4. Классическое определение вероятности.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначим через Р(А), тогда по определению

Р(А) = m/n ,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться событие А.

Это определение вероятности называется классическим. Оно появилось на начальном этапе развития теории вероятности.

Из определения вероятности события следуют ее простейшие свойства:

1, Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, для достоверного события все элементарные исходы являются благоприятствующими этому событию, т.е. m = n. обозначим достоверное событие буквой Е, тогда

Р(Е) = n/n= 1.

2, Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, для невозможного события нет ни одного элементарного исхода, благоприятствующего этому событию, т.е. m = 0. Обозначим невозможное событие буквой О, тогда Р(О) = 0/n = 0.

3, Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы.Так для случайного события 0<m<n, то 0 <m/n< 1, 0<P(A) <1.

С л е д с т в и е. вероятность любого события удовлетворяет неравенства 0<=P (A) <= 1.

Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных исходов конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.

5. Геометрические вероятности и статистическая вероятность.

Понятие геометрической вероятности необходимо, например, при определении вероятности попадания в областьg точки, брошенной в область G, которая содержитg. Когда говорят « в некоторой области брошена точка», имеют в виду, что брошено тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами данных областей (например, поперечным сечением пули по сравнению с площадью мишени, поперечным сечением по сравнению с площадью участка, на котором находятся поражаемые цели).

Общая задача, приведшая к необходимости расширения понятия вероятности, в плоском случае получают следующую формулировку. На плоскости задана квадрируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой G, а ее площадьS_G. В области G содержится областьg площадиS_g. В области G наудачу бросается точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть областиG с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Требуется определить вероятность попадания данной точки в областьg. Пусть А – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой P(A) = S_g/S_G.

Также существует понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную областьG, содержащую областьg.

Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mesg, а меру областиG- через mesG, тогда вероятность попадания в областьg точки, брошенной в областьG, по определению выражается формулой:P(A) = mesg/mesG, где А (рассматриваемое событие) – попадание точки в областьg, которая содержится в областиG. Это определение вероятности называется геометрическим.

Статистическая вероятность – пусть при проведении nиспытаний некоторое событие А появилось mраз. Многочисленные эксперименты такого рода показывают, что при больших nотношение m/n, называемое частью события А, остается примерно постоянным. Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частостей при неограниченном возрастании числа n.

В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.