкліда, вплив аналізу нескінченно малих, запити прак­тики.

У розвитку аналітичної геометрії новим кроком був вихід твору Ньютона "Перерахування кривих третьою порядку" (1704), в якому розкрито нові можливості координатного мето­ду, створено основи дослідження властивостей кривих за влас­тивостями їх рівнянь. Ці властивості були далі розвинуті Джеймсом Стірлінгом (1692—1770) в книзі "Ньютонові криві третього порядку" (1717) Кривим третього порядку було при­свячено багато досліджень (Маклорена (1720), Франсуа Ніколя (1731), П'єра Луї Моро Могіертюї (1731), Уїльяма Брекенріджа (1733) та ін.)

Аналітична геометрія в творах Клеро наближається. до су­часного вигляду, що було остаточно завершено Ейлером 1748 р. у другому томі "Вступу в аналіз". Найкращим посібником з аналітичної геометрії, близьким до сучасного стилю, був посіб­ник Лакруа "Елементарний курс тригонометрії" (1798-1799). Тут вперше використаний термін "аналітична геометрія". Маклорен в 1720 р. сформулював властивість: дві плоскі алгебраїчні криві Порядків пі і п мають взагалі тп спільних точок. Безу довів цю теорему, яка і дістала назву теореми Безу.

Диференціальна геометрія виникла в результаті застосуван­ня аналізу до аналітичної геометрії. Спочатку засобами аналізу вивчали плоскі криві, потім просторові й поверхні. Клеро в праці "Дослідження про криві подвійної кривизни" застосовує диференціальне і інтегральне числення до розв'язування ряду питань з аналітичної геометрії. Це дослідження впродовж 50 років було піонерським у цій галузі. Потреби геодезії, карто­графії, механіки стимулювали застосування аналізу в геометрії. Тут, як і повсюдно у 18 ст., домінували дослідження Ейлера, який почав вивчати геодезичні лінії на поверхні (найкоротші лінії між будь-якими точками на поверхні: на площині — прямі лінії, на сфері — великі кола). Ці дослідження привели Ейлера до створення загальної. теорії, кривих і поверхонь. Ряд результатів в диференціальній геометрії здобули й інші математики: Монж, Лагранж, Йоганн Генріх Ламберт (1728-1777) та ін. Диференціальна геометрія уможливлювала інтерпретацію диференціальних рівнянь, розроблення геометричної теорії цих рівнянь .

Нарисна геометрія сформувалась у галузі технічних застосу­вань математики, окремі елементи її розвинені ще художниками й архітекторами епохи Відродження.

Формування нарисної геометрії в окрему галузь математики завершилось у працях Монжа, який в період 1760—1770 рр. за­клав основи її теорії і практики застосування і запровадив не предмет у навчальну програму Нормальної школи. Свої наук:- во-педагогічні результати в цій галузі Монж опублікував * "Нарисній геометрії" (1794).

Для Монжа нарисна геометрія насамперед була графічним методом, який спрощував розв'язування багатьох практичних задач при обробці матеріалів, в теорії машин, при побудові пер­спективи тощо.

У 18 ст. проводились дослідження в основах геометрії — це вибір системи аксіом евклідової геометрії, їх аналіз, зв’язок з іншими розділами математики. Головним змістом досліджень і цій галузі був критичний аналіз "Початків" Евкліда, критика бу­ла різноманітною, суперечливою, нерідко необгрунтованою.

Чимало було "доведень" п'ятої аксіоми про паралельні, але всі вони згодом виявилися незадовільними, причому у спробах таких доведень було одержано багато теорем з неевклідової геометрії.

У 1763 р. Кюгель Георг Сімон підбив підсумки найважливіших спроб

довести теорему про паралельні і дійшов висновку, що Евклід правиль­но розмістив це твердження серед аксіом.

У 1766 р. Ламберт у творі "Теорія паралельних ліній" по суті продублював висновки Саккері.

Праці з теорії паралельних у 18 ст. мали, окрім наукового, ще й методичне значення: французькі математики відійшли від евклідової схеми при викладанні математики в школі, а саме: в основи геометрії була введена метрика і рух, широка арифмети­зація, широко використовувалась алгебраїчна символіка. Евклідові "Початки" були перероблені на курс елементарної гео­метрії, доступний для засвоєння молоддю.

