Практическая работа №4

«Решение дифференциальных уравнений»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме.

Вопросы теории (исходный уровень):

1. Дифференциальные уравнения.

2. Простейшие приемы составления и решения дифференциальных уравнений.

3. Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях.

4. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5. Общие и частные решения.

6. Моделирование медико-биологических процессов с помощью диф­ференциальных уравнений (развитие эпидемий, изменение со временем концентрации лекарственных веществ в организме, накопление и выведе­ние радионуклидов и др.).

(самостоятельная подготовка)

Содержание занятия:

1. Ответить на вопросы по теме занятия.

2. Решить примеры.

Задачи и примеры

Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений, указанные функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Составив дифференциальные уравнения, решить задачи:

1. Тело движется прямолинейно с ускорением а = 5 см/с². На­чальная скорость тела v_o = 2 м/с. Вывести закон движения этого тела и вычислить путь, который оно пройдет за первые 10 мин движения.

2. Найти зависимость потенциальной энергии сжатой пружины от величины деформации.

Указание. Потенциальная энергия сжатой пружины равна работе силы F = Rx на пути от 0 до х.

3. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности темпе­ратур тела и окружающей среды. До какой температуры охладится тело за 30 мин, если за 10 мин оно охладилось от 100 до 60° С? Температура окружающей среды 20° С.

4. Уменьшение интенсивности света при прохождении через поглощающее вещество пропорционально интенсивности падающего света и толщине поглощающего слоя. Найти закон убывания интенсивности света, если известно, что при прохождении слоя l = 0,5 м интенсивность света убывает в два раза.

5. Найти закон убывания лекарственного препарата в организме человека, если через 1 ч после введения 10 мг препарата масса его уменьшилась вдвое. Какое количество препарата останется в организме через 2 ч?

6. Составить дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника, считая, что углы отклонения маятника малы.

Общие понятия и определения.

Понятие о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов в физике, химии, биологии, медицине, фармации, астрофизике, кибернетике, социологии и других областях знаний. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист любой отрасли знаний получает в руки готовый аппарат для численного решения задачи, изучения качественных особенностей этого решения. Многие вопросы естествознания и техники сводятся к нахождению неизвестной функции у = f(x), если известно уравнение, содержащее х, у и производные разных порядков функции f(x): f(x), f(x), …, f⁽ⁿ⁾(x) или дифференциалы функции df, d²f, …, dⁿf. Такие уравнения называются дифференциальными.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению: установить закон изменения скорости  свободно падающего тела массой т без учета силы сопротивления воздуха.

Согласно второму закону Ньютона,

где mg – сила тяжести.

Полученное уравнение является дифференциальным, так как в него входит производная d/dt искомой функции . Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию  = f(t) , которая тождественно удовлетворяет этому уравнению. Легко проверить, что уравнению удовлетворяет функция вида  = gt + C, где С – любое число. Указав начальные условия, можно найти одну функцию, удовлетворяющую уравнению. Так, если при t = 0  = ₀, то получим функцию  = ₀ + gt.

Существует много задач из различных областей знаний, решение которых сводится к составлению и решению дифференциальных уравнений.

Основные определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальным называют уравнение, связывающее аргумент х, искомую функцию у = f(x), ее производные f(x), f(x), …, f^(п)(x) или дифференциалы df, d²f, …, d^пf.

Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так:

F(x, f(x), f(x), f(x), …, f^(п)(x)) = 0

или

F(x, y, y, y, …, y⁽ⁿ⁾) = 0.

Если искомая функция y = f(x) есть функция одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Если функция u = f(x, y, z, …, t) зависит от двух и большего числа аргументов, то уравнение будет содержать частные производные и т.д. Такое уравнение носит название дифференциального уравнения в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, входящих в уравнение.

Например, у = 2ху² + 5 – уравнение первого порядка, а у + у =0 – второго.

Общим решением дифференциального уравнения порядка r называется функция y = f(x,C₁, C₂, …, C_r) от х с произвольными постоянными C₁, C₂, …, C_r,обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф(x, у,C₁, …, C_r) = 0, называется общим интегралом.

Так, решением дифференциального уравнения у + у =0 является функция у = С₁ sin x + C₂ cos x, где C₁ и C₂ – произвольные постоянные. При подстановке функции у = С₁ sin x + C₂ cos x в уравнение у + у =0 оно превращается в тождество. Действительно,

у_х = C₁ cos x – С₂ sin x; у_хх = - С₁ sin x - C₂ cos x;

- С₁ sin x - C₂ cos x + С₁ sin x + C₂ cos x =0.

При любом наборе конкретных постоянных получаются частные решения. На практике частное решение получают из общего не прямым заданием значений произвольных постоянных, а с учетом тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и записывается кратко так:

f(x₀) = y₀; f(x₀) = y₀;…; f^(r-1)(x₀) = y₀^(r-1).

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

Уравнение вида f₁(x)₁(y)dx + f₂(x)₂(y)dx =0

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на ₁(y) f₂(x):

при условии, что ₁(y) f₂(x)  0. После сокращения получаем

(1)

Интегрируя равенство (1), получаем

(2)

где С – произвольная постоянная.

Выражение (2) является общим решением уравнения (1).

Пример. Найти общее и частное решения уравнения dy/dx = - y/x при x = 1, y = 2.

Решение. В уравнении dy/dx = - y/x путем умножения обеих частей на dx разделим (отделим) дифференциалы: dy = -( y/x)dx. Разделив обе части последнего уравнения на у, получим уравнение с разделенными переменными: dy/у = -dx/x. Проинтегрируем его: откуда

Потенцируя последнее равенство, получаем - общее решение уравнения. Из условия, что при х = 1 у = 2, найдем значение С: 2 = С/1, откуда С = 2. Частное решение будет иметь вид у = 2/х.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение dy/dx = f(x,y) называется однородным уравнением первого порядка, если функция f(x,y) может быть представлена как функция отношения своих аргументов: f( x, y)= (y/x).

Например, уравнение dy/dx = ху/(х² – у²) однородное, так как, разделив числитель и знаменатель правой части на х² , получим