Практическая работа №3

«Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме.

Вопросы теории (исходный уровень):

1. Первообразная функции и неопределённый интеграл.

2. Интегрирова­ние.

3. Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.

4. Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.

5. Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.

6. Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах (самостоятельная подготовка)

Содержание занятия:

1. ответить на вопросы по теме занятия

2. решить примеры

Примеры

Найти интегралы:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)

Вычислить интегралы:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	21)	22)
23)	24)	25)
26)	27)	28)
29)	30)	31)
32)	33)	34)
35)	36)	37)
38)

Тема

Неопределенный интеграл

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла

∫f(x)dx=F(x)+C

∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx

∫ d(F(x))=F(x)+C

(∫f(x)dx)=f(x)

∫f(x)dx= ∫f(t)dt

d∫f(x)dx=f(x)dx

∫af(x)dx+a∫f(x)dx

Основные интегралы

∫dx=x+C

∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/ (n+1) +C (n≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫a^xdx=a^x/lna +C

∫e^xdx=e^x+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos²x=tgx+C

∫dx/sin²x=-ctgx+C

∫dx/(1-x²)^1/2=arcsinx=-arccosx

∫dx/(1+x²)= arctgx=- arcctgx

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

Пример

Найти у = ∫ ln хdх.

Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда dи =dx/x, v = x

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ ln xdx = x ln х-∫ dх = xlnx-x+C

Пример метод непосредственного интегрирования

Найти у= ∫ (1+ 2x²)dx

На основании свойства интеграла суммы запишим

у= ∫ (1+ 2x²)dx = ∫ dx+2 ∫ x²dx =x+2x³/3+C

Пример; метод замены переменной( метод подстановки)

∫tgxdx=∫(sinx/cosx)dx обозначим cosx=t

Продифферинцируем праву и левую часть

-sinxdx=dt найдем dx=dt/(-sinx)

Запишим интеграл через новые переменные

∫(sinx/t) dt/(-sinx) =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C