Історичні відомості про розвиток ідей проективної геометрії

Вивчення предметів навколишнього середовища приводило до вста­новлення геометричних закономірностей різноманітного характеру, зокрема закономірностей, пов’язаних з вимірюванням геометричних тіл, тобто метричних закономірностей, з одного боку, і закономірнос­тей позиційних, які залежать від взаємного розміщення тіл та їх еле­ментів - з іншого. Вивчення метричних закономірностей привело до створення метричної геометрії (геометрії Евкліда), а вивчення пози­ційних — до створення геометрії, яка дістала назву геометрії поло­ження або проективної геометрії.

Виникнення і розвиток ідей проективної геометрії має безпосеред­ній зв’язок з намаганням людини в різні історичні епохи зображу­вати навколишні предмети на яких-небудь поверхнях.

Перші геометричні твердження, які тепер відносять до проектив­них, з’являються ще в математиків Стародавньої Греції. Зокрема, в «Конічних перерізах» Аполлонія з Перги (250-190 рр. до н.е.) введе­но поняття полюса і поляри відносно конічного перерізу, автору були відомі гармонічні властивості повного чотирикутника. Декілька та­ких тверджень знаходимо у «Математичних зібраннях» грецького математика Паппа Олександрійського (3-4 ст.). Зокрема, леми XII і XIII сьомої книги цього твору становлять відому теорему Паппа, яку тепер розглядають як окремий випадок теореми Паскаля.

У творі «Математичні колекції» грецького математика Серена (II ст.) знаходимо зачатки поняття про інволюцію, зокрема про інволю­ційне відношення трьох пар точок, яке було відкрите значно пізніше.

Одне з основних понять проективної геометрії — перспективні відображення — також виникло у стародавні часи, що зумовлювалось потребою у будівництві різних споруд (гробниць для єгипетських фараонів), фортечних укріплень, замків.

Древні греки були обізнані з методами горизонтального і вер­тикального проектування, з мистецтвом написання декорацій, яке вони називали сценографією. Сценографія стала основою перспек­тиви. Відкриття центральної перспективи (стенографічної проек­ції) пов’язують з ім’ям грецького астронома Гіппарха (180-125 рр. до н.е.).

Проте ідеї старогрецьких математиків у галузі проективної гео­метрії не були систематизовані і не привертали уваги серед багатьох тверджень метричного характеру.

Справжній розквіт вчення про перспективу, про зображення про­сторових об’єктів припадає на епоху Відродження. Першим написав книгу про перспективу (близько 1446 р.) італійський архітектор Альберті (1402-1472). Дещо пізніше відомості про зображення сис­тематизував П’єро де Франческі в праці «Про перспективу і живо­пис» (близько 1480 р.).

Визначний художник, вчений, інженер Леонардо да Вінчі (1452- 1519) вніс великий вклад у розвиток вчення про перспективу, він написав «Трактат про перспективу», де систематизував закони про перспективу, які так плідно використовували видатні майстри іта­лійського живопису - Рафаель, Мікеланджело, Тіціан та ін.

Видатний представник епохи Відродження в Німеччині Альберт Дюрер (1471-1528) написав книгу «Настанови про вимірювання», в якій докладно розробив основи малювання, способи зображення плос­ких і просторових фігур.

Слід відзначити також «Шість книг про перспективу» італійсь­кого вченого Гвідубальдо дель Монте (1545—1607), де подано розв’я­зання майже всіх основних задач перспективи.

З наукового погляду зору важливе значення мав твір про перспе­ктиву, написаний Гвідо Убальді в 1600 р.: у ньому розроблено загаль­не вчення про точки сходження, дано 23 правила побудови перспек­тиви і зроблено перші кроки у встановленні поняття колінеації.

Глибока розробка вчення про перспективу сприяла розвитку ідей проективної геометрії в XVII ст.

Особливо слід відзначити доробок французького архітектора і геометра Жірара Дезарга (1593-1662). У 30-х роках XVII ст. він ви­дав декілька праць, в яких вперше застосував метод координат для побудови перспективних масштабів, цим самим заклавши основи аксонометрії. Користуючись перспективою як основним методом до­слідження, Дезарг дійшов висновку про необхідність введення нескін­ченно віддалених елементів простору. Він вважав, що всі паралельні прямі перетинаються в нескінченно віддаленій точці, і саме це стало початком проективного уявлення про простір (модель); ввів поняття пучка прямих, розглядав сукупність паралельних прямих як пучок з нескінченно віддаленим центром, а сукупність паралельних площин - як пучок площин, що перетинаються по нескінченно віддаленій прямій. Значним внеском Дезарга є його дослідження інволюційної відповідності точок прямолінійного ряду, йому ж належить введення самого терміна «інволюція». Він дав класифікацію інволюційної від­повідності, знайшов подвійні точки гіперболічної інволюції і встановив їх властивість гармонічно поділяти точки, що є відповідними в інво­люції. Широке застосування в проективній геометрії має теорема про гомологічні трикутники, названа його ім’ям. Фактично Дезарг ввів майже всі основні поняття проективної геометрії.

Праці Дезарга заклали наукові основи проективної геометрії, тому цілком справедливо його вважають основоположником проектив­ної геометрії.

Дослідження Дезарга успішно продовжив інший видатний фран­цузький математик - Блез Паскаль (1623-1662), який у віці 16 років у вигляді афіші (щоб привернути увагу) опублікував працю «Досвід про конічні перерізи». У цій праці Паскаль довів теорему про шести­кутник, вписаний у конічний переріз, спочатку для кола, а потім за допомогою проектування поширив на інші конічні перерізи. Дезарг назвав цю теорему іменем Паскаля. Значення цієї теореми для коніч­них перерізів винятково важливе, оскільки вона встановлює проектив­ний зв’язок шести точок конічного перерізу: якщо дано пуять точок (вони визначають конічний переріз), то належність шостої точки да­ному конічному перерізу має задовольняти певні умови, які сформу­льовані в теоремі Паскаля.

Як відомо, у цей же період французькі математики Декарт (1596- 1650) і Ферма (1601-1665) відкрили метод координат, захоплення яким відволікло увагу математиків від досліджень Дезарга і Паска­ля на півтора століття. Лише наприкінці XVIII ст. і на початку XIX ст. вимоги практики, розвитку виробництва знову привернули увагу математиків до геометрій, зокрема до проективної.

Наприкінці XVIII ст. відомий французький геометр Гаспар Монж (1746-1818) у своїх працях з нарисної геометрії систематизував спо­соби горизонтального і вертикального проектування.

Основними методами нарисної геометрії є:

1. метод ортогонального проектування на дві взаємно перпенди­кулярні площини (метод Монжа);

2. метод аксонометричного проектування;

3. метод лінійної перспективи.

У кожному з цих методів проектування просторових фігур здійс­нюється за допомогою паралельного і центрального проектування. Оскільки в проективній геометрії маємо справу саме з такими прое­ктуваннями, їх властивостями, то можна сказати, що проективна гео­метрія становить теоретичну базу для нарисної геометрії.

Спробу відновити синтетичну геометрію древніх зробив відомий французький державний діяч і математик Л. Карно (1753-1823) у своїй праці «Геометрія положення», але істотних результатів у цьому напрямі досягти не зміг. До речі, йому належить термін «повний чотирикутник ».

Особливо важливе значення для становлення проективної геоме­трії як науки мали праці французького геометра Жана-Віктора Пон- селе (1788-1867). Спираючись на ідеї Г. Монжа і Л. Карно та вико­ристовуючи центральне проектування і принцип двоїстості, Понселе заклав основи сучасної проективної геометрії. У своєму головному творі «Трактат про проективні властивості фігур», написаному під час перебування в російському полоні в Саратові (з весни 1913 р. до осені 1914 р.), Понселе, як Дезарг і Паскаль, використовує центральне проектування для дослідження геометричних властивостей фігур.

Він стверджує: «Усі відношення або властивості, які справедливі одночасно для даної фігури і для її проекції, будуть називатись про­ективними відношеннями або властивостями». Тому він вивчає вла­стивості кола, які не змінюються при центральному проектуванні, і переносить їх на інші конічні перерізи як відповідні колу. Аналогіч­но властивості паралелограма переносить на будь-який чотирикут­ник як його центральну проекцію.

Понселе ввів поняття нескінченно віддаленої прямої як лінії пе­ретину двох паралельних площин. Незмінність подвійного відношення чотирьох елементів (точок або прямих), яке було відоме до нього, він поклав в основу побудови проективної геометрії. Понселе завершив вчення про полюс і поляру, на основі чого прийшов до принципу двоїстості.

У цей же період були опубліковані праці офіцерів французької служби Жергонна (1771—1859) і Бріаншона (1785—1864). На основі теорії поляр Бріаншон довів теорему про шестисторонник, описаний навколо лінії другого порядку (класу), ця теорема названа його ім'ям. Жергонн уперше висловив думку, що принцип двоїстості випливає з двоїстості аксіом інцидентності.

Суттєве значення для розвитку проективної геометрії мала пра­ця німецького математика Мебіуса (1790-1868) «Барицентричне чи­слення» (1827), в якій реалізовано аналітичний виклад проективної геометрії і дослідження проективних властивостей дістало повне уза­гальнення. Мебіус довів проективність подвійного відношення чоти­рьох точок прямої, проаналізував точкові перетворення простору і запропонував їх класифікацію - рух, подібність, афінне перетворення, колінеація.

Швейцарський математик Якоб Штейнер (1796-1863) мав над­звичайну просторову інтуїцію, здатність уявляти і комбінувати геометричні форми. Тому не дивно, що він став одним із творців проективної геометрії. Основна його праця - «Систематичний розврі- ток залежності геометричних образів один від одного» (1834). У ній Штейнер намагався побудувати геометрію так званим суто синтетич­ним методом (без використання аналітичного апарату). Крім систе­матичного викладу основ проективної геометрії, Штейнер дає проек­тивне означення лінії другого .порядку як сукупності точок перети­ну відповідних прямих двох проективних пучків першого порядку.

Проте Штейнеру не вдалося побудувати систему проективної гео­метрії, повністю вільної від метричних методів. У його працях цього періоду яскраво виявилися елементи теоретико-множинних уявлень у проективній геометрії.

Майже одночасно зі Штейнером і незалежно від нього побудо­вою синтетичної проективної геометрії на основі подвійного відно­шення займався французький геометр Мішель Шаль (1793-1880). У своїй праці «Курс вищої геометрії» (185.2) він виклав ідеї, близькі до ідей Мебіуса і Штейнера. М. Шаль вперше поставив питання проек­тивного обґрунтування евклідової геометрії. Його праці відіграли значну роль у поширенні методів проективної геометрії.

Логічну побудову проективної геометрії без застосування метри­ки вдалося здійснити німецькому математику Штаудту (1798-1867). Свої дослідження він виклав у книгах «Геометрія положення» (1847) і «Нариси з геометрії положення» (1860). На відміну від Штейнера і Шаля, які брали за вихідне поняття подвійного відношення, Штаудт за основу викладу проективної геометрії бере поняття гармонічної четвірки, яке можна встановити чисто геометрично за допомогою поняття повного чотиривершинника. За Штаудтом, два ряди (пучки) називаються проективними, якщо між їх елементами встановлена взаємно однозначна відповідність так, що кожній гармонічній групі одного відповідає гармонічна група іншого.

Оскільки проективне перетворення площини і простору можна означити за допомогою проективної відповідності між формами пер­шого ступеня, робиться висновок, що всю проективну геометрію мож­на обґрунтувати, не використовуючи метричних властивостей. Про­ективні координати точки Штаудт також вводить без використання метрики.

Можливість чисто геометричного обґрунтування проективної гео­метрії привела до ідеї побудувати проективним шляхом саму мет­ричну геометрію. Вирішення цього завдання подано в працях анг­лійського математика Келі (1821-1895) і німецького математика Ф. Клейна (1849-1925). Суть їх робіт полягає в тому, що метричні властивості фігур можна розглядати як їх проективні відношення до особливих геометричних образів, що називаються «абсолютами».

Раніше було з’ясовано, що метричні колінеації визначаються як такі, що залишають незмінним абсолют площини. За абсолют пло­щини взято невласну пряму і абсолютну інволюцію на ній. Інваріан­ти таких колінеацій становлять предмет евклідової метричної гео­метрії.

Такий підхід до вивчення геометричних властивостей об’єктів виявився настільки загальним, що його поширили, крім евклідової, і на інші (неевклідові) геометричні системи. Наприклад, Клейн пока­зав, що на проективній основі можна обґрунтувати метричну геомет­рію Лобачевського, взявши за абсолют овальну криву другого поряд­ку, і еліптичну геометрію Рімана, якщо за абсолют площини взяти нульову (уявну) криву другого порядку.

Подальші дослідження зводились до з’ясування питання про мож­ливість викладу властивостей кривих вищих порядків на проектив­ній основі.